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- 2021-04-15 发布
2017-2018学年四川省成都市“五校联考”高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（ ）
A．（1，0，0） B．（1，0，1） C．（1，1，1） D．（1，1，0）
2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
3．（5分）与直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称的直线的方程为（ ）
A．3x+5y+4=0 B．3x﹣5y﹣4=0 C．5x﹣3y+4=0 D．5x+3y+4=0
4．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为（ ）
A．3，﹣11 B．﹣3，﹣11 C．11，﹣3 D．11，3
5．（5分）设点A（﹣2，3）、B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=0
8．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣
9．（5分）点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线与椭圆有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（5分）己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
12．（5分）已知圆C的方程（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆
=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．（5分）若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x= ．
14．（5分）不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是 ．
15．（5分）已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是 ．
16．（5分）已知A（1，2），B（﹣1，2），动点P满足，若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知直线l1：2x+y+2=0，l2：mx+4y+n=0
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若l1∥l2，且l1与l2间的距离为，求m，n的值．
18．（12分）某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如表：
每件产品A
每件产品B
研制成本、搭载
费用之和（万元）
20
30
计划最大资金额
300万元
产品重量（千克）
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益（万元）
80
60
分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．
19．（12分）已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）
（Ⅰ）求圆的方程
（II）直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量（O为坐标原点），求实数k．
20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，
（Ⅰ）求C的方程；并求其准线方程；
（II）已知A （1，﹣2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知直x﹣y+m=0与椭圆E交于不同的两点A，B，且线AB的中点不在圆
内，求m的取值范围．
22．（12分）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
2017-2018学年四川省成都市“五校联考”高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（ ）
A．（1，0，0） B．（1，0，1） C．（1，1，1） D．（1，1，0）
【分析】由正方体的棱长为1，结合题中的坐标系求出点B1在x轴、y轴、z轴上射影点的坐标，即可得到点B1的坐标．
【解答】解：根据题意，可得
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
∴点B1在x轴上的射影点为A（1，0，0），可得B1的横坐标为1；点B1在y轴上的射影点为C（0，1，0），
可得B1的纵坐标为1；点B1在z轴上的射影点为D1（0，0，1），可得B1的竖坐标为1．
由此可得点B1的坐标是（1，1，1）．
故选：C
【点评】本题给出坐标系和正方体的棱长，求定点B1的坐标．着重考查了空间坐标系的定义和正方体的性质等知识，属于基础题．
2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，直接求解即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，双曲线的基本性质的应用，考查计算能力．
3．（5分）与直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称的直线的方程为（ ）
A．3x+5y+4=0 B．3x﹣5y﹣4=0 C．5x﹣3y+4=0 D．5x+3y+4=0
【分析】令坐标（x，y）关于原点对称为（﹣x，﹣y），带入直线方程可得答案．
【解答】解：直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称，
设坐标（x，y）是所求直线方程上的点，
那么：坐标（x，y）关于原点对称为（﹣x，﹣y）在直线l上，
则有：﹣3x+5y+4=0，
化简可得：3x﹣5y﹣4=0．
故选B．
【点评】本题考查了直线关于原点对称直线方程的求法，属于基础题．
4．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为（ ）
A．3，﹣11 B．﹣3，﹣11 C．11，﹣3 D．11，3
【分析】①作出可行域②z为目标函数纵截距负四倍③画直线3x﹣4y=0，平移直线观察最值．
【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，
可知当直线z=3x﹣4y平移到点（5，3）时，
目标函数z=3x﹣4y取得最大值3；
当直线z=3x﹣4y平移到点（3，5）时，
目标函数z=3x﹣4y取得最小值﹣11，故选A．
【点评】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x﹣4y的几何意义是解答好本题的关键．
5．（5分）设点A（﹣2，3）、B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：∵直线ax+y+2=0过定点（0，﹣2），斜率为﹣a，
如图，
，
∴若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，
则﹣a或﹣a．
即a或．
∴答案为：．
故选：D．
【点评】本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
6．（5分）已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【分析】根据线段AN的垂直平分线交MA于点P可知|PA|=|PN|，进而可知PM|+|PA|=6，根据椭圆的定义可知点P的轨迹为椭圆．
【解答】解：∵|PA|=|PN|，∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|MA|=6＞|MN|．
故动点P的轨迹是椭圆．
故选B
【点评】本题主要考查了用定义法求轨迹方程的问题．属基础题．
7．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=0
【分析】设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减再变形得，又由弦中点为（4，2），可得k=
，由此可求出这条弦所在的直线方程．
【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，
则，
两式相减再变形得
又弦中点为（4，2），故k=，
故这条弦所在的直线方程y﹣2=（x﹣4），整理得x+2y﹣8=0；
故选D．
【点评】用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法．
8．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣
【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．
【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），
故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．
∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，
∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，
化为24k2+50k+24=0，
∴k=或﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．
9．（5分）点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据条件求出店A的坐标，再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p；得到 =，再代入离心率计算公式即可得到答案．
【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，
联立⇒；
故A（，）．
∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，
∴+=p；
∴=．
∴双曲线C2的离心率e===．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系．
10．（5分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线与椭圆有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①双曲线的焦点坐标为（±5，0），
椭圆的焦点坐标为（±5，0），
所以双曲线与椭圆有相同的焦点，正确；
②不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．
设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．
而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，
由抛物线的定义可得：==半径．
所以圆心M到准线的距离等于半径，
所以圆与准线是相切，正确．
③平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，
当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，所以不正确；
④设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），
由则可知P为AB的中点，则B（2x﹣m，2y﹣n），
因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，
把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，
当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以不正确．
故选B．
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．
11．（5分）己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】由x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值．
【解答】解：∵x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，
∴P到x=﹣1的距离等于PF，
∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）
∴过P作4x﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，
∴点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值
就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，
∴最小值==2．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．
12．（5分）已知圆C的方程（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆
=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由圆切线的性质，即与圆心切点连线垂直设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．
【解答】解：设PA与PB的夹角为2α，
则|PA|=PB|=，
∴y==||||cos2α=•cos2α
=•cos2α．
记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3，
∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=，
∴的最大值为=，
∴的范围为[2﹣3，]，
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．（5分）若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x= 3 ．
【分析】三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线，利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程求出x．
【解答】解：三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，
，，
⇒1×（﹣10）=﹣5（x﹣1）⇒x=3
故答案为3
【点评】本题考查向量坐标的求法、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．
14．（5分）不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是 （2，3） ．
【分析】直线方程即 k（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，一定经过2x﹣y﹣1=0和﹣x﹣3y+11=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标．
【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0
即 k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0，
根据k的任意性可得 ，
解得，
∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）=0都经过一个定点（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】本题考查经过两直线交点的直线系方程形式，直线 k（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0 表示过ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点的一组相交直线，但不包括ax+by+c=0这一条．
15．（5分）已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是 x=﹣4和4x+3y+25=0 ．
【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．
【解答】解：圆心（﹣1，﹣2），半径r=5，弦长m=8，
设弦心距是d，
则由勾股定理，
r2=d2+（）2
d=3，
若l斜率不存在，直线是x=﹣4，
圆心和他的距离是﹣3，符合题意，
若l斜率存在，设直线方程y+3=k（x+4），
即kx﹣y+4k﹣3=0，
则d==3，
即9k2﹣6k+1=9k2+9，
解得k=﹣，所以所求直线方程为x+4=0和4x+3y+25=0，
故答案为：x=﹣4和4x+3y+25=0．
【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查圆心到直线的距离公式的应用，注意直线的斜率不存在的情况，容易疏忽，产生错误．
16．（5分）已知A（1，2），B（﹣1，2），动点P满足，若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 （1，2） ．
【分析】设P（x，y），由动点P满足AP⊥BP，即有x2+（y﹣2）2=1，求出双曲线的渐近线方程，运用圆心到直线的距离大于半径，得到3a2＞b2，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到范围．
【解答】解：设P（x，y），由于点A（1，2）、B（﹣1，2），
动点P满足，
则（x﹣1，y﹣2）•（x+1）（y﹣2）=0，
即（x﹣1）（x+1）+（y﹣2）2=0，
即有x2+（y﹣2）2=1，
设双曲线﹣=1的一条渐近线为y=x，
由于这条渐近线与动点P的轨迹没有公共点，
则d=＞1，
即有3a2＞b2，由于b2=c2﹣a2，
则c2＜4a2，即c＜2a，则e=＜2，
由于e＞1，则有1＜e＜2．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知直线l1：2x+y+2=0，l2：mx+4y+n=0
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若l1∥l2，且l1与l2间的距离为，求m，n的值．
【分析】（1）由l1⊥l2，可得﹣2×=﹣1，解得m．
（2）l1∥l2，则，解得m．在直线l1上取点（0，﹣2），由l1与l2间的距离为，可得：=，解得n．
【解答】解：（1）∵l1⊥l2，∴﹣2×=﹣1，解得m=﹣2．
（2）l1∥l2，则，解得m=8．
在直线l1上取点（0，﹣2），由l1与l2间的距离为，
∴=，解得n=18，或﹣2．满足条件．
∴m=8，n=18，或﹣2．
【点评】本题考查了相互垂直与平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（12分）某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如表：
每件产品A
每件产品B
研制成本、搭载
费用之和（万元）
20
30
计划最大资金额
300万元
产品重量（千克）
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益（万元）
80
60
分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．
【分析】设搭载的产品中A有x件，产品B有y件，得到关于x，y的不等式组，即约束条件和目标函数，然后根据线行规划的方法不难得到结论
【解答】解：设搭载产品Ax件，产品By件，
预计总收益z=80x+60y．
则，作出可行域，如图．
作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，
当直线经过M点时z能取得最大值，
联立，解得M（9，4）．
∴zmax=80×9+60×4=960（万元）．
答：搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查简单的数学建模思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
19．（12分）已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）
（Ⅰ）求圆的方程
（II）直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量（O为坐标原点），求实数k．
【分析】（Ⅰ）求出圆心与半径，即可求圆的方程；
（II）直线与圆联立：得：（1+k2）x2+6kx+7=0，利用韦达定理，M代入圆方程：（x1+x2）2+（y1+y2）2=2，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣4a）2=r2
因为直线相切，圆心到直线的距离d=，
且圆心与切点连线与直线l垂直
则：可得a=0，r=，
所以圆的方程为：x2+y2=2．
（II）直线与圆联立：，
得：（1+k2）x2+6kx+7=0，
△=8k2﹣28＞0，解得．k或k，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则：，，
，
将M代入圆方程：（x+x2）2+（y1+y2）2=2，
，
求得k=．
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力．
20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，
（Ⅰ）求C的方程；并求其准线方程；
（II）已知A （1，﹣2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．
【分析】（I）由抛物线的定义可知：|MF|=1﹣（﹣）=2，解得p=2，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．
（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，
由抛物线的定义可知：|MF|=1﹣（﹣）=2，解得p=2，
因此，抛物线C的方程为y2=4x；其准线方程为x=﹣1．…（5分）
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，（OA的方程为：y=﹣2x）
由，得y2+2 y﹣2 t=0．…（7分）
因为直线l与抛物线C有公共点，所以得△=4+8 t，解得t≥﹣1/2．…（8分）
另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得，解得t=±1．…（10分）
因为﹣1∉[﹣，+∞），1∈[﹣，+∞），所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y﹣1=0．…（12分）
【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．
21．（12分）已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知直x﹣y+m=0与椭圆E交于不同的两点A，B，且线AB的中点不在圆内，求m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由已知列关于a，b，c的方程，联立方程求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求得AB的中点坐标，再由AB的中点不在圆
内结合判别式可得m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，
又a2=b2+c2，且，
联立解得：，c=1．
∴椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）联立，消去y整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0．
则△=16m2﹣12（2m2﹣2）=8（﹣m2+3）＞0，解得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
，即AB的中点为（）．
又AB的中点不在圆内，
∴，解得：m≤﹣1或m≥1．
综上可知，或1．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．
22．（12分）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）由斜率公式写出e1，e2，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；
（Ⅱ）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，且．
∵e1e2=，且|F2F4|=﹣1．
∴，且．
解得：．
∴椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（﹣1，0）．
∵直线AB不垂直于y轴，
∴设AB的方程为x=ny﹣1，
联立，得（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则，．
则
==．
∵M在直线AB上，
∴．
直线PQ的方程为，
联立，得．
解得，代入 得．
由2﹣n2＞0，得﹣＜n＜．
∴P，Q的坐标分别为，
则P，Q到AB的距离分别为：，．
∵P，Q在直线A，B的两端，
∴．
则四边形APBQ的面积S=|AB|．
∴当n2=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2．
【点评】
本题考查圆锥曲线方程的求法，是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题，考查了椭圆与双曲线的基本性质，关键是学生要有较强的运算能力，是压轴题．