- 212.50 KB
- 2021-04-15 发布
第29课时 圆的综合应用
【教学目标】
1.熟练判断点和圆、直线和圆及圆和圆的位置关系；
2.综合利用直线和圆解决有关最值问题，体会函数与方程、数形结合的思想.
【自主学习】
1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)|y=x+1}，则集合A∩B中元素个数为 .
2.过点A(1,3)与圆x2+y2=1相切的切线方程为 .[来源: ]
3.由直线y=x+1上的点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为 ,
4.若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2: y(y-mx-m)=0有四个不同的交点，则m的取值范围是 .
5.方程表示的曲线是 .
6.设集合, B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1，x,y∈R}， 若，则实数m的取值范围是______________.
答案：1.2 2.x=1,4x-3y+5=0 3. 4. 5.两个半圆 6.
【典型例题】
A
A1
A2
O
A3
A4
B
P2
P
例1. 如图是某圆拱桥一孔示意图，该圆拱跨度AB=20cm，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01m).
解：以线段AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，
则A(-10,0),B(10,0),P(0,4).
设圆拱所在圆的方程是：，
因为A,B,P三点在圆上，
则 则：D=0,E=21,F=-100.
所以圆拱所在的圆方程：.
将的横坐标x=-2代入可得.
即支柱的长度大约是3.86米。
例2. 已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求x+y的最大值和最小值；
（3）求x2+y2的最大值和最小值.
解：圆方程：x2+y2-4x+1=0.即：，
(1) 设＝k，则y=kx，即kx-y=0，由
所以的最大值和最小值分别是和－。
(2) 设x+y=t ，即x+y-t=0，由，
所以x+y的最大值和最小值
(3) 由x2+y2-4x+1=0得x2+y2＝4x-1 ,
又，
所以x2+y2的最大值和最小值是。
[来源:学+科+网]
例3.设平面直角坐标系xoy中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C0求：
（1）求实数b的取值范围
（2）求圆C的方程
（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。
解：(1)令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
(2)设所求圆的一般方程为
令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．
令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
所以圆C 的方程为.
(3)圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）．
例4. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
解：(1)设直线的方程为：，即
由垂径定理，得：圆心到直线的距离，
结合点到直线距离公式，得： w.w.w. .c.o.m
化简得：
所求直线的方程为：或，即或
(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：
，即：
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。
由垂径定理，得：圆心到直线与直线的距离相等。w.w.w. .c.o.m
故有：，
化简得：
关于的方程有无穷多解，有： w.w.w. .c.o.m
解之得：点P坐标为或。