2017-2018学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版 10页

2017-2018 学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学（理）试题 2018.07 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.复数 在平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 3.用反证法证明命题“设 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假 设时（ ） A．方程 没有实根 B．方程 至多有一实根 C．方程 至多有两实根 D．方程 恰好有两实根 4.“因为偶函数的图象关于 轴对称，而函数 是偶函数，所以 的图象关于 轴对称”.在上述演绎推理中，所以结论错误的原因是（ ） A．大前提错误 B．小前提错误 C. 推理形式错误 D．大前提与推理形式都错误 5.若随机变量 的分布列为（ ） 且 ，则随机变量 的方差 等于（ ） A． B． C. D． 6.盒中有 只螺丝钉，其中有 只是不合格的，现从盒中随机地取出 只，那么恰有 只不合 格的概率是（ ） A． B． C. D． 7.函数 的图象在点 处的切线方程是 ，若 ，则 21 1z ii = +− ξ ( )21,N σ ( )2 0.66P ξ ≤ = ( )0P ξ ≤ = 0.84 0.68 0.34 0.16 ,a b 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = y ( ) 2f x x x= − ( ) 2f x x x= − y X X 0 1 2 P 1 3 a b ( ) 1E X = X ( )D X 1 3 0 1 2 3 7 2 3 1 4 7 4 21 1 7 1 2 ( )y f x= ( )( )1, 1f 2 1 0x y− + = ( ) ( )g x xf x= （ ） A． B． C. D． 8.（请考生在下列两题中任选一题作答） [选修 4-4：坐标系与参数方程] （1）在极坐标中，点 到圆 的圆心的的距离为（ ） A． B． C. D． [选修 4-5：不等式选讲] （2）设 ，下列不等式中正确的是（ ） ① ② ③ ④ A．①和② B．①和③ C.①和④ D．②和④ 9.已知圆柱的轴截面的周长为 ，则圆柱体积的最大值为（ ） A． B． C. D． 10.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为 ，现已知目标被击中， 则它是被甲击中的概率是（ ） A． B． C. D． 11.（请考生在下列两题中任选一题作答） [选修 4-4：坐标系与参数方程] （1）已知椭圆 （ 为参数）与 轴正半轴， 轴正半轴的交点分别为 ， 动点 是椭圆上任一点，则 面积的最大值为（ ） A． B． C. D． [选修 4-5：不等式选讲] （2）函数 的最大值为（ ） ( )'g x = 3 2 1 3 2 2, 3 π     4cosρ θ= 3 π 3 2 2 4 9 π+ 0ab > a b a b+ > − a b a b+ > + a b a b+ < − a b a b+ > − 12 27 4 π 8π 27π 64π 0.8,0.5 0.8 0.9 5 8 8 9 4cos: 3sin xC y θ θ =  = θ x y ,A B P PAB∆ ( )6 2 1− ( )6 2 1+ 12 5 24 5 ( ) 1 2 2f x x x= − + − A． B． C. D． 12.已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数 的取值 范围是（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 ． 14.由曲线 与 所围成的封闭图形的面积为 ． 15.从 位女生， 位男生中选了 人参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各 人，且至多有 位女生参赛，则不同的参赛方案共有 种.(用数字填写答案)． 16.已知定义在上的函数 满足 （其中 为 的导函数）且 ，则不等式 的解集是 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知 的展开式中所有项的系数和为 . （1）求 的展开式中二项式系数最大的项； （2）求 的展开式中的常数项. 18.某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为 了研究海水浓度 对亩产量 (吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了该农作物的 亩产量与海水浓度的数据如下表： 海水浓度 亩产量 （吨） 残差 5 5 1 2 ( ) ( )ln xef x k x xx = + − 1x = ( )f x k ( ],e−∞ ( ),e−∞ [ ),e +∞ ( ),e +∞ z 2 3z z i+ = − i z = 2y x= 2x y= 2 4 3 1 1 ( )f x ( ) ( )'f x f x> ( )'f x ( )f x ( )1f e= ( ) xf x e> 11 2 n x  −   1 64 11 2 n x  −   ( ) 12 1 2 n x x  + −   ( )%x y ( )%x 3 4 5 6 7 y 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 ˆie 0.05− 0 m n 0.04 绘制散点图发现,可以用线性回归模型拟合亩产量 (吨)与海水浓度 之间的相关关系， 用最小二乘法计算得 与 之间的线性回归方程为 . （1）求 的值； （2）统计学中常用相关指数 来刻画回归效果， 越大，回归效果越好，如假设 ， 就说明预报变量 的差异有 是解释变量 引起的.请计算相关指数 (精确到 ),并 指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？ （附：残差 ，相关指数 ，其中 ） 19. 观察下列等式： ； ； ； ； …… （1）照此规律，归纳猜想第 个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 20. 2018 年 6 月 14 日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了 问卷调查,从该校二年级学生中抽取了 人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占 ，而男生有 人表示对足球运动没有兴趣. （1）完成 列联表,并回答能否有 的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没有兴趣 合计 男 女 合计 （2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取 名学 生,抽取 次，记被抽取的 名学生中对尼球有兴趣的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独 y ( )%x y x ˆ ˆ0.09y x a= − + ˆ, ,a m n 2R 2R 2 0.85R = y 85% x 2R 0.01 ˆ ˆi i ie y y= − ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ˆ 1 n i i i n i i y y R y y = = − = − − ∑ ∑ ( )5 2 1 0.051i i y y = − =∑ 1 1= 2 3 4 9+ + = 3 4 5 6 7 25+ + + + = 4 5 6 7 8 9 10 49+ + + + + + = ( )*n n N∈ 90 40% 12 2 2× 99.9% 50 1 3 3 X 立的，求 的分布列和数学期望. 附: 21.已知函数 ，其中 为自然对数的底数. （1）若 ，求 的最小值； （2）若 ，证明： . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，已知点 ，直线 （ 为参数），以坐标原点为极点， 以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 . （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 的交点为 ，求 的值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）当 时，解不等式 ； （2）若关于 的不等式 有实数解，求 的取值范围. X ( )2 0P K k≥ 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 5.024 6.635 7.879 10.828 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( ) ( )ln 1xf x e a x= − + e 1a = ( )f x 0 a e≤ ≤ ( ) 0f x > xOy ( )2,0P 12 2: 3 2 x t l y t  = +  = t x C 2sin socρ θ θ= C l C ,A B 1 1 PA PB + ( ) 1f x ax= − 2a = ( ) 1f x x> + x ( ) ( ) 1f x f x m+ − < − m 2017~2018 学年度下学期质量检测 高二数学(理)参考答案 一、选择题 1-5:BCABD 6-10:ADCBD 11、12：BA 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：（1）由题意，令 得 ，即 ， 所以 展开式中二项式系数最大的项是第 项， 即 （2） 展开式的第 项为. 由 ，得 ；由 ，得 . 所以 的展开式中的常数项为 18.解：（1）因为 所以 ，即 所以线性回归方程为 2 1 3 96 { }1x x < 1x = 1 1 2 64 n  =   6n = 11 2 n x  −   4 3 3 4 6 3 1 5 2 2T C x x  = − = −   11 2 n x  −   1k + ( )1 6 6 1 1 0,1,2,...,62 2 k k k k k kT C C x kx − +    = − = − =       1k− = − 1k = 0k− = 0k = ( ) 12 1 2 n x x  + −   1 1 6 1 2 1 12x C x− × − + × = −   ( )1 3 4 5 6 7 55x = + + + + = ( )1 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 0.445y = + + + + = ˆ0.44 0.09 5 a= − × + ˆ 0.89a = ˆ 0.09 0.89y x= − + 所以 （2） 所以相关指数 故亩产量的变化有 是由海水浓度引起的 19.解：（1）第 个等式为 ； （2）用数学归纳法证明如下： ①当 时，左边 ，右边 所以当 时，原等式成立. ②假设当 时原等式成立，即 则当 时， 所以当 时，原等式也成立. 由①②知，（1）中的猜想对任何 都成立. 20.解：（1）根据已知数据得到如下列联表： 有兴趣 没有兴趣 合计 男 女 合计 根据列联表中的数据，得到 所以有 的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关” （2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是 ，将频率视为概率， 3 3 3ˆ ˆ0.09 5 0.89 0.44, 0.44 0.44 0y m y y= − × + = = − = − = 4 4 4ˆ ˆ0.09 6 0.89 0.36, 0.36 0.35 0.01y n y y= − × + = = − = − = ( ) ( )5 2 2 2 2 2 2 1 ˆ 0.05 0 0 0.01 0.04 0.0042i i i y y = − = − + + + + =∑ 2 0.00421 0.920.051R = − ≈ 92% n ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2 ... 3 2 2 1 *n n n n n n N+ + + + + + − = − ∈ 1n = 1= 21 1= = 1n = ( )*n k k N= ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2 .... 3 2 2 1 *k k k k k k N+ + + + + + − = − ∈ 1n k= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 .... 3 2 3 1 3 3 1k k k k k k+ + + + + − + − + + + ( ) ( ) ( )22 1 3 1 3 3 1k k k k k = − − + − + + +  ( ) ( ) 2224 4 1 2 1 2 1 1k k k k= + + = + = + −   1n k= + *n N∈ 38 12 50 16 24 40 54 36 90 ( )2 2 90 38 24 12 16 12 10.82850 40 54 36K × − ×= = >× × × 99.9% 3 5 即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是 ， 有题意知 从而 的分布列为 21.解：（1）若 ， 所以 设 ，则 所以 在 上为增函数， 又 ， 所以当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增. 所以 的最小值为 . （2）由题意知 3 5 3~ 3, , 0,1,2,3,5X B X  =   ( ) 3 0 3 2 80 5 125P X C  = = =   ( ) 2 1 3 2 3 361 5 5 125P X C  = = × =   ( ) 2 2 3 2 3 542 5 5 125P X C    = = × =       ( ) 3 3 3 3 273 5 125P X C  = = =   X X 0 1 2 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125 ( ) 3 93 5 5E X = × = 1a = ( ) ( )( )ln 1 1xf x e x x= − + > − ( ) ( ) ( )1 11' 11 1 x x x ef x e xx x + −= − = > −+ + ( ) ( )1 1xg x x e= + − ( ) ( ) ( )' 1 2 0x x xg x e x e x e= + + = + > ( )g x ( )1,− +∞ ( )0 0g = ( )1,0x∈ − ( ) ( )0, ' 0g x f x< < ( )f x ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )0, ' 0g x f x> > ( )f x ( )f x ( )0 1f = ( ) ( ) ( )1' 11 1 x x x e aaf x e xx x + −= − = > −+ + 当 时， 显然成立. 当 时，由（1）知 在 上为增函数， 因为 所以存在唯一的 使得 ，即 所以当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增. 所以 的最小值为 当且仅当 ， 即 时取等号. 代入 得 ，矛盾， 所以等号不能成立. 所以 ，所以 22.解：（1）对于曲线，两边同乘以 可得 ，即 所以它的直角坐标方程为 （2）把直线 的参数方程代入 ，得 所以 因为点 在直线 上， 0a = ( ) 0xf x e= > 0 a e< ≤ ( ) ( )1 xh x x e a= + − ( )1,− +∞ ( ) ( )1 0, 1 2 1 0h a h e− = − < = − > ( )0 1,1x ∈ − ( )0 0h x = ( ) 0 0 1 xx e a+ = ( )01,x x∈ − ( ) ( )0, ' 0h x f x< < ( )f x ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) ( )0, ' 0h x f x> > ( )f x ( )f x ( ) ( )0 00 0 0 ln 1 ln1 x x a af x e a x ax e  = − + = −  +   ( )0 0 0 0 1 1ln 1 1 ln 2 1 ln1 1a a x a x a a ax x    = − + = + + − − ≥ − −   + +    ( )1 ln 0a a= − ≥ 0 0 1 11 ln 1 xx a  = + +  = 0 0x a e =  = ( ) 0 0 1 xx e a+ = 1a = ( )0 0f x > ( ) 0f x > ρ 2 2sin cosρ θ ρ θ= 2y x= 2y x= l 2y x= 23 2 8 0t t− − = 1 2 1 2 2 8,3 3t t t t+ = = − ( )2,0P l 所以 因为 所以 所以 23.解：（1）由题意的： 两边平方得： 即 ， 解得 或 ， 所以原不等式的解集为 （2） 的最小值为 所以 ， 即 或 亦即 或 1 2 8 3PA PB t t⋅ = = 1 2 8 03t t = − < ( )2 1 2 1 2 1 2 104 3PA PB t t t t t t+ = − = + − = 10 1 1 53 8 4 3 PA PB PA PB PA PB ++ = = =⋅ 2 1 1x x− > + 2 24 4 1 2 1x x x x− + > + + 23 6 0x x− > 0x < 0x > ( ) ( ),0 2,−∞ ∪ +∞ 1 1 1 1 2ax ax ax ax− > − − ≥ − − − = ( ) ( )f x f x+ − 2 2 1m< − 1 2m − < − 1 2m − > 1m < − 3m >