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- 2021-04-15 发布
专题限时集训(四) 数列求和与综合问题
[专题通关练]
(建议用时:30分钟)
1.等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( )
A.12 B.10
C.8 D.2+log35
B [由等比数列的性质,知a5a6=a4a7=9,所以log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10=log3(a1a2a3…a10)
=log3(a5a6)5=log395=10,故选B.]
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( )
A.2n-1 B.
C. D.
B [∵an+1=Sn+1-Sn,且Sn=2an+1,
∴Sn=2(Sn+1-Sn),即=.
∴{Sn}是首项为1,公比为的等比数列,即Sn=.]
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+,则a的值为( )
A.- B.
C.- D.
A [当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,∴a+=,
∴a=-.故选A.]
4.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+an+1=2n(n∈N*),则S13=( )
A. B.
C. D.
D [由题意,∵a1=2,
n=2时,a2+a3=22,n=4时,a4+a5=24,
n=6时,a6+a7=26,n=8时,a8+a9=28,
n=10时,a10+a11=210,n=12时,a12+a13=212,
S13=2+22+24+26+28+210+212=2+=.故选D.]
5.(2019·衡水模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,则m等于( )
A.3 B.4
C.5 D.6
C [在等比数列中,因为Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,
所以am=Sm-Sm-1=-11-5=-16,am+1=Sm+1-Sm=32.则公比q===-2,因为Sm=-11,
所以=-11, ①
又am+1=a1(-2)m=32, ②
两式联立解得m=5,a1=-1.]
6.[一题多解]设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=4,an+1=Sn,n∈N*,则a5=________.
32 [法一:由an+1=Sn,得Sn+1-Sn=Sn,则Sn+1=2Sn.又S1=a1=4,所以数列{Sn}是首项为4,公比为2的等比数列,所以Sn=4×2n-1=2n+1,则a5=S5-S4=26-25=32.
法二:当n≥2时,由an+1=Sn,得an=Sn-1,两式相减,得an+1-an=an
,即an+1=2an,所以数列{an}是从第2项开始,公比为2的等比数列.又a2=S1=4,所以a5=a2·23=4×23=32.]
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且an+2-2an+1+an=0(n∈N*),记Tn=++…+(n∈N*),则T2 020=________.
[由an+2-2an+1+an=0可知数列{an}是等差数列,
则公差d=a2-a1=2-1=1.
∴Sn=na1+d=n+=.
∴===2,
∴Tn=21-+-+…+-=21-,
∴T2 020=2=.]
8.设某数列的前n项和为Sn,若为常数,则称该数列为“和谐数列”.若一个首项为1,公差为d(d≠0)的等差数列{an}为“和谐数列”,则该等差数列的公差d=________.
2 [由=k(k为常数),且a1=1,得n+n(n-1)d=k,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得,(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0,
∵对任意正整数n,上式恒成立,
∴得∴数列{an}的公差为2.]
[能力提升练]
(建议用时:20分钟)
9.已知正项数列{an}满足a-2a-an+1an=0,设bn=log2,则数列{bn}的前n项和为( )
A.n B.
C. D.
C [由a-2a-an+1an=0,可得(an+1+an)(an+1-2an)=0,
又an>0,∴=2,∴an+1=a12n,∴bn=log2=log22n=n.
∴数列{bn}的前n项和为,故选C.]
10.已知数列{bn}满足b1=1,b2=4,bn+2=bn+cos2,则该数列的前23项的和为( )
A.4 194 B.4 195
C.2 046 D.2 047
A [当n为偶数时,bn+2=bn+cos2=bn+1,有bn+2-bn=1,即偶数项成等差数列,所以
b2+b4+…+b22=11b2+×1=99.
当n为奇数时,bn+2=2bn,即奇数项成等比数列,所以
b1+b3+…+b23==212-1=4 095.
所以该数列的前23项的和为99+4 095=4 194,故选A.]
11.[重视题](2019·惠州调研)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,对任意大于2的正整数n,记集合{x|x=ai+aj,i∈N,j∈N,1≤i<j≤n}的元素个数为cn,把{cn}的各项摆成如图所示的三角形数阵,则数阵中第17行由左向右数第10个数为________.
293 [设an=a1+(n-1)d(d≠0),则ai+aj=2a1+(i+j-2)d,由题意知1≤i<j≤n,当i=1,j=2时,i+j-2取最小值1,当i=n-1,j=n时,i+j-2取最大值2n-3,易知i+j-2可取遍1,2,3,…,2n-3,即cn=2n-3(n≥3).数阵中前16行共有1+2+3+…+16=136(个)数,所以第17行由左向右数第10个数为c148=2×148-3=293.]
12.已知数列{an}满足a1=1,nan+1-2n(n+1)-(n+1)an=0,设bn=,n∈N*.
(1)证明:{bn}是等差数列;
(2)求数列的前n项和Tn.
[解](1)因为a1=1,nan+1-2n(n+1)-(n+1)an=0,
所以-=2,所以bn+1-bn=2.
因为b1==1,
所以{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)得bn=1+(n-1)·2=2n-1,n∈N*,
所以=,
所以Tn=+++…++,
Tn=++…++,
两式相减,得Tn=+2×-=+2×-=+1--=--,
故Tn=3--=3-.
题号
内容
押题依据
1
数列的通项an与求和公式Sn的关系
由an与Sn的关系求通项公式常以小题形式出现,主要考查转化与化归,分类讨论等思想,难度适中
2
数列求和,对数运算an与
Sn的关系
对数运算与数列交汇是高考的命题热点之一,裂项相消法求和简单易行,符合高考的命题形式
【押题1】 已知数列{an}的前n项和是Sn,且an+Sn=2n+1,则数列{an}的通项公式an=________.
2- [当n=1时,由an+Sn=2n+1知,a1+S1=2×1+1,即a1+a1=3,解得a1=.
由an+Sn=2n+1,①
知当n≥2时,an-1+Sn-1=2(n-1)+1=2n-1,②
①-②得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2,即2an-an-1=2,
即2(an-2)=an-1-2,即an-2=(an-1-2),
故数列{an-2}是以a1-2=-为首项,为公比的等比数列,
所以an-2=-×=-,即an=2-.
【押题2】 已知数列{an}满足a1+++…+=2n+1-2(n∈N*),bn=log4an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
[解](1)当n=1时,a1=2.
当n≥2时,
a1+++…+=2n+1-2,
a1+++…+=2n-2,两式相减得=2n,即an=22n-1,
当n=1时满足上式,故数列{an}的通项公式an=22n-1.
(2)因为bn=log422n-1=,
==2.
所以Tn=++…+
=2
=2=.