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- 2021-04-15 发布
2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（普通班）下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【详解】试题分析：可采用排除法，令和，验证选项，只有，使得，故选C．
【考点】数列的通项公式．
2．在中，且，则等于()
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在△ABC中，利用正弦定理与两角和的正弦化简已知可得，sin（A+C）＝sinB，结合a＞b，即可求得答案．
【详解】
在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosAb，
∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB，sinB≠0，
∴sinAcosC+sinCcosA，
∴sin（A+C），
又A+B+C＝π，
∴sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，又a＞b，
∴B．
故选：A．
【点睛】
本题考查两角和与差的正弦函数与正弦定理的应用，考查了大角对大边的性质，属于中档题．
3．已知在中，内角的对边分别为，若，则等于()
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意变形，运用余弦定理，可得cosB，再由同角的平方关系，可得所求值．
【详解】
2b2﹣2a2＝ac+2c2，
可得a2+c2﹣b2ac，
则cosB，
可得B＜π，
即有sinB
．
故选：A．
【点睛】
本题考查余弦定理的运用，考查同角的平方关系，以及运算能力，属于中档题．
4．中，，，，那么的面积是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】试题分析：由正弦定理得
时三角形为直角三角形，面积为，当时三角形为等腰三角形，面积为
【考点】解三角形
5．设，则下列不等式中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【详解】
取，则，，只有B符合．故选B．
【考点】基本不等式．
6．设公差为－2的等差数列，如果，那么等于()
A．－182 B．－78 C．－148 D．－82
【答案】D
【解析】根据利用等差数列通项公式及性质求得答案．
【详解】
∵{an}是公差为﹣2的等差数列，
∴a3+a6+a9+…+a99＝（a1+2d）+（a4+2d）+（a7+2d）+…+（a97+2d）＝a1+a4+a7++a97+33×2d＝50﹣132＝﹣82．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式及性质的应用，考查了运算能力，属基础题．
7．将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【详解】试题分析：由题意得，，令，可得函数的图象对称轴方程为，取是轴右侧且距离轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移
个长度单位后得到的图象关于轴对称，的最小值为，故选B．
【考点】两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．
【方法点晴】
本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，求的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数,可取出函数的对称轴，确定距离最近的点，即可得到结论．
8．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于()
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件可得a3＝a1+2a2 ，即a1q2＝a1+2a1q，解得q＝1．代入所求运算求得结果．
【详解】
∵等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，故公比q不等于1．
∴a3＝a1+2a2 ，即a1q2＝a1+2a1q，解得q＝1．
∴3+2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等差中项的性质，等比数列的通项公式，考查了整体化的运算技巧，属于基础题．
9．不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【详解】
不等式的解集为，
为方程的两根，
则根据根与系数关系可得，
.
故选C.
【考点】一元二次不等式；根与系数关系.
10．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴.
∴，即，
∴.故选B.
【考点定位】向量的坐标运算
11．已知，若，则等于()
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】首先根据⇒（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，并化简得出，再化为Asin()形式即可得结果.
【详解】
由
得：（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，
化简得，即sin()=,
则sin()=
故选：A.
【点睛】
本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算，属于基础题．
12．若，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用同角三角函数的基本关系求出与，然后利用两角差的余弦公式求出值。
【详解】
，，则，
，则，所以，，
因此，
，
故选：C。
【点睛】
本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点：
①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负；
②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解。
二、填空题
13．已知，且，则________．
【答案】
【解析】试题分析：由得：
解方程组：得：或
因为，所以所以不合题意，舍去
所以，所以，答案应填：.
【考点】同角三角函数的基本关系和两角差的三角函数公式.
14．设等比数列的公比，前项和为，则 ．
【答案】15
【解析】分析：运用等比数列的前n项和公式与数列通项公式即可得出的值.
详解：数列为等比数列
，
故答案为15.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生对基本概念的掌握能力与计算能力.
15．如图，在中，，是边上一点，，则 ．
【答案】
【解析】【详解】
由图及题意得 ， =
∴ =( )( )= + = = .
三、解答题
16．设，求函数的最小值为__________．
【答案】9
【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值.
试题解析：由得，则
当且仅当时，上式取“=”，所以.
【考点】基本不等式；构造思想和发散性思维.
17．已知向量（），向量，，
且.
（Ⅰ）求向量；
（Ⅱ）若，，求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】【详解】
（Ⅰ）∵,，
∵，∴，即，①
又，②
由①②联立方程解得，，．
∴；
（Ⅱ）∵，即，，
∴，，
又∵，
，
∴
.
18．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】【详解】
(1)设等差数列{an}的公差为d，
由已知条件可得，
解得，
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)设数列的前n项和为Sn，
∵，
∴Sn＝－
记Tn＝，①
则Tn＝，②
①－②得：Tn＝1＋，
∴Tn＝－，即Tn＝4－.
∴Sn＝－4＋
＝4－4＋＝.
19．已知．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值.
试题解析：（1）
（2）由（1）得
所以
【考点】向量的坐标运算.
20．已知等比数列中，，是和的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；
（2）把（1）中求得的结果代入bn＝an•log2an，求出bn，利用错位相减法求出Tn．
【详解】
(1)设数列的公比为，
由题意知：，
∴，即.
∴，即.
(2)，
∴.①
.②
①－②得
∴.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和等差中项的概念以及错位相减法求和，考查运算能力，属中档题．
21．设.
(1)用表示的最大值；
(2)当时，求的值.
【答案】（1）（2）或
【解析】（1）化f（x）为sinx的二次函数，根据二次函数的性质，对a讨论求出函数最大值；
（2）由M（a）＝2求出对应的a值即可．
【详解】
(1)
，
∵，∴.
①当，即时，；
②当，即时，；
③当，即时，.
∴
(2)当时，(舍)或－2(舍)；
当时，；
当时，.
综上或.
【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和二次函数的性质问题，考查了分段函数求值问题，是中档题．
22．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约 km/h的的B处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，最多需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
【答案】答案见解析.
【解析】由题意利用正弦定理首先求得的大小，然后确定检查员检查合格的方法即可.
【详解】
检查开始处为，设公路上两点到考点的距离均为1km.
在中，,
由正弦定理，得，
，
.
在中，,
为等边三角形，.
在段需要5min，
在段需要5 min.则最多需要5 min，检查员开始收不到信号，并至少持续5 min.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.