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- 2021-04-15 发布
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广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试 数学（文)
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合，设，则集合的元素个数为( )
A．9 B．8 C．3 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
写出集合A,由交集运算得到集合C，从而得到元素个数.
【详解】
,,
则，集合C的元素个数为2，
故选：D
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于简单题.
2．设，则=（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
试题分析：因，故，所以应选B.
考点：复数及模的计算．
3．下列全称命题中假命题的个数是( )
①是整数；②对所有的，；③对任意一个，为奇数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
试题分析：当x=时①错；当x=0时②错；所以①②是假命题。
对任意一个x∈Z，∵2x2是偶数，∴③是真命题．即假命题有2个，选C．
考点：本题主要考查全称命题真假判断。
点评：要判断一个全称命题是真命题，我们要有一个严格的论证过程，但要说明一个全称命题是一个假命题，只需要举出一个反例即可。此类题综合性较强，主要涉及知识面广。
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由指数函数和对数函数图像的性质即可判断出a，b，c的大小关系．
【详解】
指数函数y=在R上单调递增，故a=20.6＞20＝1，
对数函数y=在上单调递增，则0＜b=logπ3＜1，
对数函数y=在上单调递增，则；
∴c＜b＜a．
故选：A．
【点睛】
解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间；二是利用函数的单调性直接解答；
5．某公司2013—2018年的年利润(单位：百万元)与年广告支出(单位：百万元)的统计资料如表所示：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
利润
12.2
14.6
16
18
20.4
22.3
支出
0.62
0.74
0.81
0.89
1.00
1.11
根据统计资料，则 ( )
A．利润中位数是16，与有正相关关系
B．利润中位数是17，与有正相关关系
C．利润中位数是17，与有负相关关系
D．利润中位数是18，与有负相关关系
【答案】B
【解析】
【分析】
求出利润中位数，而且随着利润的增加，支出也在增加，故可得结论．
【详解】
由题意，利润中位数是，而且随着利润的增加，支出也在增加，故x与y有正线性相关关系
故选：C．
【点睛】
本题考查中位数的求法，如果样本容量是奇数中间的数就是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数就是中位数.
6．过点引圆的切线，则切线长是 ( )
A．3 B． C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心到点P的距离d，根据圆的半径r，即可求出切线长．
【详解】
∵圆x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0的标准方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，
圆心（1，2）到点 的距离d＝；圆的半径r＝2，
∴切线长为l＝．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆的方程与性质，以及切线长公式的应用，过点
向圆作切线PM（M为切点），则切线长.
7．已知非零向量，若，则与的夹角（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件容易求出t=4，从而得出，从而得出可设与的夹角为θ，这样根据 即可求出cosθ，进而得出θ的值．
【详解】
因
∴t=4；
∴，，
设与的夹角为θ，则：，
∴
故答案为：A．
【点睛】
本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
8．执行如下图的程序框图，那么输出的值是( )
A．2 B．1 C． D．-1
【答案】A
【解析】
【分析】
模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k和S值，根据题意即可得到结果.
【详解】
程序运行如下，k=0, S＝＝﹣1，
k＝1，S＝＝；
k＝2，S＝；
k＝3，S＝＝-1…
变量S的值以3为周期循环变化，当k=2018时，s=2，
K=2019时，结束循环，输出s的值为2．
故选：A．
【点睛】
本题考查程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期，是基础题．
9．点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为.
①的最小正周期是；
②的值域为；
③的初相为；
④在上单调递增.
以上说法正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件利用正弦函数的周期性、单调性、最值，以及图象的对称性，即可得出结论．
【详解】
∵点P（﹣，1）是函数f（x）＝sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜）的图象的一个对称中心，∴m＝1，ω•（﹣）+φ＝kπ，k∈Z．
∵点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，∴ω＝2，
∴φ＝kπ+, k∈Z，又|φ|＜∴φ＝，f（x）＝sin（2x+）+1．
故①f（x）的最小正周期是π，正确；②f（x）的值域为[0，2]，正确；
③f（x）的初相φ为，正确；
④在[，2π]上，2x+∈[，]，根据函数的周期性，函数单调性与 [﹣，]时的单调性相同，故函数f（x）单调递增，故④正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，属于基础题．
10．分别在区间和内任取一个实数，依次记为和，则的概率为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：的概率为,故选A.
考点：几何概型.
11．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
此题转化为（x+）min＜m2+3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．
【详解】
∵不等式x+ m2+3m有解，
∴（x+）min＜m2﹣3m，
∵x＞0，y＞0，且，
∴x+＝（x+）（）＝＝4，
当且仅当，即x＝2，y＝8时取“＝”，
∴（x+）min＝4，
故m2+3m＞4，即（m-1）（m+4）＞0，
解得m＜﹣4或m＞1，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了基本不等式在最值中的应用和不等式有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．
12．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论．
【详解】
如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，
设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，
4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos
∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，
∴≥2
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知双曲线的焦距为，点在双曲线的渐近线上，则双曲线的方程为__________ .
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得c，即有a2+b2，由点P在渐近线上，可得a＝2b，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线方程．
【详解】
双曲线的焦距为，
可得2c＝，即c＝，即有a2+b2＝125，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，点在双曲线的渐近线上，
可得a＝2b，解得a＝10，b＝5，
得到双曲线方程为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查双曲线方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．
14．已知复数满足，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用复数的商的运算计算得到复数的共轭复数，从而得到复数z.
【详解】
，
则复数z=2-i,
故答案为：2-i
【点睛】
本题考查复数的商的运算及共轭复数的概念，属于简单题.
15．已知函数，若函数的图象在处的切线方程为，则实数___________ .
【答案】
【解析】
【分析】
对函数f(x)求导，由切线斜率为1，可得到答案.
【详解】
函数f（x）＝，则导数,
由函数f（x）的图象在x＝2处的切线方程为y＝x+b可知,
解得a＝﹣2，
故答案为：-2
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，利用曲线在某点处的切线的斜率等于函数在这点处的导数解决问题.
16．已知数列的前项和为，，且，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，写出，利用两式作差得到，然后利用累乘法可求出数列的通项.
【详解】
数列的前项和为，且当n≥2时，，①
则有，②
②-①得： ，整理得（n≥2），
则当n≥3时有，
解得（n≥3）,
检验：当n=2时，满足上式，
当n=1时，不满足上式，
则，
故答案为：
【点睛】
本题考查由数列的递推关系式求数列的通项，考查累乘法求通项，考查计算能力.
评卷人
得分
三、解答题
17．某银行对某市最近5年住房贷款发放情况(按每年6月份与前一年6月份为1年统计)作了统计调查，得到如下数据：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
贷款(亿元)
50
60
70
80
100
(1)将上表进行如下处理：，
得到数据：
1
2
3
4
5
0
1
2
3
5
试求与的线性回归方程，再写出与的线性回归方程.
(2)利用(1)中所求的线性回归方程估算2019年房贷发放数额.
参考公式：,
【答案】（1）；（2）108亿元.
【解析】
【分析】
（1）利用题目中数据求出a和b,即可得z=bt+a,将t＝x﹣2013，z＝（y﹣50）÷10，代入上式整理可得结果．（2）把x＝2019代入回归直线方程即可得到答案.
【详解】
（1）计算得＝3，＝2.2，，,
所以， a＝2.2﹣1.2×3＝﹣1.4，
所以z＝1.2t﹣1.4．
注意到t＝x﹣2013，z＝（y﹣50）÷10，代入z＝1.2t﹣1.4，即（y﹣50）÷10=1.2(x-2013)-1.4,
整理可得y＝12x﹣24120．
（2）当x＝2019时，y＝12×2019﹣24120＝108，即2019年房贷发放数额为108亿元．
【点睛】
本题考查回归直线方程的求解及其应用，其中认真审题，利用表中数据和公式，准确合理的运算是解决此类问题的关键，考查运算能力，属于基础题.
18．如图，在中，点在边上，，，，．
（1）求的面积；
（2）求线段的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）求得的值后再利用三角形的面积计算公式即可求解；（2）利用余弦定理求得的值后即可求解．
试题解析：（1）∵，且，∴．又∵，
∴．∴．∵,，
∴ ；（2） ∵，
且,，，∴，
∴．又∵，
∴，又∵在中,,∴,即,
∴．
考点：余弦定理解三角形．
19．按规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml（不含80）之间，属酒后驾车；在（含80）以上时，属醉酒驾车．某市交警在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员20人，右图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；
（2）从血液酒精浓度在范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．
【答案】（1）3人；（2）；
【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图，先求出血液酒精浓度在和在范围内的人数，然后作和即为醉酒驾车的人数；（2）先求出从血液酒精浓度在范围内驾驶员中任取2人的所有个数，以及恰有一人的血液酒精浓度在范围内的所有个数，两个数值做比值即可；
试题解析：（1）由频率分布直方图可知：血液酒精浓度在范围内有：人，
血液酒精浓度在范围内有：人，所以醉酒驾车的人数为2+1=3人；
（2）因为血液酒精浓度在内范围内有3人，记为，范围内有2人，记为，则从中任取2人的所有情况为共10种，恰有一人的血液酒精浓度在范围内的情况有，共6种设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件，则
考点：频率分布直方图；
20．已知等差数列的前项和为,且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的公差不为0，数列满足,求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列中项的定义，等差数列的通项和等差数列的前n项和公式列出首项和公差的方程组，即可解得答案.（2）利用错位相减求和即可得到答案.
【详解】
（1）由成等比数列得，设等差数列的公差为d，则，化简得或d=0.
当时，，得，
∴，即；
当d=0时，由，得，即；
（2）若数列的公差不为知,，
所以……①
……②
由①②可得
.
【点睛】
本题考查等差数列通项和等比数列中项的定义的应用，考查等差数列前n项和和错位相减求和法的应用，考查计算能力，属于基础题.
21．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)点为轨迹上任意一点，直线为轨迹上在点处的切线，直线交直线于点，过点作交轨迹于点，求的面积的最小值．
【答案】（1）；（2）16.
【解析】
【分析】
（1）设出动圆圆心C的坐标，由圆的半径、弦心距及半弦长的关系列式整理求得动圆圆心轨迹C的方程；（2）由抛物线方程设出P点坐标，利用导数得到切线PR方程，代入y＝﹣1得点R横坐标，求PQ所在直线方程，和抛物线联立，由根与系数关系得Q点横坐标，求出线段PQ和PR的长度，由三角形面积公式得到面积关于P点横坐标的函数，利用换元法及基本不等式求最值．
【详解】
（1）设动圆圆心C（x，y），由动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4得，|CA|2﹣y2＝4，即x2+（y﹣2）2﹣y2＝4，整理得：x2＝4y．∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2＝4y；
（2）C的方程为x2＝4y，即，故，设P(t,)（t≠0），
PR所在的直线方程为，即，
令y=-1得点R横坐标，|PR|=；
PQ所在的直线方程为，即，
由，得，
由得点Q横坐标为，
∴|PQ|=，
，不妨设t＞0，,
记 ，则当t＝2时，f（t）min＝4,
则三角形面积的最小值为．
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，同时考查利用换元法和基本不等式解决最值问题，属于中档题.
22．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)是否存在实数，使得函数的极值大于?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间
为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）存在，范围为
【解析】
试题分析：（1）函数的定义域为，.
① 当时，，∵∴，∴ 函数单调递增区间为
② 当时，令得，即，.
（ⅰ）当，即时，得，故，
∴ 函数的单调递增区间为.
（ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为，.
若，则，此时，当时，.
∴函数的单调递增区间为，若，则，此时，当时，，当时，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间
为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
∴有极大值，其值为，其中.
∵，即， ∴.
设函数，则，
∴在上为增函数，又，则 ，
∴ .
即，结合解得，∴实数的取值范围为.
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．