江苏省淮安市涟水县第一中学2019-2020学年高二12月月考数学试题 11页

涟水一中2019-2020学年度第一学期12月份月考 高二数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给出的四个选项中，‎ 只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1. 设，为实数，则“是”的 条件 ( ) ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎2.不等式的解集为（ ）‎ A. B. C.或 D.‎ ‎3. 在等差数列中，若是方程的两根，则的值 为（ ） ‎ A．4 B．‎2 C．﹣4 D．﹣2‎ ‎4. 在等比数列中，为其前项和，已知，则此数列的 公比为（ ）‎ A．2 B. C. 1 D.3‎ ‎5. 已知，若∥，则与的值分别为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．椭圆的焦距为2，则的值等于(　　) ‎ A.5 B‎.3 ‎ C.5或3 D.8‎ ‎7. 设双曲线()的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线 方程为(　　) ‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数的值是（ ）‎ A.2 B. C. 或 D. 或 ‎ ‎9. 设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值 是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的 最小值为（ ）‎ A.2 B‎.3 C.4 D.5‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共计30分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎11. 是空间四点，有以下条件:‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④，‎ 能使四点一定共面的条件是 ‎ ‎12. 设分别是平面的法向量，若，则实数的 值为 . ‎ ‎13. 已知空间直角坐标系中有点A(－2,1,3)，B(3,1,0)，则________.‎ ‎14. 四棱锥中，底面，为正方形的对角线，‎ 给出下列命题：‎ 为平面PAD的法向量； ‎ 为平面PAC的法向量； ‎ ‎ ③为直线AB的方向向量； ‎ ‎ ④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量． 其中正确命题的序号是 ‎ ‎15．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，‎ 若，则线段的长为________‎ ‎16. 若直线 与抛物线 只有一个交点，则实数的值为 ‎ 三、解答题（本大题共5小题，12分+12分+14分+16分+16分，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知恒成立，即实数的取值范围为集合 ‎（1）求集合；‎ ‎（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，‎ 求实数的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知双曲线的渐近线方程为,且双曲线经过点，‎ 直线与双曲线交于两点.‎ ‎(1) 求双曲线的方程；‎ ‎(2) 求的值.‎ ‎19．(本小题满分14分)‎ 已知等差数列的前项和为，且，数列满足：，‎ 且 ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的 前项和 ‎20. （本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)过点，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，试探究是否为定值？‎ 若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎21. （本小题满分16分）‎ 如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ E D 第21题 且.‎ ‎（1）求直线与所成角的大小；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎2019-2020学年度第一学期12月份月考 高二数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给出的四个选项中，‎ 只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1. 设，为实数，则“是”的 条件 ( ) A A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎2.不等式的解集为（ ）C A. B. C.或 D.‎ ‎3. 在等差数列中，若是方程的两根，则的值 为（ ） A A．4 B．‎2 C．﹣4 D．﹣2‎ ‎4. 在等比数列中，为其前项和，已知，则此数列的 公比为（ ）D A．2 B. C. 1 D.3‎ ‎5. 已知，若∥，则与的值分别为 （ ）A A． B． C． D．‎ ‎6．椭圆的焦距为2，则的值等于(　　) C A.5 B‎.3 ‎ C.5或3 D.8‎ ‎7. 设双曲线()的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线 方程为(　　) B A. B. C. D.‎ ‎8. 若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数的值是（ ）C A.2 B. C. 或 D. 或 ‎ ‎9. 设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值 是(　　)A A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的 最小值为（ ）B A.2 B‎.3 C.4 D.5‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共计30分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎11. 是空间四点，有以下条件:‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④，‎ 能使四点一定共面的条件是 ④‎ ‎12. 设分别是平面的法向量，若，则实数的值 为 .‎ ‎13. 已知空间直角坐标系中有点A(－2,1,3)，B(3,1,0)，则________.‎ ‎14. 四棱锥中，底面，为正方形的对角线，‎ 给出下列命题：‎ 为平面PAD的法向量； ‎ 为平面PAC的法向量； ‎ ‎ ③为直线AB的方向向量； ‎ ‎ ④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量． 其中正确命题的序号是 ‎ ‎②，③，④‎ ‎15．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，‎ 若，则线段的长为________．12‎ ‎16. 若直线 与抛物线 只有一个交点，则实数的值为 .或 ‎ 三、解答题（本大题共5小题，12分+12分+14分+16分+16分，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知恒成立，即实数的取值范围为集合 ‎（1）求集合；（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ 解：（1）恒成立，‎ ‎ ………………………………4分 ‎ ‎ ‎…………………………………6分 ‎（2），…………………………………8分 因为“”是“”的充分不必要条件 所以…………………………………10分 为所求的取值范围. ……………………………12分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知双曲线的渐近线方程为,且双曲线经过点，直线 与双曲线交于两点.‎ ‎(1) 求双曲线的方程；‎ ‎(2) 求的值.‎ 解：（1）因为双曲线的渐近线方程为，‎ 所以设双曲线方程是，…………………………………4分 又因为双曲线经过点，所以，即，‎ 所以双曲线方程是。………………………………6分 ‎（2）设，由直线与双曲线联立方程组，消去 整理得，……………………………8分 由题意知是的两个实根，‎ 所以，……………………………10分 又，，所以 所以……12分 ‎19．(本小题满分14分)‎ 已知等差数列的前项和为，且，数列满足：，‎ 且 ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的 前项和 解：（1）设等差数列的公差为，‎ 所以…………………………2分 ‎…………………………4分 由，得 ‎ 又，∴，…………6分 又∵，∴， …………8分 ‎，即数列是以为公比，首项的等比数列，……10分 ‎（2）因为…………………12分 ‎………14分 ‎20. （本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)过点，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，试探究是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．‎ 解：(1)由离心率e＝＝，得a∶b∶c＝2∶∶1，‎ 则可设椭圆C的方程为＋＝1. …………………2分 由点P在椭圆C上，得＋＝1，即c2＝1，…………………4分 所以椭圆C的方程为＋＝1. …………………6分 ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，…………………8分 所以OA2＋OB2＝x＋3－x＋x＋3－x＝(x＋x)＋6. …………………10分 由消去y得3x2＋2nx＋2n2－6＝0. …………………12分 当Δ＞0时，x1＋x2＝－n，x1x2＝，…………………14分 从而x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－＝4，‎ 所以OA2＋OB2＝7，为定值．…………………16分 ‎21. （本小题满分16分）‎ 如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ E D 第21题 且.‎ ‎（1）求直线与所成角的大小；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ 解：分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.‎ 则由题意可得：,,,,,,‎ ‎…………………2分 又分别是的中点，,.…………4分 ‎（1）因为， ，‎ 所以， ……7分 直线与所成角的大小为. ………8分 ‎（2）设平面的一个法向量为,‎ 由,得,…………………10分 可取， …………12分 又，所以， …14分 直线与平面所成角的正弦值为. …16分