2020届高考理科数学二轮专题复习课件：专题2 三角函数及解三角形2-2-高考小题 1 42页

第 1 课时　 三角函数的概念、图象与性质 考向一　函数 y=Asin(ωx+ φ ) 的图象与变换 ( 保分题 型考点 ) 【题组通关】 1. 为了得到函数 y=sin 的图象 , 只需把函数 y= sin 2x 的图象上所有的点 ( 　　 ) A. 向左平行移动 个单位长度 　 B. 向右平行移动 个单位长度 C. 向左平行移动 个单位长度 　 D. 向右平行移动 个单位长度 【解析】 选 D. 由题意 , 为得到函数 y= 只需把函数 y=sin 2x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度 . 2.(2019· 天津高考 ) 已知函数 f(x)=Asin(ωx+ φ )(A>0, ω>0,| φ |<π) 是奇函数 , 将 y=f(x) 的图象上所有点的 横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ), 所得图象对应 的函数为 g(x). 若 g(x) 的最小正周期为 2π, 且 , 则 = ( 　　 ) 【解析】 选 C.f(x) 为奇函数 , 可知 f(0)=Asin φ=0 , 由 | φ |<π 可得 φ =0; 把其图象上各点的横坐标伸长到 原来的 2 倍 , 得 g(x)=Asin ωx,g(x) 的最小正周期为 2π, 可得 ω=2, 由 , 可得 A=2, 所以 f(x)=2sin 2x, 3.(2019· 呼和浩特模拟 ) 如图是函数 f(x)=sin 2x 和函数 g(x) 的部分图象 , 则 g(x) 的图象可能是由 f(x) 的图象 ( 　　 ) A. 向右平移 个单位得到的 　 B. 向右平移 个单位得到的 C. 向右平移 个单位得到的 　 D. 向右平移 个单位得到的 【解析】 选 B. 由题意可得 , 在函数 f(x)=sin 2x 的图象 上 , 关于对称轴 x= 对称的点为 , 而 , 故 g(x) 的图象可能是由 f(x) 的图象向右平移 个单位得到的 . 【拓展提升】 关于三角函数的图象变换的方法 (1) 平移变换 ① 沿 x 轴平移 : 由 y=f(x) 变为 y=f(x+ φ ) 时 ,“ 左加右减” , 即 φ >0, 左移 ; φ <0, 右移 . ② 沿 y 轴平移 : 由 y=f(x) 变为 y=f(x)+k 时 ,“ 上加下减” , 即 k>0, 上移 ;k<0, 下移 . (2) 伸缩变换 ① 沿 x 轴伸缩 : 由 y=f(x) 变为 y=f(ωx) 时 , 点的纵坐标不 变 , 横坐标变为原来的 倍 . ② 沿 y 轴伸缩 : 由 y=f(x) 变为 y=Af(x) 时 , 点的横坐标不 变 , 纵坐标变为原来的 |A| 倍 . 考向二　由图象求函数 y=Asin(ωx+ φ ) 的解析式 ( 保分题型考点 ) 【题组通关】 1. 某函数部分图象如图所示 , 它的函数解析式可能是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 通解 : 不妨令该函数解析式为 y=Asin(ωx + φ )(ω>0), 由图知 A=1, 于是 即 是函数的图象递减时经过的零点 , 于是 + φ =2kπ+π,k∈Z, 所以 φ 可以是 , 选 C. 优解 : 由图象知过 点 , 代入选项可排除 A,D. 又过点 代入 B,C 知 C 正确 . 2. 如图 , 函数 f(x)=Asin(ωx+ φ )( 其中 A>0 ， ω>0 ， | φ | ≤ ) 与坐标轴的三个交点 P,Q,R 满足 P(1,0),M(2,-2) 为线段 QR 的中点 , 则 A 的值为 ( 　　 ) 【解析】 选 C. 由于 M(2,-2) 是 QR 的中点 , 且 Q,R 分别在 x 轴和 y 轴上 , 所以 Q(4,0),R(0,-4). 因此函数 f(x) 的周期 T=2×(4-1)=6, 所以 又由图象知 =A, 即 Asin =A, 所以 sin =1. 而 | φ |≤ , 所以 φ =- , 于是 f(x)=Asin . 又因为 f(0)=-4, 所以 Asin =-4, 解得 A= . 3. 如图是函数 y=f(x)=Asin (ωx+ φ )+2(A>0,ω>0, | φ |<π) 的图象的一部分 , 则函数 f(x) 的解析式为 ________.  【解析】 由图象知 , k∈Z, 得 φ =- +2kπ,k∈Z. 又 | φ |<π, 所以 φ =- . 所以 f(x)=sin 答案 : f(x)=sin 4.(2019· 贵阳模拟 ) 已知函数 f(x)=Asin(ωx+ φ )(A>0, ω>0,0< φ <π), 其导数 f′(x) 的图象如图所示 , 则 f 的值为 ( 　　 ) 【解析】 选 D. 依题意得 f′(x)=Aωcos(ωx+ φ ), 结合 函数 y=f′(x) 的图象可知 ,T= 又 Aω=1, 因此 A= . 因为 0< φ <π, 所以 【拓展提升】 根据图象求解析式 y=Asin (ωx+ φ )+k(A>0,ω>0) 的方 法 (1) 在一个周期内 ( 或者从最高点到相邻的最低点 , 即半 个周期内 ), 若最大值为 M, 最小值为 m, 则 A 特别地 , 当 k=0 时 ,A=M=-m. (2) φ 的求法通常有以下两种 : ① 代入法 : 把图象上的一个已知点代入 ( 此时 ,A,ω,k 已知 ), 或代入图象与直线 y=k 的交点求解 ( 此时要注意交点在上升区间还是下降区间 ). ② 五点法 : 确定 φ 值时 , 往往以寻找“五点法”中的零 点 作为突破口 , 具体如下 : “ 第一点” ( 即图象上升时与 x 轴的交点中距原点最近 的交点 ) 为 ωx+ φ =0;“ 第二点” ( 即图象的“峰点” ) 为 ωx+ φ = ;“ 第三点” ( 即图象下降时与 x 轴的交点 ) 为 ωx+ φ =π;“ 第四点” ( 即图象的“谷点” ) 为 ωx+ φ = ;“ 第五点”为 ωx+ φ =2π. 考向三　三角函数的图象与性质 ( 压轴题型考点 ) 【典例】 1.(2019· 石家庄模拟 ) 若函数 f(x)= sin(2x +θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π) 的图象关于 对称 ① , 则 函数 f(x) 在 上的最小值 ② 是 ( 　　 ) 【解析】 选 B.f(x)= sin(2x+θ)+cos(2x+θ)= 2sin , 则由题意 , 知 f =2sin =0, 又 0<θ<π, 所以 θ= , 所以 f(x)=-2sin 2x,f(x) 在 上是减函数 , 所以函数 f(x) 在 上的最小 值为 2. 已知 ω>0, 函数 f(x)= 上单调递减 ③ , 则 ω 的取值范围是 ( 　　 ) 【解析】 选 A. 方法一 ( 通法 ): 由 0 得 , 又 y=sin x 在 上递减 , 所以 解得 方法二 ( 采用特殊值代入检验法 ): 令 ω=2, 则 f(x)=sin 不合题意 , 故排除选项 D; 令 ω=1, 则 f(x)=sin 当 x∈ 符合题意 , 故排除选项 B,C. 3. 已知 f 1 (x)=sin ·cos x,f 2 (x)=sin xsin(π+x), 若设 f(x) ＝ f 1 (x) － f 2 (x) ，则 f(x) 的单调递增区间 ④ 是 ________.  【解析】 由题知 ,f 1 (x)=-cos 2 x,f 2 (x)=-sin 2 x,f(x)= sin 2 x-cos 2 x=-cos 2x. 令 2x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z), 得 x∈ (k∈Z), 故 f(x) 的单调递增区间为 (k∈Z). 答案 : (k∈Z) 【题眼直击】 题目 题眼 思维导引 1. ① 看到对称中心 , 想到把 f(x) 化为 Asin(ωx+ φ ) 的形式 . ② 想到判断函数 f(x) 的单调性 . 2. ③ 已知正弦型函数的单调区间 , 利用 y=sin x 的单调区间 , 借助整体思想解决 . 3. ④ 要求 f(x) 的单调区间 , 要把函数化为正弦 ( 或余弦 ) 型函数 . 【拓展提升】 已知三角函数解析式求单调区间 (1) 求函数的单调区间应遵循简单化原则 : 将解析式先化简为 y=Asin(ωx+ φ ) 或 y=Acos(ωx+ φ ) 的形式 , 并注意复合函数单调性规律“同增异减” ; (2) 求形如 y=Asin(ωx+ φ ) 或 y=Acos(ωx+ φ )( 其中 , ω>0) 的单调区间时 , 要视“ ωx+ φ ” 为一个整体 , 通过解不等式求解 . 但如果 ω<0, 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数 , 防止把单调性弄错 . 【变式训练】 1. 将 f(x)= sin 2x- cos 2x+1 的图象向左平移 个单位长度 , 再向下平移 1 个单位长度 , 得到函数 y=g(x) 的图象 , 则下列关于函数 y=g(x) 的说法中正确的是 ( 　　 ) ① 函数 y=g(x) 的最小正周期是 π;② 函数 y=g(x) 的一条 对称轴是 x= ;③ 函数 y=g(x) 的一个零点是 ;④ 函 数 y=g(x) 在区间 上单调递减 . A.①② B.②③ C.①②③ D.①③④ 【解析】 选 C. 把 f(x)= sin 2x- cos 2x+1= +1 的图象向左平移 个单位长度 , 得到函数 y= 的图象 , 再向下平移 1 个单位长 度 , 得到函数 y=g(x)=2sin 的图象 . 对于 ①, 由于 T= =π, 故 ① 正确 ; 对于 ②, 由 2x+ =kπ+ ,k∈Z, 解得 x= + ,k∈Z, 可得 : 当 k=0 时 ,y=g(x) 的图象的一条对称轴为直线 x= , 故 ② 正确 ; 对于 ③,g =2sin =0, 故 ③ 正确 ; 对于 ④, 由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 解得 :kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 可得函数 y=g(x) 在区间 上单调递减 , 故 ④ 错误 . 2.(2017· 全国卷 Ⅱ) 函数 f(x)=2cos x+sin x 的最大值 为 ________.  【解析】 依题意 , 得 f(x)= sin(x+θ) . 因此函数 f(x) 的最大值是 . 答案 :