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- 2021-04-15 发布
曲线与方程
曲线与方程是解析几何的基本概念,在近年的高考试题中,重点考查曲线与方程的关系,考
查曲线方程的探求方法,多以综合解答题的第⑴小问的形式出现,就这部分考题来说,属于中档
题,难度值一般在0.45 ~ 0.65 之间.
考试要求 ⑴了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
⑵掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程.
题型一 曲线与方程
例1 设集合{( , ) | ( , ) 0, , }x y F x y x y R非空.如果命题“坐标满足方程 ( , ) 0F x y 的点都在
曲线C 上”不正确,给出以下四个命题：①曲线 上的点的坐标都满足方程 ；②坐标
满足方程 的点有些在 上,有些不在 上；③坐标满足方程 的点都不在
曲线 上；④一定有不在曲线 上的点,并且其坐标满足方程 .那么正确命题的个数
是( ).
A.1 B. 2 C.3 D. 4
点拨：直接用定义进行判断.
解：“坐标 满足方 程 的 点都 在曲 线 上”不正确,意味 着“坐标 满足 方程
的点不都在曲线 上”是正确的,即一定有不在曲线 上的点,并且其坐标满足方程
,∴④正确；曲线 上的点的坐标可以有不满足方程 的,∴①错；若满足
方程 的 ( , )xy只有一解,则②错；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③错.故选 A.
易错点：定义把握不准确,关键字句认识不到位,概念理解不深刻,均有可能错选其它选项.
变式与引申
2.已知定点 00( , )P x y 不在直线l ： ( , ) 0f x y 上,则方程 00( , ) ( , ) 0f x y f x y表示一条( ).
A.过点 P 且平行于 的直线 B.过点 且垂直于 的直线
C.不过点 但平行于 的直线 D.不过点 但垂直于 的直线
题型二 代入法(相关点法)求曲线方程
例 2 已知点 (1,0)F ,点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴上,且 2AP AB , AB FB ,当点 B 在 轴上
运动时,求点 P 的轨迹方程.
点拨：由 确定 A 与 B 的坐标关系,由 建立动点 与 、 的坐标关系,用
代入法求轨迹方程.
解：设 ( , )P x y , ( ,0)Aa , (0, )Bb,又 (1,0)F ,则 ( , )AP x a y , ( , )AB a b , ( 1, )FB b .由
AB FB , 得 2( , ) ( 1, ) 0AB FB a b b a b ①. 由 2AP AB , 得
( , ) 2( , )x a y a b ,∴ 2x a a , 2yb ,即 ax ,
2
yb ,代入①得, 2
2
( ) 0yx ,即 2 4yx ,
当 0x 时,三点 A 、 B 、 P 重合,不满 足条件 ,∴ 0x ,故点 P 的轨迹方程为
2 4 ( 0)y x x.
易错点：忽视轨迹方程中的 0x .
变式与引申
3.已知O 为坐标原点,点 M 、 P 分别在 x 轴、 y 轴上运动,且| | 7MP ,动点 N 满足 2
5
MN NP ,
求动点 N 的轨迹方程.
题型三 待定系数法、直接法求曲线方程
例 3 已知椭圆C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两个焦点
的距离分别是 7 和1.
⑴求椭圆 的方程；
⑵若 P 为椭圆 的动点, M 为过 且垂直于 x 轴的直线上的点, ||
||
OP
OM
e ( e 为椭圆 的
离心率),求点 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
点拨：问题⑴用待定系数法求椭圆 的方程；问题⑵将点 P 、M 的坐标代入满足的关系式
中,化简后可得到点 的轨迹方程,然后说明其轨迹是什么曲线,并指明变量 x 的取值范围.
解：⑴ 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为
22
221( 0)xy
ab
ab , 半 焦 距 为 c , 则 1
7
ac
ac
, 解得
4a , 3c ,
∴ 2 7b .故椭圆 的标准方程为
22
16 7
1xy.
⑵ 设 ( , )M x y , 1( , )P x y , 其中 [ 4,4]x . 由已知得
22
1
22
2xy
xy
e
, 而
3
4
e ,∴ 2 2 2 2
116( ) 9( )x y x y .由点 在椭圆 上,得
2
2
1
112 7
16
xy ,代入上式并化简得
29 112y ,故点 的轨迹方程为 47
3
( 4 4)yx 轨迹是两条平行于 x 轴的线段.
易错点： 第⑵小问中未注意到点 M 与 P 的坐标关系,会造成求点 轨迹方程的思路受阻；
忽视变量 x 的范围,将出现对所求轨迹曲线的错误判断.
变式与引申
4.已知椭圆C ： 的离心率为 3
3
,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆
与直线 2yx相切.
⑴求椭圆 的方程；
⑵设该椭圆的左、右焦点分别为 1F 、 2F ,直线 1l 过 2F 且与 x 轴垂直,动直线 2l 与 y 轴垂直, 交
与点 P ,求线段 1PF 垂直平分线与 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型.
题型四 定义法求曲线方程与实际应用问题
例 4 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距8 km 的 A 、 B 两点各建一个
考察基地,视冰川面为平面形,以过 、 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立
平面直角坐标系(如图所示).考察范围到 、 两点的距离之和不超过10 的区域.
⑴求考察区域边界曲线的方程；
⑵如图所示,设线段 12PP 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂
直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 ,以后每年移动的距离为前一年的 2 倍.问：经
过多长时间,点 恰好在冰川边界线上？
点拨：本题是应用题背景下的解析几何综合问题,利用椭圆定义求考察
区域边界曲线的方程；综合运用直线方程、点到直线的距离公
式、等比数列
求和公式等知识能使第⑵小问获解.
解：⑴设考察区域边界曲线上点 P 的坐标为( , )xy.则由
| | | | 10 8PA PB 知,点 在以 A 、 B 为焦点,长轴 长 为
2 10a 的椭圆
上,此时短半轴长 2254 3b ,故考察区域边界曲线的方程
为
22
25 9
1xy.
⑵ 易 知 过 点 1P 、 2P 的 直 线 方 程 为 4 3 47 0xy ,∴ 点 到 直 线 的距离
22
| 16 47 | 31
54 ( 3)
d
.设经过 n 年,点 恰好在冰川边界线上,则由题设及等比数列求和公式,得
0.2(2 1) 31
2 1 5
n
,解得 5n .故经过 年,点 恰好在冰川边界线上.
易错点：⑴不能正确建立应用题的数学模型；⑵数学阅读分析能力不强,易出现审题错误.
变式与引申
5.某航天卫星发射前,科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图,航天器运
行(按顺时针方向)的轨迹方程为
22
100 25
1xy,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返
回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 64
7
(0, )M 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 (8,0)D .观测点
(3,0)A 、 (5,0)B 同时跟踪航天器.
⑴求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
⑵试问：当航天器在 x 轴上方时,观测点 A 、 B 测得离航天器的距离
分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？
本节主要考查：
O
A
D
B
C
y
x
图 6 1 4
⑴知识点有曲线与方程的关系、求曲线(轨迹)的方程；
⑵依据动点轨迹的几何条件,运用求曲线(轨迹)方程的方法解决求曲线(轨迹)方程的问题,及
应用题背景下的求曲线(轨迹)方程的问题；
⑶求曲线(轨迹)方程时：①恰当建立坐标系,使所求方程更简单；
②利用圆锥曲线的定义,运用平面几何知识,可以大大简化求解运算过程.
⑷解析几何基本思想(用代数方法研究几何问题)、方程思想、等价转化思想、分类讨论思
想、应用题建模思想以及分析推理能力、运算能力.
点评：
⑴求曲线(轨迹)方程的常用方法有：
①直接法：直接利用动点满足的几何条件(一些几何量的等量关系)建立 x , y 之间的关系
( , ) 0f x y (如例3 第 2 问).其一般步骤是：建系设点、列式、坐标代换、化简、证明(证明或判
断所求方程即为符合条件的动点轨迹方程)；
②待定系数法：已知所求曲线的类型时,可先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确
定其待定系数,求出曲线的方程(如例 第1问)；
③定义法：先根据条件能得出动点的轨迹符合某种曲线的定义,则可用曲线的定义直接写
出动点的轨迹方程(如例 4 )；
④代入法(相关点法)：有些问题中,动点 ( , )P x y 是随着另一动点 00( , )Q x y (称之为相关点)
而运动的,并且点 在某已知的曲线上,这时可先用 、 的代数式来表示 0x 、 0y ,再将
、 的表达式代入已知曲线,即得要求的动点轨迹方程(如例 2 及变式).
⑵要注意求曲线(轨迹)方程与求轨迹的区别：求曲线(轨迹)的方程只需根据条件求出曲线
(轨迹)方程即可；求轨迹则是需先求出轨迹方程,再根据方程形式说明或讨论(含参数时)曲线图
形的(形状、位置、大小)类型.解题时应根据题意作出正确、规范的解答.
⑶在求出曲线(轨迹)的方程时,要注意动点的取值范围,及时补漏和去除“杂点”,以保证所求
曲线(轨迹)方程的完整性.
习题 6-1
1.方程 2x xy x的曲线是( ).
A.一个点 B.一条直线 C.一个点和一条直线 D.两条直
线
2 .已知双曲线
22
221( 0, 0)xy
ab
ab 的一条渐近线方程是 3yx ,它的一个焦点与抛物线
2 16yx 的焦点相同.则双曲线的方程为 __________ .
3.已知椭圆
22
221( 0)xy
ab
ab 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ,离心率 2
2
e ,右准线方程为
2x .
⑴求椭圆的标准方程；
⑵过点 的直线l 与该椭圆交于 M 、 N 两点,且 22
2 26
3
||F M F N,求直线l 的方程.
4．（ 2011 高考江西卷·文）已知过抛物线 ()y px p 的焦点，斜率为 的直线交抛物
线于 ( , )A x y
和 ( , )( )B x y x x 两点，且 AB .
（1）求该抛物线的方程；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB
uuur uur uuur
，求 的值．
【答案】
4. 解：⑴由 3
3
e 得
2
2
2
3
b
a
,又 2 2
11
b
,∴ 2 2b , 2 3a ,故椭圆C 的方程为
22
32
1xy.
⑵由⑴知 1( 1,0)F , 2 (1,0)F ,由题意可设 (1, )( 0)P t t ,则线段 1PF 的中点为
2
(0, )tN .
设 ( , )M x y 是所求轨迹上的任意一点,由于
2
( , )tMN x y , 1 ( 2, )PF t ,则
1 22 ( ) 0tMN PF x t y
yt
, 消 去 参 数 t 得 2 4 ( 0)y x x , 故 所 求 点 M 的 轨 迹 方 程 为
,其轨迹为顶点在原点、开口向左、焦点为( 1,0) 的抛物线(除去原点).
5. 解：⑴设曲线方程为 2y ax b,将点 64
7
(0, )M , (8,0)D 代入曲线方程,
得
64
7
0 64
b
ab
,∴ 1
7
a , 64
7
b ,故曲线方程为 21 64
77
yx .
⑵设变轨点为 ( , )C x y ,联立
22
100 25
641
77
1yx
yx
,得 24 7 36 0yy ,∴ 4y 或 9
4
y (舍去).
由 , 得 6x 或 6x ( 舍去).∴ 点 (6,4)C , 此时, 225| | (4 6) (0 4) 2AC ,
22| | (9 6) (0 4) 5BC .故当观测点 A 、 B 测得 AC 、 BC 的距离分别为 5| | 2AC 、
| | 5BC 时,应向航天器发出变轨指令.
习题 6-1
1. D
提示：由 2x xy x得, ( 1) 0x x y ,∴ 0x 或 10xy ,故方程的曲线是两条直线.
2 .
22
4 12
1xy
提示：由渐近线方程可知 3b
a
①.∵抛物线的焦点为(4,0) ,∴ 4c ②.
又 2 2 2c a b③.联立①②③,解得 2 4a , 2 12b ,∴双曲线的方程为 .
3 .解：⑴∵ a 、c 、b 成等差数列,∴ 24a b c ,即| | | | 4CA CB,∴点C 到两定点 A 、 B
的距离之和为定长 4 2 | |AB ,故 的轨迹 E 是以 、 为焦点的椭圆,其方程为
22
43
1xy.
又 ab ,∴点 在 y 轴左侧,又点 与 、 构成三角形,∴点 不能在 x 上,∴点 的轨迹
的方程为
22
43
1( 0, 0)xy xy .
⑵假设存在直线l 满足条件.
① 当 l 的 斜 率 存 在 时 , 设 l 的 方 程 为 ( 1)y k x, 代入 的 方 程 , 得
2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k .∵ 与 有 两 个 不 同 的 交 点
11( , )M x y , 22( , )N x y .∴ 2
2
2
2
4 2 2
12
12
8
43
4 12
43
64 4(4 3)(4 12) 0
0
0
k
k
k
k
k k k
xx
xx
,解之得 2 3k .
由弦长公式得,
2
2
212
12( 1)1
34
| | | | kk
k
MN x x
.设原点到直线l 距离为 d ,则
2
||
1
k
k
d
.
∵ 1||
d
MN ,∴
22
2 ||
12( 1) 1
34 k
kk
k
,即 42128 120 9 0kk .解得 2 15 3 33
32
k ,
∴ 2 15 3 33
32
3k ,与 不符.
w
w
w
.
k
s
5
u
.
c
o
m
来
源
：
高
考
资
源
高
考
资
源
网
(
w
w
w
.
k
s
5
u
.
c
o
m
)
②当l 的斜率不存在时,l 的方程为 1x .此时| | 3MN , 1d , 1||
d
MN ,∴直线l 不符合.
综上①②知,满足题给条件的直线 不存在.