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- 2021-04-15 发布
天一大联考
2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（三）
数学（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合中的范围，然后直接求即可
【详解】由得，即，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，是基础题..
2.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简得，然后直接求即可.
【详解】因为，所以，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查复数的除法运算，是基础题..
3.执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果.
【详解】该程序的运行过程为：，，，继续循环；，，，继续循环；，，，继续循环；，，，继续循环；，，，跳出循环，输出.
故选：D.
【点睛】本题考查利用程序框图输出结果，解题关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
4.已知等差数列的公差不为0，，且是与的等比中项，则的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，可知，由题意得出，求出的值，可求出和的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列的前项和.
【详解】设等差数列的公差为，由已知得，解得.所以，，
所以的前项和.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列和的计算，涉及了等差数列求和公式以及等差数列中基本量的计算，考查运算求解能力，属于中等题.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式得出，然后利用二倍角的余弦公式可计算出的值.
【详解】因为，所以.
故选：A.
【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
6.若方程有实根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用参变量分离法得出，令，可得出实数的取值范围即为函数的值域，利用二次函数的基本性质求解即可.
【详解】方程即，
则，设.
，的值域为.
原方程有实根，实数的取值范围为.
故选：D.
【点睛】本题考查三角方程根的问题，利用换元法转化为二次方程在区间上有根是解题的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.
7.如图，网格纸上小正方形边长为，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.
【详解】
由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥，且正方体的棱长为.
如图，底面三角形的面积为，高（点到平面的距离）为，
所以该几何体的体积.
故选：C.
【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的实物图还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
8.已知数列是递增的等比数列，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设等比数列公比为，由题意列出关于和的方程组，解出即可.
【详解】设的公比为，则，由题意得，所以，得，
解得.
因为是递增的等比数列，所以.
因为，所以，所以.
故选：A.
【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出有关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.
9.如图所示，是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设圆的半径为，利用几何关系得出正三角形的高为，然后利用锐角三角函数计算出，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率.
【详解】
如图所示，取边的中线，则三个圆心都在线段上，
设最上面的圆的圆心为，圆与的切点为，
易知，所以.
设圆的半径，，则，所以.所以，而阴影部分的面积为，
所以所求概率.
故选：B.
【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
10.已知三棱锥内接于球，，，平面，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先得出为等边三角形，设其中心为，可得知，由正弦定理求出，利用公式可计算出球的半径，然后利用球体的表面积公式可计算出球的表面积.
【详解】
如图，因为，，所以是等边三角形，设其中心为，则平面，因为平面，所以.
由正弦定理得，则，
所以外接球的半径，球的表面积为.
故选：C.
【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了多面体的外接球问题，解题的关键就是要利用几何关系计算出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
11.设的导函数为，若对任意，总有，则在上的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出，再利用求出，将代入，，利用导数直接求最值即可.
【详解】由题意知，
因为，
所以的图象关于直线对称，
所以，解得，
所以，
.
令，得，.
令得或，令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增.
所以的极小值为，又因为，
所以在上的最小值为.
故选：D.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，最值既可能在极值处取到，也可能在区间端点取到，考查学生计算能力，是基础题.
12.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为.若向量与共线，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求出的方程，与渐近线方程联立求得，再由向量与共线列式求解双曲线的离心率．
【详解】由题可知，取双曲线的渐近线，
因为与直线垂直，所以，
所以的方程为，联立，
解得，即.
因为，
所以.
由已知得，所以，
所以，所以，
解得，因为，故舍去，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，训练了向量共线的坐标运算，考查计算能力，是中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，，则向量与的夹角______.
【答案】
【解析】
【分析】
计算出的值，利用平面向量数量积的定义计算出的值，结合角的取值范围可求出的值.
【详解】因为，所以，因为，，所以.因为，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，同时也考查了向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.
14.已知函数的图象的一条对称轴为直线，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角函数的对称轴，先求出的值，结合三角函数的平移关系求出的解析式即可．
【详解】由条件得，又，
所以，
即.
将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
则，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的性质求出的值以及利用三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键，比较基础．
15.过椭圆的三个顶点作圆，另一个顶点恰好为圆心，则该椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知条件列出方程，转化求解椭圆的离心率即可．
【详解】由已知可得圆的圆心为一个短轴端点，且圆的半径，得，，所以椭圆的离心率.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
16.设函数，，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出，再利用函数求导法，得到的最小值，代入即可
【详解】，
当时，有.
因为，所以
分析可知在单调递减，在单调递增，
又，
所以当时，.
因为对任意，，不等式恒成立，
所以，整理得，解得或.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数恒成立问题，转化为最值问题，考查求导法的应用，是中档题．
三、解答题：共70分.
17.设数列的前项和为，，，.
（1）求；
（2）数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意得出，可得出当时，，再由求出的值，即可求出的表达式；
（2）求出数列的通项公式，然后利用分组求和法结合等差数列、等比数列的求和公式求出.
【详解】（1）由题意得时，，所以.
又，得，
所以；
（2）由（1）知，
所以.
【点睛】本题考查利用求，同时也考查了分组求和法对数列进行求和，考查计算能力，属于中等题.
18.已知的内角、、的对边分别为、、，，，.
（1）求角；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出的值，结合角的取值范围，可得出角的值；
（2）由正弦定理可计算出的值，利用两角和的正弦定理计算出的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.
【详解】（1）由正弦定理可得，
所以，即.
因为，所以，
，则，故.
因为，所以；
（2）根据正弦定理有，所以.
因为，所以，所以，
所以.
所以的面积.
【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求三角形中的角，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
19.某校高三有600名学生，某次模拟考试的数学成绩（均为整数，且都在内）经过统计，按照，，…，分组后得到如下的频率分布直方图.
（1）求本次模拟考试数学成绩不小于120分的学生人数；
（2）估计这600名学生数学成绩的中位数（四舍五入保留整数）；
（3）用分层抽样的方法从
分数段的学生中抽取一个容量为8的样本，再从这8人中任选2人，求在分数段、内各有1人的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积表示频率，用总人数600乘以不小于120分的频率可以得到所求；
（2）根据中位数处于中间位置，则分数小于中位数的频率为0.5，计算即可；
（3）由题意，[90，100），[100，110），[110，120）三个分数段抽取人数分别为2，3，3，列出所有的基本事件的个数，以及“选取的2人，分数段[100，110）、[110，120）内各有1人”包含的基本事件的个数，即可得到所求．
【详解】（1）本次模拟考试数学成绩不小于120分的学生人数为
.
（2）设这600名学生数学成绩的中位数为，由频率分布直方图知.
所以，解得.
（3）由题意，，，三个分数段的频率比为，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为8的样本，则需在分数段内抽取2人，分别记为，，在分数段内抽取3人，分别记为，，，在分数段内抽取3人，分别记为，，.
从这8人中任选2人，基本事件共有28个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
设“选取2人在分数段，内各有1人”为事件，则包含有9个基本事件，即，，，，，，，，，
由古典概型计算公式得.
【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查古典概型的概率，主要考查分析和解决问题的能力，属于中档题．
20.如图所示，三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点，.
（1）求的大小；
（2）若平面平面，求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）在中，求出，即可得；
（2）点到平面的距离为，利用等体积法，求出对应的底面积和高代入计算即可.
【详解】（1）由题意可知是正三角形，因为为的中点，所以.
又因为，而，所以平面.
所以.
在中，，所以.
（2）由（1）知，因为平面平面，交线为，
所以平面，所以.
由（1）可知是正三角形，计算可得，，.
所以.
设点到平面的距离为，
因为，即，
所以，
则.
本题考查空间几何体的特征，线面垂直的判定与性质应用，距离的计算方法.
【点睛】本题考查点到面的距离问题，通过等体积法转化为几何体的高，是基础题.
21.已知抛物线，焦点为，点在抛物线上，且到的距离比到直线的距离小1.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点为直线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点分别为，求证:直线恒过某一定点.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线定义可得直线为抛物线的准线，即得，（2）关键求出直线AB方程，先设切点的坐标，利用导数几何意义可得切线斜率，进而根据点斜式可得切线方程，求两切线方程交点可得点坐标，由于点在直线上，所以可得.最后联立AB方程与抛物线方程，利用韦达定理得，即得直线恒过定点.
试题解析：（1）因为到的距离与到直线的距离相等，由拋物线定义知，直线为抛物线的准线，所以，得,所以抛物线的方程为.
（2）设切点的坐标分别为，由(1)知，.
则切线的斜率分别为,,
故切线 的方程分别为,,
联立以上两个方程，得故的坐标为.
因点在直线上，所以，即.
设直线的方程为，代入抛物线方程，得，所以，即，所以.
故的方程为,故直线恒过定点.
22.已知函数.
（1）求的极值；
（2）已知函数，其中为常数且，若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）的极小值为，没有极大值；（2）
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合导数与函数的单调性的关系可判断函数的单调性，进而可求极值，
（2）由在区间[1，2]上为单调函数，可得或在区间[1，2]上恒成立，转化求解函数最值即可．
【详解】（1）因为，所以.
令，得.令，则，令，则，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
所以函数的极小值为，没有极大值.
（2）由题意得，
所以.
因为在上是单调函数，所以在区间上或恒成立，
即或在上恒成立，即或在上恒成立，
即或，其中.
令，易知函数在上单调递增，故，
所以或，
解得或或，
故的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了导数的应用，利用导数判断函数的单调性及函数的极值及由函数的单调性求解参数，体现了转化思想的应用．