2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版） 13页

‎2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知向量，.若，则实数C的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据向量的数量积坐标运算直接求得结果即可.‎ ‎【详解】‎ 由题，向量，‎ 所以 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了向量数量积的运算，熟悉公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎2．数列1,3,7,15，…的一个通项公式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】可通过取值依次验证通项公式，排除法得到结果.‎ ‎【详解】‎ 选项：当时，，不合题意，错误；‎ 选项：当时，，不合题意，错误；‎ 选项：当时，，不合题意，错误；‎ 选项：，可知符合数列通项形式，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎3．在等差数列中，若，则=（ ）‎ A．13 B．14 C．15 D．16‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为数列是是等差数列，所以可将用首项和公差表示为 ‎，即，然后用首项和公差表示，即，进而整体代入便可得结果。‎ ‎【详解】‎ 解：因为数列是是等差数列，设首项为，公差为 所以可转化为，即 所以 故选A ‎【点睛】‎ 等差数列问题常见的解法是利用等差数列的基本量来进行求解，也可以利用等差数列的性质来进行解题，解题时应灵活运用。‎ ‎4．在△ABC中，∠A=30°，a=4，b=5，那么满足条件的△ABC（　　）‎ A．无解 B．有一个解 C．有两个解 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子，代入题中数据化简得c2-5c+9=0，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得△ABC有两个解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵在△ABC中，∠A=30°，a=4，b=5，‎ ‎∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得 ‎16=25+c2-10ccos30°，得c2-5c+9=0（）‎ ‎∵△=（5）2-4×1×9=39＞0，且两根之和、两根之积都为正数，‎ ‎∴方程（）有两个不相等的正实数根，即有两个边c满足题中的条件，‎ 由此可得满足条件的△ABC有两个解 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出三角形的两条边和其中一边的对角，判断三角形解的个数．着重考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识，属于基础题．‎ ‎5．已知等比数列的前项和为，且,则 (   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等比数列的性质可得仍成等比数列，进而可用表示和,代入化简可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由等比数列的性质可得，仍成等比数列，‎ ‎，‎ ‎ ,成等比数列，‎ ‎，解得，‎ ‎,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质与应用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.‎ ‎6．若实数a、b满足条件，则下列不等式一定成立的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，直接取特值，和可以排除B、C、D选项，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题，依次分析选项，取，此时，故B错；‎ 此时，C错；再取，此时，D错 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式，属于基础题.‎ ‎7．在中，内角的对边分别为，若，则的外接圆面积为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由正弦定理和内角和定理，对原式进行化简可求得外接圆半径R，可得面积.‎ ‎【详解】‎ 因为，由正弦定理可得：‎ ‎ ‎ 化简，在三角形ABC中，‎ 可得 ‎ 所以外接圆面积 ‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理解三角形，熟悉公式进行化简是解题关键，属于基础题.‎ ‎8．若关于x的一元二次不等式的解集为R，则实数a的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，得出，再分析不等式开口和判别式，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题，因为为一元二次不等式，所以 ‎ 又因为的解集为R 所以 ‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式解法，利用二次函数图形解题是关键，属于基础题.‎ ‎9．在上定义运算，若存在使不等式成立，则实数的取值范围为　 　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先将原式进行化简，然后参变分离，转化为求最值，最后变换成关于m的不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 令 ‎ 因为 ‎ 即 ‎ 也就是 在时，，取最大值为6‎ 所以 ‎ 解得 ‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的解法，转化思想非常重要，是解题的关键，属于中档题.‎ ‎10．已知数列满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由递推公式依次求出，找出数列的项之间规律即周期性，利用周期性求出.‎ ‎【详解】‎ 由和得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 可得数列是周期为4的周期数列，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用递推公式求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.‎ ‎11．在中，内角的对边分别为，若，且，则是（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】由正弦定理化简和，可判断出三角形ABC的形状.‎ ‎【详解】‎ 因为，由正弦定理可得：‎ ‎ ‎ 化简可得，在三角形中，所以B=C，b=c 又因为，所以可得 ‎ 所以三角形ABC为等腰直角三角形 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理解三角形，熟悉公式是关键，属于中档题.‎ ‎12．在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,,,则的面积（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题利用余弦定理，倍角公式，内角和定理进行化简，可求得角A和C的值，再利用正弦定理和面积公式求得结果即可.‎ ‎【详解】‎ 由题，，‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 又因为锐角三角形ABC，所以 ‎ 由题，即 根据代入可得，，即 ‎ ‎ ‎ 再根据正弦定理： ‎ 面积 ‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了正余弦定理解三角形的综合，以及三角恒等变化公式的的运用，熟悉公式，灵活运用是解题的关键，属于中档偏上题.‎ 二、填空题 ‎13．已知不等式的解集为，则______‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】利用不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系求出a、b的值．‎ ‎【详解】‎ 不等式的解集为，方程的实数根为2和3，‎ ‎，，；．‎ 故答案为：11．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．‎ ‎14．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题可得，又c=2a，所以.‎ 考点:等比数列的概念，余弦定理.‎ ‎15．在数列中， ，，则数列的通项____．‎ ‎【答案】2n+3‎ ‎【解析】根据题干得到将式子累加得到通项.‎ ‎【详解】‎ 数列中，，，根据这一表达式继续推导得到 将这些式子累加得到： ‎ 将代入得到.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了数列通项的求法，根据递推关系得到数列前后两项的关系，通过累加法得到式子的和，进而得到数列通项.属于中档题.‎ ‎16．数列中，，，设数列的前项和为，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由递推关系可得：，‎ 即：，且：，‎ 据此可得数列是首项为，公差为的等差数列，‎ 则，，‎ 据此可得：，‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ 三、解答题 ‎17．已知 是夹角为的单位向量，且，。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求与的夹角。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题知，由向量的数量积公式进行运算即可，注意，在去括号的向量运算过程中可采用多项式的运算方法；（2）根据向量数量积公式，可先求出的值，又，从而可求出的值.‎ 试题解析：（1）‎ ‎ = ‎ ‎ = ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．在中，角，，所对的边分别为，，，已知。‎ ‎（1）求的大小.‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题，将原式变形，可得角A的余弦，进而得A的大小；‎ ‎（2）直接利用三角形面积公式，求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，‎ ‎，， ‎ ‎,所以.‎ ‎(2)‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数和差角公式以及面积的求法，属于基础题.‎ ‎19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ‎（1）求角C；‎ ‎（2）若，求的周长。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）用正弦定理对原式进行化简整理可求得角C；‎ ‎（2）由余弦定理求得边b的大小，进而求得三角形ABC的周长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由．‎ 根据正弦定理，得，‎ 化为，‎ 整理得到，因为，‎ 故，又，所以．‎ ‎(2)由余弦定理有，‎ ‎,故，‎ 所以周长为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用正余弦定理解三角形，熟悉公式，合理运用，属于较为基础题.‎ ‎20．解关于的不等式 ‎【答案】当0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x}；‎ 当a＝1时，解集为{x|x≠1}；当a＞1时，解集为{x|x或x＞1}．‎ ‎【解析】根据a大于1，a＝1及a大于0小于1分三种情况取解集，当a大于1时，根据小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；当a＝1时，根据完全平方式大于0，得到x不等于1；当a大于0小于1时，根据大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，综上，写出a不同取值时，各自的解集即可．‎ ‎【详解】‎ 由不等式得：‎ ‎（1）当时，‎ 原不等式为：‎ ‎∴不等式的解集为：‎ ‎（2）当时，‎ 原不等式为： ‎ ‎∵‎ ‎∴不等式的解集为：{x|x＜1或x}；‎ ‎（3）当时，‎ 原不等式为： ‎ ‎∵，‎ ‎∴不等式的解集为：{x|x或x＞1}，‎ 综上所述，得原不等式的解集为：‎ 当0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x}；‎ 当a＝1时，解集为{x|x≠1}；当a＞1时，解集为{x|x或x＞1}．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想，根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键，属于中档题．‎ ‎21．设是等差数列的前n项和，满足，；是数列的前n项和，满足．‎ Ⅰ求数列，的通项公式；‎ Ⅱ令，设数列的前n项和，求的表达示．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】设等差数列的公差为d，由，，解得，d，利用通项公式可得，再由，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．‎ Ⅱ由可得：，利用裂项求和方法、等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为d，，；‎ ‎，，解得，，‎ ‎．‎ ‎，‎ 时，，化为：，‎ 时，，解得．‎ 是等比数列，可得：．‎ Ⅱ由可得：．‎ ‎．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错数列的项数，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档题．‎ ‎22．已知分别为的三内角A，B，C的对边，其面积，在等差数列中，，公差．数列的前n项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，解得a＝b＝c＝2，由等差数列的通项公式可得an＝2n；再由数列的通项与前n和的关系，可得数列{bn}为等比数列，求得bn；‎ ‎（2）由（1）得，由此利用错位相减求和法能求出Tn．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）SacsinBac•，∴ac＝4，‎ 又，＝，‎ ‎∴，∴b＝2，‎ 从而＝⇒∴,‎ 故可得：，∴＝2+2（n﹣1）＝2n；‎ ‎∵，∴当n＝1时，，‎ 当n≥2时，，‎ 两式相减，得，（n≥2）‎ ‎∴数列{}为等比数列，‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴＝• +•+…+•‎ ‎＝1×21+2×21+3×21+…+，‎ ‎∴2＝1×22+2×23+3×24+…+n2n+1，‎ ‎∴﹣＝1×21+（22+23+…+2n）﹣n2n+1， ‎ 即：﹣＝（1-n）2n+1-2，‎ ‎∴＝（n﹣1）2n+1+2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，涉及三角形的余弦定理和面积公式的运用，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用，属于中档题．‎