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- 2021-04-15 发布
北京市十一学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共8小题）
1. 下列叙述中，错误的一项为（ ）
A. 棱柱的面中,至少有两个面相互平行
B. 棱柱的各个侧面都是平行四边形
C. 棱柱的两底面是全等的多边形
D. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
2. 下列函数中，在定义域内为奇函数，且在（0，+∞）上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（ ）
A. B. C. D.
4. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60°，b=10，则结合a的值解三角形有两解的为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（ ）
A. B.
C. D.
1. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE⊥A1C于E，且PA=PE，则点P的轨迹是（ ）
A. 线段
B. 圆弧
C. 椭圆的一部分
D. 抛物线的一部分
二、填空题（本大题共7小题）
2. 圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线3x+4y+8=0的最大距离是______．
3. 若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是______．
4. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：
①BM与DE平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个结论中，正确的是______．
5. 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为______．
6. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AD1B=，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为______
7. 已知函数f（x）=ax2-1的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+8y=0垂直，若数列{}的前n项和为Sn，则Sn=______．
1. 如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是______；最大值为______．
三、解答题（本大题共5小题）
2. 已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•sin（ωx+）-1（ω＞0）的相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求ω的值；
（2）当x∈[-，]时，求函数f（x）的值域．
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，满足a1=b1=2，2a2=b2，S2+T2=13．
（1）求数列{an}，{bn}通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Hn．
4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：AF⊥PC．
5. 已知椭圆C：的右焦点，点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为（λ为实数），求λ的值．
1.
已知函数f（x）=a（x-2lnx）-x2+2x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱．
定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围城的几何体叫棱柱；
正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D错；
故选：D．
根据棱柱的定义可知ABC对，正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D错；
考查棱柱的定义，以及对空间几何体棱柱的理解；
2.【答案】D
【解析】解：A．f（x）的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数；
B．f（-x）=2-（-x）2=2-x2=f（x），则f（x）是偶函数，不满足条件；
C．f（x）为指数函数，单调递减，为非奇非偶函数；
D．f（-x）=-==-f（x），则f（x）是奇函数，当x＞0时，函数f（x）为减函数，满足条件．
故选：D．
根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：设一个圆锥的底面半径为r，高为h，则其体积V=；
圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为2r，高为，
体积为．
∴．
∴它的体积是原来体积的．
故选：C．
设一个圆锥的底面半径为r，高为h，利用圆锥体积公式求其体积，再求出变换后的圆锥的体积，则答案可求．
本题考查圆锥体积的求法，是基础的计算题．
4.【答案】B
【解析】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；
α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选：B．
m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．
考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．
5.【答案】B
【解析】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c
∴，
∴
∴，
故选：B．
先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．
本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由正弦定理，有，
∴=，
∵三角形有两解，∴sinB＜1且b＞a，
∴，
因此由选项知，只有a=9时符合条件，
故选：B．
根据正弦定理可得，然后根据三角形有两解可得sinB＜1且b＞a，从而得到a的范围．
本题考查了正弦定理和三角形中大边对大角等知识的应用，考查了转化思想，属中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，
可得该几何体是三棱锥，
由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC所示：
顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，
故该锥体的正视图是：
故选A
由已知中锥体的侧视图和俯视图，画出该几何的直观图，进而可得该锥体的正视图．
本题考查的知识点是简单空间几何体的三视图，其中根据已知中的三视图，画出直观图是解答的关键．
8.【答案】A
【解析】解：连接A1P，由题意知A1A⊥AP，
因为PE⊥A1C，且PA=PE，
所以△A1AP≌△A1EP，
所以A1A=A1E，即E
为定点．
因为PA=PE，
所以点P位于线段AE的中垂面上，
又点P在底面上，
所以点P的轨迹为两平面的交线，即点P的轨迹是线段．
故选A．
由PE⊥A1C于E，且PA=PE，得到点E是定点，然后根据PA=PE，得到点P位于A，E的中垂面上，从而得到点P的轨迹．
本题主要考查空间直线的位置关系的判断，以及空间点的轨迹的求法，综合性较强，难度较大．
9.【答案】4
【解析】解：由题意可得，圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，
圆心的坐标为（1，1），半径r=1，
∴圆心到直线的距离
，
所以所求最大距离是4，
故答案为：4．
根据图象可知，最大距离是圆心到直线的距离与半径长之和．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ个单位，可得y=sin（2x++2φ）的图象，
再根据所得图象关于y轴对称，可得+2φ=+kπ，k∈Z，
则φ的最小正值为，
故答案为：．
利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求出φ的最小正值．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
11.【答案】③④
【解析】【分析】
本题考查正方体的结构特征，异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基础题．
将展开图复原为几何体，如图，容易判断选项的正误，得出结果．
【解答】
解：展开图复原的正方体如图，不难看出：
①BM与ED平行；错误的，是异面直线；
②CN与BE是异面直线，错误；是平行线；
③从图中连接AN，AC，由于几何体是正方体，故三角形ANC是等边三角形，所以AN与CN的夹角是60°，又AN∥BM，故CN与BM成60°；正确；
④DM⊥NC，DM⊥BC，所以DM⊥平面BCN，所以DM与BN垂直．正确
判断正确的答案为③④．
故答案为：③④．
12.【答案】
【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，
则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和
．
故答案为：．
先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．
本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．
13.【答案】
【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
∵长方体中，BC=CC1=1，∠AD1B=，
∴AD1=，AB=AD1tan=．
∴A（1，0，0），B1（1，，1），B（1，，0），C1（0，，1）．
∴=（0，，1），=（-1，0，1），
∴cos===．
故答案为：．
如图所示，建立空间直角坐标系．根据长方体中，BC=CC1=1，∠AD1B=，可得AD1=，AB=AD1tan=．利用向量夹角公式即可得出．
本题考查了长方体的性质、向量夹角公式、空间线面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：函数f（x）=ax2-1的导数为f′（x）=2ax，
可得f（x）在x=1处的切线斜率为2a，
切线与直线x+8y=0垂直，可得2a=8，即a=4，
则f（x）=4x2-1，
==（-），
可得Sn=（1-+-+…+-）
=（1-）=．
故答案为：．
求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a=4，再由裂项相消求和，可得所求和．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，数列的裂项相消求和，两直线垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．
15.【答案】，；
【解析】解：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．
取AD的中点O，
连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．
又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC
，
取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，
OE==．
∴S△OBC==．
∴F（x）=
=×1
=（0＜x＜）．
F′（x）=，
令F′（x）≥0，解得，此时函数F（x）单调递增；令F′（x）＜0，解得，此时函数F（x）单调递减法．
因此当x=时，F（x）取得最大值，==．
故答案分别为：，．
如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC．取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，可得OE，可得F（x）==（0＜x＜）．利用导数研究其单调性即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三棱锥的体积计算公式、线面垂直的判定定理、勾股定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：（1）=，
∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴=π，
∴解得ω=1，
（2）∵x∈[-，]，
∴2x-∈[-，]，根据正弦函数的图象可得：
当2x-=，即x=时，g（x）=sin（2x-）取最大值1．
当2x-=-，即x=-时，g（x）=sin（2x-）取最小值-，
∴，即f（x）的值域为．
【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可得f（x）=，利用正弦函数的周期公式即可求解ω的值．
（2）由已知可得2x-∈[-，]，根据正弦函数的图象即可解得函数f（x）的值域．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：（1）设公差为d等差数列{an}的前n项和为Sn，公比为q的等比数列{bn}的前n项和为Tn，满足a1=b1=2，2a2=b2，S2+T2=13．
所以：，解得，所以an=2+（n-1）=n+1，．
（2）由于cn=an+bn=n+1+2•3n-1，
所以Hn=（1+2+…+n）+n+2（30+31+…+3n-1）==．
【解析】（1）首先利用已知条件求出数列的通项公式．
（2）利用分组法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18.【答案】证明：（1）点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．
∴EF∥PC，
∵EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，
∴AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
∵PC⊂平面PCD，∴AF⊥PC．
【解析】（1）推导出EF∥PC，从而EF∥平面PAC．
（2）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AF，AF⊥平面PCD，由此能证明AF⊥PC．
本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：（Ⅰ）由题意知：c=，左焦点F′（-，0）．
根据椭圆的定义得：2a=|MF′|+|MF|=+，
解得a=2，∴b2=a2-c2=4-3=1，
∴椭圆C的标准方程为：+y2=1；
（Ⅱ）由题意知，S△ABC=|AB|•|OP|=，
整理得：λ=|OP|2-．
①当直线l的斜率不存在时，l的方程为：x=，
此时|AB|=1，|OP|=，
∴λ=|OP|2-=-1；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y整理得：（1+4k2）x2-8k2x+12k2-4=0，
显然△＞0，则x1+x2=-，x1x2=，
∵y1=k（x1-），y2=k（x2-），
∴|AB|=
=•
=4•，
∴|OP|2=（）2=，
此时，λ=-=-1；
综上所述，λ为定值-1．
【解析】（Ⅰ）通过右焦点可知：c=，左焦点F′（-，0），利用2a=|MF′|+|MF|可得a=2，进而可得结论；
（Ⅱ）通过S△ABC=，可得λ=|OP|2-，对直线l的斜率存在与否进行讨论．当直线l的斜率不存在时，易得λ=-1；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程并与椭圆C方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、点到直线的距离公式计算亦得λ=-1．
本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
20.【答案】解：（1）函数f（x）=a（x-2lnx）-x2+2x．定义域为（0，+∞），
f′（x）=a（1-）-x+2=（x-2）（a-x），（x＞0）
①a≤0时，a-x＜0，
当x∈（0，2）．f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（2，+∞）．f′（x）＜0，f（x）单调递减；
②0＜a＜2时，f′（x）=0，解得x=2或x=a，
当x∈（0，a），f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（a，2），f（x）＞0，f（x
）单调递增，
当x∈（2，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减；
③a=2时，f′（x）=-（x-2）2≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减；
④a＞2时，f′（x）=0，解得x=2或x=a，
当x∈（0，2），f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（2，a），f′（x）＞0，f（x）单调递增；
x∈（a，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减；
（2）由（1）得当a=0时，f（x）=-x2+2x在定义域上只有一个零点，
当a＜0时，由（1）可得，
要使f（x）有两个零点，则f（2）＞0，即f（2）=a（2-2ln2）+2＞0，
所以＜a＜0，
下证f（x）有两个零点，
取x=，f（）=a（-2×）-（）2+2
=a-（-2）2＜0，
满足f（）•f（2）＜0，故f（x）在（0，2）有且只有一个零点；
因为f（4）=a（4-2ln4）＜0，
满足f（2）•f（4）＜0，故f（x）在（2，+∞）有且只有一个零点；
当0＜a＜2时，由（1）可得当x∈（0，2），
f（x）≥f（a）
=a（a-2lna）-a2+2a
=a2+2a（1-lna）＞0，
故f（x）在（0，2）无零点，又因为f（x）在（2，+∞）单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；
当a=2时，f（x）在（0，+∞）单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；
当a＞2时，由（1）可得当x∈（0，a），
f（x）≥f（2）=a（2-2ln2）+2＞0，
故f（x）在（0，a）上无零点，
又因为f（x）在（a，+∞）单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；
∴满足条件a的取值范围＜a＜0.
【解析】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于较难题.
（1）求函数的导数，分类讨论a的范围，可得f（x）的单调性；
（2）由（1）可得，要使f（x）有两个零点，则f（2）＞0，即f（2）=a（2-2ln2）+2＞0，所以＜a＜0，证明f（x）有两个零点，利用函数的单调性和讨论a的范围可求a的取值范围．