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- 2021-04-15 发布
绝密★启用前
内蒙古通辽实验中学（原通辽铁路中学）2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意P（﹣3＜ξ＜3）＝68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）＝95.44%，可得P（3＜ξ＜6）＝（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．
【详解】
解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）＝68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）＝95.44%，
∴P（3＜ξ＜6）＝（95.44%﹣68.26%）＝13.59%．
故选B．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查正态曲线的对称性。
2．袋中有2个红球5个白球，取出一个白球放回，再取出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
取出一个白球再放回，相当于情况不变。用红球个数除以球的总数即为摸到红球的概率。
【详解】
解：所有机会均等的可能有7种，摸到红球的可能有2种，因此取出红球的概率为 ，故选B.
【点睛】
本题考察古典概型，概率等于所求情况数与总情况数之比。
3．已知函数的导函数,且满足，则＝( )
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数进行求导，然后把代入到导函数中，得到一个方程，进行求解。
【详解】
对函数进行求导，得把代入得，
直接可求得。
【点睛】
本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题。本题值得注意的是是一个实数。
4．从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步从一楼到二楼共有（ ）走法。
A．12 B．8. C．70. D．66
【答案】C
【解析】
【分析】
一步上一级或者一步上两级，8步走完楼梯，可以从一级和两级各几步来考虑．
【详解】
解：设一步一级x步，一步两级y步，则 故走完楼梯的方法有 种．
故答案为：C.
【点睛】
8步中有多少一步上两级是解题关键．通过列方程找到突破口．
5．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：
随机变量经计算，统计量K2的观测值k0≈4.762，参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】A
【解析】
【分析】
题目的条件中已经给出这组数据的观测值，只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于3.841，在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好这项运动与性别有关”．
【详解】
解：由题意算得， 4.762＞3.841，参照附表，可得
在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好这项运动与性别有关”．
故选：A．
【点睛】
本题考查独立性检验的应用，题干给出了观测值，只要进行比较就可以得出正确选项。
6．5名同学分给三个班级每个班至少一人共有（ ）种方法
A．150 B．120 C．90 D．160
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知本题是一个分类计数问题，5名同学分到3个班级，每个班级至少一人，包括两种情况，一是按照2，2，1分配；二是按照3，1，1分配，根据分类加法原理得到结论。
【详解】
解：由题意知本题是一个分类计数问题，
5名同学分到3个班级，每个班级至少一人，
包括两种情况，一是按照2，2，1分配，有＝90种结果，
二是按照3，1，1分配，有种结果，
根据分类加法原理得到共有90+60＝150种方法．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查分类计数原理，考查平均分组，是一个易错题，这种题目特别要注意做到不重不漏，首先要分组，再排列．
7．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A． B．－
C．－ln 2 D．ln 2
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数求导，由y′=2x+x•2xln2=（1+xln2）•2x=0，即可得出结论．
【详解】
y′=2x+x•2xln2=（1+xln2）•2x=0，
即1+xln2=0，x=﹣．
函数在上单调递减，在上单调递增，
∴函数的极小值点为
故选：B．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题．
8．若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )
A．200 B．110 C．210 D．150
【答案】C
【解析】
【分析】
根据展开式中，只有第6项的系数最大，可求n＝10，写出其通项公式，令x的指数为0，即可求出展开式中的常数项
【详解】
由题意，n＝10，
令30﹣5r＝0，∴r＝6
∴展开式中的常数项为T7＝＝210
故选C.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的运用，解题的关键是写出展开式的通项.
9．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的机会均等，事件“三次抽到的号码之和为6”，事件“三次抽到的号码都是2”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，事件“三次抽到的号码之和为”的概率为，事件同时发生的概率为，所以根据条件概率的计算公式.
考点：条件概率的计算.
10．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为-1为即值点且为极小值点，故在-1的左侧<0，-1的右侧>0,所以当x>0时，排除AD，当x<-1时，故综合得选C
11．若x4(x＋4)8＝a0＋a1(x＋3)＋a2(x＋3)2＋…＋a12(x＋3)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝（ ）.
A．4 B．8 C．12 D．11
【答案】D
【解析】
【分析】
只需分别令x＝﹣2与x＝﹣4，得到的两个表达式解方程组，即可求出a1+a3+a5+…+a11的值，然后求出结果．
【详解】
解: 当x＝﹣2时，x+3＝1．等式化为：（﹣2）4•28＝a0+a1+a2+…+a12．
∴a0+a1+a2+…+a12＝…①
当x＝﹣4时，x+3＝﹣1．等式化为：（﹣4）4•08＝0＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a12…②
上述①②两等式相相减有：a1+a3+…+a11＝（+0）＝，
log2（a1+a3+…+a11）＝ ．
故答案为：D．
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，赋值法是解决二项式定理系数问题的有效途径之一．
12．已知f(x)是定义在R上的可导函数,当x∈(1,+∞)时,(x−1)(x)−f(x)>0恒成立,若a=f(2),b=f(3),c=f(),则a,b,c的大小关系是( )
A．c0;再利用β﹣α＝1，即 2lnα﹣2lnβ+a（α+β）＝0，可得2lnα﹣2ln（α+1）+a（2α+1）＝0，α∈[1，3]，设h（x）＝2lnx﹣2ln（x+1）+a（2x+1）,x∈[1，3]，确定h（x）在[1，3]上递增，h（x）在[1，3]有零点，即可求实数a的取值范围．
【详解】
解：f′（x）＝ （x＞0）
当a≤0 时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）不可能有两个相等的函数值．故a>0；
由题设f（α）＝f（β） 则 ＝
考虑到β﹣α＝1，即 2lnα﹣2lnβ+a（α+β）＝0
∴2lnα﹣2ln（α+1）+α（2 +1）＝0， ∈[1，3]
设h（x）＝2lnx﹣2ln（x+1）+α（2x+1）x∈[1，3]，a>0，
则h'（x）＝ 在 上恒成立，
∴h（x）在[1，3]上递增，h（x）在[1，3]有零点，则
，∴ ，∴
故实数a的取值范围是．
【点睛】
本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值.
评卷人
得分
三、解答题
17．小王在某社交网 络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．
(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；
(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个,记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列详见解析，.
【解析】
试题分析：本题主要考查二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力.第一问，发放一次红包，每个人得到的概率为，两次中，其中一次得到，一次没得到，所以；第二问，先写出X的所有可能值，当时，说明5元的2个和10元的1个都没有得到，当时，说明5元的2个红包得到了1个，10元的没有得到，当时，说明5元的2个得到了，10元的没有得到，或者5元的2个都没有得到，10元的得到了，当时，5元的2个红包得到了1个，10元的得到了，当时，说明5元的2个都得到了，10元的1个也得到了，分别利用二项分布和独立事件求出概率，最后利用求出数学期望.
试题解析：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A，． 4分
（Ⅱ）X的所有可能值为0，5，10，15，20．
，
，
，
，
． 10分
X的分布列：
X
0
5
10
15
20
P
E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝． 12分
考点：二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望.
18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：
微信控
非微信控
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
50
合计
56
44
100
（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望及方差．
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关；（2）2人；
（3）的分布列是
的期望值是．
【解析】
试题分析：（1）直接代入公式计算对照表格可知；（2）由分层抽样的比例可计算其人数；（3）先写出所有的的可能性，求出其概率，由公式计算其期望即可．
试题解析：（1）由列联表可得
．（3分）
所以没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关． （4分）
（2）依题意可知，所抽取的5位女性中,
“微信控”有3人，“非微信控”有2人．（6分）
（3）的所有可能取值为1,2,3．（7分）
;;
． （10分）
所以的分布列是
所以X的期望值是．（12分
考点：1．独立性检验；2．统计与概率；3．概率分布列与期望．
19．设函数。
（1）若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围；
（2）当时，在区间上的最大值为15，求在区间上的最小值。
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，利用f（x）在区间上存在单调递减区间，转化为导函数在上存在函数值小于零的区间，列出不等式求解a的范围即可．
（2）判断导函数的开口方向，对称轴，利用函数f（x）的上单调性，求出a，然后求解最小值．
【详解】
解：（1）函数，a∈R．
可得．
由条件f（x）在区间上存在单调递减区间，知导函数在上存在函数值小于零的区间，
只需 ，解得 ，
故a的取值范围为．
（2）的图象开口向上，且对称轴x＝﹣1，
f′（0）＝a＜0，f′（3）＝9+6+a＝15+a＞0，
所以必存在一点x0∈（0，3），使得f′（x0）＝0，
此时函数f（x）在[0，x0]上单调递减，
在[x0，3]单调递增，又由于f（0）＝0，f（3）＝9+9+a＝18+3a＞0＝f（0）
所以f（3）＝18+3a＝15，即a＝﹣1，此时，
由 ，
所以函数 ．
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，导函数的性质，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．
20．在高中学习过程中，同学们经常这样说“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题”某班针对“高中生物理对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表：
编号成绩
1
2
3
4
5
物理(x)
90
85
74
68
63
数学(y)
130
125
110
95
90
(1)求数学y成绩关于物理成绩x的线性回归方程＝x＋ (精确到0.1)，若某位学生的物理成绩为80分时，预测他的数学成绩．
(2)要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以x表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
【答案】(1) , 预测他的数学成绩是116
(2) X的分布列为：
X
1
2
3
p
E（X）＝1.8．
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据计算、 ，求出回归系数 、 ，写出回归方程，
利用回归方程计算x＝80时 的值即可；
（2）抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人，X的可以取1，2，3，
计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．
【详解】
解：（1）根据表中数据计算＝ ×（90+85+74+68+63）＝76，
＝×（130+125+110+95+90）＝110，
＝902+852+742+682+632＝29394，
＝90×130+85×125+74×110+68×95+63×90＝42595，
＝ ＝ ，
；
∴x、y的线性回归方程是，
当x＝80时， ＝1.5×80﹣4＝116，
即某位同学的物理成绩为80分，预测他的数学成绩是116；
（2）抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人，
X表示选中的同学中高于100分的人数，可以取1，2，3，
P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，
P（X＝3）＝；
故X的分布列为：
X
1
2
3
p
X的数学期望值为E（X）＝1× +2×+3× ＝1.8．
【点睛】
本题考查线性回归方程的应用，离散型随机变量的分布列和期望问题．
21．已知函数（）.
（1）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调递减区间；
（2）若函数在上无零点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；
（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．
试题解析：
（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，
∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，
又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，
由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，
∴函数g（x）在（0，2）递减；
（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，
故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，
令h（x）=2﹣，x∈（0，），
则h′（x）=，
再令m（x）=﹣2，x∈（0，），
则m′（x）=＜0，
故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，
从而h′（x）＞0，于是h（x）在（0，）递增，
∴h（x）＜h（）=2﹣4ln2，
故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数y=f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．
22．在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.
（1）若，求线段中点的坐标；
（2）若，其中，求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程，当时，设点对应参数为．直线方程为代入曲线的普通方程，得，由韦达定理和中点坐标公式求得
，代入直线的参数方程可得点的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得，求得的值即得斜率.
试题解析：设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．
（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．
代入曲线的普通方程，得，则，
所以，点的坐标为．
（2）将代入，得，
因为，，所以．
得．由于，故．
所以直线的斜率为．
考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.
23．已知，函数的最小值为4．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式几何意义，，又因为，所以的最小值为，即可求得其值为4；（2）求的最小值，可利用柯西不等式．
试题解析：（Ⅰ）因为，，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，所以的最小值为,所以．
（Ⅱ）由（1）知，由柯西不等式得
,
即
当且仅当，即时，等号成立
所以的最小值为．
考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式．
【方法点睛】解含有绝对值不等式，要巧妙利用绝对值的几何意义或者利用零点分区间法求不等式的最值．对于若干个单项式的平方和，因为其符合柯西不等式，所以只要补足另一个平方和多项式，便可利用柯西不等式来求最值．