- 1.88 MB
- 2021-04-15 发布
www.ks5u.com
2019-----2020学年高一年级第一次月考
数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得集合，要使得，则，故选A.
考点：集合运算.
2.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对集合和进行化简，然后根据题意取交集，得到答案.
【详解】集合
集合，
图中阴影部分表示为和的公共部分，
即，
故选：D.
【点睛】本题考查解绝对值不等式，指数不等式，集合的交集运算，属于简单题.
3.已知，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数与对数的关系，表示出，，然后代入，根据对数运算公式，计算得到答案.
【详解】因为，
所以，
代入，
，所以，
即，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查指数与对数的互换，指数的运算公式，属于简单题.
4.已知函数，若，则的值是( )
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
按和分类，分别计算，得到的值，从而得到答案.
【详解】当时，由，
得，解得，
当时，由，
得，解得，
故的值为或.
故选：D.
【点睛】本题考查根据分段函数的值求自变量的值，属于简单题.
5.设偶函数的定义域为R，当x时是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A. << B. >>
C. << D. >>
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性得到，结合单调性得到.
【详解】因为是R上的偶函数
所以
又x时是增函数，且
所以
即
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性来比较函数值的大小，属于基础题.
6.若函数为奇函数，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质，，整理化简后，得到的值.
【详解】因为函数为奇函数，
所以
即
整理得，
因为，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数的值，属于简单题.
7.若函数的定义域为 ，则实数 取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得出，不等式mx2mx+2>0的解集为R，从而可看出m＝0时，满足题意，m≠0时，可得出，解出m的范围即可．
【详解】∵函数f（x）的定义域为R；
∴不等式mx2mx+2>0的解集为R；
①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；
②m≠0时，则；
解得0＜m<8；
综上得，实数m的取值范围是
故选A．
【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R时，判别式△需满足的条件．
8.已知在上是奇函数,且；当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，得到周期，所以，根据为奇函数得到，从而得到答案.
【详解】因满足，
所以为周期函数，周期，
所以，
因为为奇函数，所以
因为当时，，
所以
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，求函数的值，属于简单题.
9.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】函数在上为减函数，
函数的图像开口向下，对称轴为，
所以函数在区间上为减函数，
且.
所以函数在上为减函数.
由得.解得.
故选A.
【点睛】本题主要考查函数不等式的求解，利用分段函数的表达式判断函数的单调性，利用函数的单调性是解决本题的关键．
10.记表示中的最大者，设函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可．
【详解】
函数的图象如图，
直线与曲线交点，，，，
故时，实数的取值范围是或.
故选A.
【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.
11.已知，设，最大值为，最小值为，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先对进行化简，然后证明关于成中心对称，从而得到最大值和最小值也关于成中心对称，得到，得到答案.
【详解】
定义域，关于原点对称，
所以
所以函数的图像关于点成中心对称，
所以函数的最大值和最小值也关于成中心对称，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查函数的对称性的判断和应用，属于简单题.
12.用表示非空集合中元素个数，定义，若
，，且，则实数的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，可确定，根据，可得或，然后解集合中的方程，根据根的个数，讨论的范围，从而得到答案.
【详解】集合中的方程，其
所以
因为定义，且，
所以或，
即集合中的方程，有个根或者个根，
而当时，方程一定有根，
所以集合中的方程，有个不同的根，
则需方程以及必须各有两不同的根，
从而得到，
所以或.
故选：D.
【点睛】本题考查集合元素个数的判断，一元二次方程根的情况，读懂新定义将集合元素个数转化为方程根的个数，是本题的关键，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.化简计算__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先对底数分子有理化，然后根据对数运算公式进行化简，从而得到答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查对数运算公式，属于简单题.
14.当且时，函数必过定点__________．
【答案】
【解析】
【分析】
令指数为零，求出的值，再代入函数的解析式，即可得出该函数所过定点的坐标.
【详解】令，得，，因此，函数必过定点.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数型函数图象过定点的问题，一般利用指数为零来得出，考查计算能力，属于基础题.
15.设集合若集合中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为，则集合__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，列出集合的三个元素的子集，然后得到方程组，解方程组，得到答案.
【详解】集合中三个元素的子集为：、、、，
因为集合中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为，
所以得到，解得
所以集合.
故答案为：
【点睛】本题考查集合的子集，读懂题目给出的定义是解题的关键，属于简单题.
16.已知偶函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数和在上单调递减，且，得到的图像，从而得到的图像，将转化为的值与的值同号，根据图像，得到答案.
【详解】因为偶函数在上单调递减，若
所以单调递增，，
为的图像向右平移个单位，
画出的图像，如图所示，
不等式表示的值与的值同号
根据图像可得，当时，，当时，
所以不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的应用，根据函数的性质解不等式，属于简单题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤.
17.已知函数，且，.
(1)求，的值；
(2)判断的奇偶性并证明；
【答案】(1) ，；(2) 偶函数,证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据，，得到关于，的不等式组，解出，的值；(2)判断定义域，然后研究与的关系，从而进行证明.
【详解】(1) 函数，
因为，.
所以，
解得，
（2）由（1），，
所以
定义域为，
，
所以为偶函数.
【点睛】本题考查根据函数的值求参数，函数奇偶性的判断，属于简单题.
18.设全集为，，．
（1）求．
（2）若，，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到，然后根据集合的并集运算得到；（2）由得到，从而得到关于的不等式，解得的范围，得到答案.
【详解】（1）全集为，，
所以，
因为
所以；
（2）因为，所以，
而，
所以得到，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题考查集合的并集和补集运算，根据交集运算结果求参数的范围，属于简单题.
19.已知函数，若在区间上有最大值1．
（1）求值；
（2）若在上单调，求数取值范围．
【答案】（1）-1；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数的开口方向和对称轴，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表达式，根据函数的单调性求出m的范围即可．
【详解】因为函数的图象是抛物线，，
所以开口向下，对称轴是直线，
所以函数在单调递减，
所以当时，，
因为，，
所以，
，
在上单调，
，或.
从而，或
所以，m的取值范围是.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题;二次函数在小区间上的单调性，需要讨论二次函数对称轴和区间的位置关系,结合函数图像的特点得到函数的单调性，进而得到最值.
20.已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．
（1）求，的解析式；
（2）若时，恒有成立，求的最大值．
【答案】（1）求，；（2）的最大值5.
【解析】
【分析】
（1）在中用代替，得到，两式联立得到解析式，设，根据条件，得到的值，从而求出的解析式.（2）根据，得到的取值范围，再根据题意，得到的最大值.
【详解】（1）①，
用代替上式中的，
得②，
联立①②，可得；
设，
所以，
即
所以，解得，，
又，得，所以.
（2）令，
即
解得
所以当时，
若要求时，恒有成立，
可得，即的最大值是.
【点睛】本题考查构造方程组法求抽象函数的解析式，待定系数法求函数解析式，解一元二次不等式，属于中档题.
21.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，有,求的取值范围.
【答案】（1）单增区间为和，单减区间为和；（2）
【解析】
【分析】
（1）区分出函数的内外层，根据复合函数单调性的判断，求出的单调区间；（2）判断出的奇偶性，再结合单调性，由得到关于的不等式组，解出的取值范围.
【详解】（1）函数
设，则
外层函数是单调递增函数，
内层函数的单调递增区间和，
单调递减区间为和，
所以根据复合函数单调性，
可得的单增区间为：和，单减区间为和.
（2）定义域为，关于原点对称，
所以为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，
因为
所以，解得
所以的范围为
【点睛】本题考查求复合函数单调区间，判断函数的奇偶性，根据奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.
22.设函数，.
（1）求函数的解析式；
（2）设，在上的最小值为，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，代入得，求得，即可得到函数的解析式；
（2）由，得，令，得到函数，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由函数，且，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以函数的解析式为.
（2）由，
可得，
令，
可得函数为增函数，∵，∴，
令.
若，当时，，∴，∴
若，当时，，解得，舍去.
综上可知.
【点睛】本题主要考查了指数函数图象与性质，以及二次函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记指数的运算性质，以及合理换元法和二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.