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- 2021-04-15 发布
专题3：不等式问题（两课时）
班级 姓名
一、前测训练
1． 解下列不等式：
(1)－3x2＋4x＋4＞0 (2)≤2 (3) 4x－3·2－8≤0 （4）ax2－ax＋1＜0
答案：(1)(－，2)；(2) (－∞，－4]∪(－1，＋∞)； (3)(－∞，]；
(4) 当0≤a≤4时，解集为Æ；当a＞4时，＜x＜；
当a＜0时，x＞或x＜．
解析：（1）－3x2＋4x＋4＞0∴3x2－4x－4＜0
(2) ≤2 ∴－2≤0，∴≤0 ∴（－4－x）(x＋1)≤0且x＋1≠0
(3) 设2x ＝t，t＞0，t－3·2－8≤0，0＜t≤4，即2x≤4，∴x∈(－∞，]
(4)当a＝0时，解集为Æ来源:学科网]
当a≠0时，△＝a－4a；
当0＜a≤4即△≤0时，解集为Æ；
当a＞4时，图像开口向上，＜x＜
当a＜0时，图像开口向下，x＞或x＜
2.设x，y满足约束条件 ，则
(1) z＝x＋2y的最小值为 ；(2)z＝2x－y的最大值为 ；
(3) z＝x2＋2x＋y2的最大值为 ；(4) z＝的最大值为 ．
答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)．
解析：作出平面区域，
(1)y＝－x＋z
(2)y＝2x－z
(3) z＝（x＋1）2＋y2－1，几何意义是平面区域中的点到（－1，0）的距离的平方减去1
(4) z＝，几何意义是平面区域中的点与（－4，0）构成直线的斜率
3．(1)若对任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4＜0恒成立，则实数m的取值范围是 ．
(2) 若对任意x＞0，都有mx2－2x－1＜0恒成立，则实数m的取值范围是 ．
(3) 若对任意－1≤m≤1，都有mx2－2x＋1－m＜0恒成立，则实数x的取值范围是 ．
答案：(1)(－2，2]；(2)(－∞，0]；(3)(－1，2)．
解析：（1）当m－2＝0时，满足题意
当m－2≠0时，
(2) mx2－2x－1＜0，∴m＜＋，又∵y＝＋的值域是（0，＋∞），∴m≤0
(3) y＝mx2－2x＋1－m＝（1－x）m－2x＋1看成关于m的一次函数，记作f(m)＝ （1－x）m－2x＋1，mx2－2x＋1－m＜0恒成立，只要y的最大值小于0，f(－1)＜0且f(1)＜0
4．(1)函数y＝1－4x＋(x＞)的最大值为 ．
(2) 已知a>0,b>0,a的最大值是__________.
答案：(1)－6；(2)
解析：（1）y＝1－4x＋＝－（4x－5＋）－4≤－2－4，当且仅当4x－5＝时取“＝”
(2)≤=，当且仅当a=，即a=时取“＝”
5．(1)若直线过点，则的最小值等于 ．
(2) 若正数x，y满足x＋y＝1，求＋的最小值.
答案： (1)4 ;(2)16
解析： (1)由题意得，＋＝1，则a＋b＝（a＋b）（＋）＝2＋＋≥2＋2，当且仅当a=b=2时取“＝”[来源:Zxxk.Com]
(2)( x＋y) (＋)=10++≥16，当且仅当 = 即3x=y时取“＝”
6．求下列函数的值域：
(1)y＝ ； (2)f(x)＝x＋，x∈[1，2]
答案：(1)；
(2)当a≤1时，值域为[1＋a，2＋]，当1＜a＜2时，值域为[2，2＋]，
当2≤a≤4．值域为[2，1＋a]，当a＞4时，值域为[2＋，1＋a]．
解析：（1）y＝ ＝＝＋（≥2），∴＝2时，y有最小值
(2)当a≤0时，f(x)在[1，2]上单调递增；
当a＞0时，f(x)在(0，)递减，在（，＋∞）递增。
当≥2时，f(x)在[1，2]上单调递减；
当≤1时，f(x)在[1，2]上单调递增；
当1＜＜2时，f(x)在(1，)递减，在（，2）递增，比较f(1)与f(2)的大小，确定最大值
7．求下列函数的值域：
(1)y＝ (x＞) (2)y＝ (x≤－1)
答案：(1)[，＋∞)；(2)[－，0)．
解析：（1）)y＝ ，令t＝2x－1，则t＞0，∴ y＝ ＝＋－，再用基本不等式
(2) y＝ (x≤－1) ，令t＝x－1，则t≤－2，∴ y＝ ＝，∵t≤－2，
∴t＋≤－3，∴∈[－，0)．
二、方法联想
1．解一元二次不等式
①优先考虑二次项系数为零的情形
②二次项系数不为零：
二次项系数正（负号转化为正号）→找根(优先用十字相乘法求根)
分式不等式
(1) ＞0等价于f(x)g(x)＞0； ＜0等价于f(x)g(x)＜0．
(2) ≥0等价于 ≤0等价于
变式1、设,不等式对恒成立,则的取值范围为____________.
答案：
变式2、已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．
答案：
(判别式法)
2．利用线性规划区域求最值
将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值．
变式1、已知函数,且,则的取值范围是 .
答案：
(看成线性规划问题或同向不等式相加)
变式2、三次函数在区间上是减函数，那么的取值范围是
答案：
（线性规划与二次函数、导数等知识结合）
变式3、已知是三次函数的两个极值点，
且，则的取值范围是
答案：
（线性规划与根的分布结合）
变式4、已知三个正实数满足，则的取值范围是______
答案：
（三个变量向两个变量转化的线性规划问题）
3．恒成立问题
(1)二次不等式恒成立问题
方法1 结合二次函数图象分析． 方法2 分离变量法
(2)一次不等式恒成立问题
①若关于x的不等式ax＋b≥0对任意x∈ [m，n]上恒成立，则
②若关于x的不等式ax＋b≤0 对任意x∈[m，n]上恒成立，则
变式1、已知当x∈(0，+∞)时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，求实数m的取值范围.
答案：m<2+2.
（数形结合解决恒成立）
变式2、若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是 ．
答案：
（分离参数求范围）
变式3、已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是___________
答案：
（函数性质研究恒成立）
变式4、若存在正数使成立,则 的取值范围是 .
答案：
(注意存在性问题与恒成立问题的关联)
4．基本不等式求最值
利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．
三个不等式关系：
(1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．
(2)a，b∈R＋，a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．
(3)a，b∈R，ab≤()2≤当且仅当a＝b时取等号．
上述三个不等关系揭示了a2＋b2 ，ab ，a＋b三者间的不等关系．
其中，当a，b和为定值或者平方和为定值时，可求积的最大值；当积为定值时，可求和的最小值．
变式1、设a>0，b>0，a+b=5，则+的最大值为 .
解答：3
变式2、若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________．
答案：
(结构特征,消元)
5．找齐次的方法求函数最值：注意不改变原解析式的值，要乘以常数还原。
变式1、若log4(3a+4b) =log2，则a+b的最小值是
答案：7+4
变式2、已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为 .
答案：2+
6.f(x)＝x＋型函数
对于f(x)＝x＋，
当a≤0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；
当a＞0时，f(x)在(－∞，)，(，＋∞)为增函数；在(－，0)，(0，)为减函数．
注意 在解答题中利用函数f(x)＝x＋的单调性时，需要利用导数进行证明．
变式1、若函数的值域为,则实数的取值范围是 .
答案：
(问题转化)
变式2、设k>0，若关于x的不等式kx+≥5在(1，+∞)上恒成立，则k的最小值为 .
答案：1
解答：原不等式变为k(x-1)+ ≥5-k，
因为x>1，所以x-1>0，所以k(x-1)+ ≥4，
所以4≥5-k，即()2+4-5≥0，解得≥1，
所以k≥1，即k的最小值为1.
7．f(x)＝ (或f(x)＝)型
令dx＋e＝t进行换元，转化为f(x)＝x＋型函数问题．
变式1、已知x≥，求f(x)＝最小值．
答案：
变式2、若不等式对任意恒成立,则实数的最大值为 .
答案：2
(结构特征,消元)
三、例题分析
例1 已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b．
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞0的解集为(－1，3)，求实数a，b的值；
(3)若不等式f(x)≥b＋4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．
答案：(1)当b≤－6时，不等式的解集为Æ；当b＞－6时，不等式的解集为{x|3－＜x＜3＋}．
(2) a＝3±，b＝9．
(3) 实数a的取值范围为[2，4]．
解析：（1）f（1）=－3+a（6－a）+b=－a2+6a+b－3，
∵f（1）>0，
∴a2－6a+3－b<0，
△=24+4b，
当b≤-6，即△≤0时，f（1）>0的解集为；
当b<-6，即△>0时，由2-6a+3-b<0，解得，3-0的解集为；当b>-6时，不等式的解集为（3-，3+）。
（2）∵不等式-3x2+a（6-a）x+b>0的解集为（-1，3），
∴，
解得：。
（3）f(x)≥b＋4，∴－3x2＋a(6－a)x≥4对于x∈[1，2]恒成立，
∴a(6－a)≥，∴a(6－a)≥ ＋3x；
利用y＝ ＋3x的图像，得到x＝2时，y＝ ＋3x的最大值是8，∴a(6－a)≥2
【教学建议】
1．本题涉及解一元二次不等式，一元二次不等式的解集与相应一元二次方程根的关系，及不等式恒成立问题．
2．解一元二次不等式，要考虑对应方程有没有根，如有根，则根的大小如何，对应二次函数的开口方向等，并结合二次函数的图象去写解集；已知一元二次不等式的解集可知对应的一元二次方程的两根，以及二次项系数的符号．
3．第(3)问是不等式恒成立问题，通常思路有3种，
①f(x)≥0，"x∈D恒成立Ûf(x)min≥0转化为求函数f(x)的最小值(求最值时，可能要对参数进行讨论)；
②先进行变量分离，再求函数的最值；即f(x)≥a，"x∈D恒成立Ûf(x)min≥a．
③利用函数的图象和几何意义；
本题采用变量分离后求最值，思路清晰，便于运算．而从二次函数图象或讨论求最值，比较复杂．
例2 （1）若正实数x，y满足2x＋y＝xy ，求x＋y的最小值．
（2）若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy ，求x＋y的最小值．
答案：（1）3+2；（2）3+4
解析：(1)由条件知：＋=1，x＋y=( x＋y)( ＋)=3++≥3+2，当且仅当x=y时取“=”.
(2) 由条件知：(x－1)(y－2)=8，∴(x－1)＋(y－2)≥2=4，当且仅当(x－1)=(y－2) 时取“=”.
思路1：找齐次，利用基本不等式；
思路2：消元法
易错点：用消元法，要注意x的取值范围．
【教学建议】
1．本题是求二元函数的值域问题．这类问题主要有3种解题思路：
①基本不等式法：这种方法往往只有求最大值或最小值；
②消元法：转化为函数问题，再求最值；
③几何法：将两个变量看成一个有序实数对，当作平面内一个动点，从图形的几何意义方面，考虑求目标函数的值域．[来源:Z&xx&k.Com]
2．本题3种方法均可，相比较利用基本不等式最简单，它也是处理这一类问题的一般方法．
例3 已知x，y满足条件，且M(2，1)，P(x，y)．求：
(1)的取值范围；(2)x2＋y2的最大值与最小值；(3)·的最大值；(4)||cos∠MOP的最小值．
解： (1) 的取值范围为[，9]．
(2) x2＋y2的最大值为37，最小值为．
(3) ·的最大值为9．
(4) ||cos∠MOP的最小值为－．
【教学建议】
1．本题是线性规划问题，(1)(2)问是典型的问法，(3)(4)问是需要利用向量数量积的知识，才能得到线性目标函数．
2．线性规划问题，有些比较直接，如(1)(2)问，主要考查线性目标函数、斜率与距离等三类问题，但近几年高考，出现了一些变式，可行域不是线性约束条件确定，可行域只是一个曲线，或目标函数是上述3种类型的变式等，对问题转化的要求比较高。但复习中还是以基本问题为主，适当进行一些变式．
四、反馈练习
1．不等式≥－1的解集为_______________．
答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)
说明：本题考查解分式不等式
解析：≥－1，∴＋1≥0，≥0，注意分母不为0
2．当x∈R＋时，y＝3－2x－的最大值为 ．
答案：—5
说明：本题考查基本不等式
解析：y＝3－2x－＝y＝3－（2x＋），其中2x＋≥2
3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为_________．
答案：5
说明：本题考查基本不等式
解析：x＋3y＝5xy，两边同除以xy，得，＋＝5，∴3x＋4y＝（3x＋4y）×（＋）＝（7＋＋），利用基本不等式求出最小值
4．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是_______．
答案：18
说明：本题考查基本不等式
解析：∵2x＋y≥2，∴ xy－6≥2，且xy－6＞0，再两边平方
5．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是_____________．
答案：a≥
说明：本题考查不等式恒成立，基本不等式[来源:学|科|网Z|X|X|K]
解析：∵≤a恒成立，∴a≥左边的最大值，
y＝＝，分母的最小值是5，所以y的最大值是，∴a≥
6．设"x∈R，函数y＝lg(mx2－4mx＋m＋3)有意义，实数m取值范围是____________．
答案：[0，1)
说明：本题考查不等式恒成立
解析：mx2－4mx＋m＋3＞0恒成立，
当m＝0时，符合题意；
当m≠0时，
7．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．
答案：(－∞，－5]
说明：本题考查不等式恒成立
解析：x2＋mx＋4＜0，则m＜－（x＋），只要m小于右边的最小值，即m≤－5
8．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
答案：－4
说明：本题考查线性规划
解析：做出平面区域
9．已知a＞0，x、y满足约束条件，且z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________．
答案：
说明：本题考查线性规划
解析：作出平面区域，再y≥a(x－3)过点（3，0）的直线的上方区域。
根据y＝2x－z的最小值为1，过点（1，－2a）时取得最小值
10．已知点P(x，y)满足约束条件，则的取值范围是___________．
答案：[2，]
说明：本题考查线性规划
解析：＝＋，根据平面区域，先求出的范围
11．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，当取得最小值时，求x＋2y－z的最大值．
答案：2．
说明：本题考查基本不等式、二次函数的最值．
解析：由x2－3xy＋4y2－z＝0，得x2－3xy＋4y2＝z；则＝＋4－3，
利用基本不等式得到当＝时，取得最小值；
∴x＋2y－z＝x＋2y－（x2－3xy＋4y2）＝4y－2y，
∵y＞0，∴4y－2y的最大值为2
12．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1，3)．
（1）若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
答案：（1）f(x)＝－x2－x－；
（2）(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．
说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系
解析：（1）为（1，3）
∴
所以a＜0
①
由方程 ②
因为方程②有两个相等的根，所以，
即，解得
由于代入①得f（x）的解析式为。
（2）由及
由解得或
故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是。
13．已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|．
（1）若不等式f(x)≤a在[－3，1]上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解不等式f(x)＞3x．
答案：（1）[4，＋∞)；
（2）(－4，1)∪(4，＋∞)．
说明：（1）考查不等式恒成立；
（2）考查解一元二次不等式（组）
（1）当x∈[-3，1]时，f（x）＝（x＋2）|x－2|＝（x＋2）（2－x）＝－x2＋4．
∵-3≤x≤1，∴0≤x2≤9．于是－5≤－x2＋4≤4，
即函数f（x）在[－3，1]上的最大值等于4．
∴要使不等式f（x）≤a在[－3，1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，＋∞）．
（2）不等式f（x）＞3x，即（x＋2）|x－2|－3x＞0．
当x≥2时，原不等式等价于x2－4－3x＞0，解得x＞4，或x＜－1．
又∵x≥2，∴x＞4．
当x＜2时，原不等式等价于4－x2－3x＞0，即x2＋3x－4＜0，解得－4＜x＜1，满足x＜2．
综上可知，原不等式的解集为{x|x＞4，或－4＜x＜1}．[来源:Zxxk.Com]
14．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
答案：当a＝0时，解集为(－∞，－1]；
当a＞0时，解集为(－∞，－1]∪[，＋∞)；
当－2＜a＜0时，解集为[，－1]；
当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a＜－2时，解集为[－1，]
解析：ax2－2≥2x－ax，∴ax2－（2－a）x－2≥0，即（x＋1）(ax－2)≥0
不仅讨论a的正负，还要讨论当a＜0时，与－1的大小关系
15．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．
(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？
解 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：
4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，
从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：
100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，
写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，
所以函数表达式为：
y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000
＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)；
(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：
g(x)＝×10 000
＝
＝50≥50×(2＋79)
＝6 950(元)．
当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低． (考查函数性质应用,基本不等式).