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- 2021-04-15 发布
NCS20190607 项目第二次模拟测试卷
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合 2{ | 2 0}, { | 0 3}A x x x B x x ，则 A B 等于（ ）
A．( 1,3) B．(0,3) C．(1,3) D．(2,3)
1．答案：D
解析： 2{ | 2 0} { | ( 2)( 1) 0} { | 1 2}, { | 0 3}A x x x x x x x x x B x x 或 ，
所以 (2,3)A B ．
2．已知 , Ra b ，复数 iz a b ，则 2z 等于（ ）
A． 2 2 2 ia b ab B． 2 2 2 ia b ab C． 2 2a b D． 2 2a b
2．答案：D
解析： 22 2 2 2,z a b z a b ．
3．已知函数 2( )f x ax x a ，命题 0 0: , ( ) 0Rp x f x ，若 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A． 1 1,2 2
B． 1 1,2 2
C． 1 1, ,2 2
D． 1 1, ,2 2
3．答案：C
解析：因为 p 为假命题，所以 : , ( ) 0Rp x f x 为真命题，
当 0a 时， ( )f x x 显然不满足题意；
当 0a 时， ( )f x 为二次函数，而 21 4 0a ，解得 1
2a 或 1
2a ．
4．已知抛物线 2 8y x 的焦点为 F ，点 P 在该抛物线上，且 P 在 y 轴上的投影点为 E ，则 PF PE 的
值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．答案：B
解析： 2 2 , 4, 22
py px p PF PE ．
5．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为 1），则该几何体的体积是（ ）
A． 12 2 B． 2 1
C． 2 2 D． 2 4
5．答案：C
解析：该几何体由一个圆柱体挖去一个三棱柱得到，其体积 2 11 2 2 1 2 2 22V ．
6．已知函数 ( ) sin( ) 0, 0, 2f x A x A
的部分图像如图所示，
若将 ( )f x 图像上的所有点向左平移
4
个单位得到函数 ( )g x 的图像，
则函数 ( )g x 的单调递增区间是（ ）
A． 7 , ( )12 12 Zk k k
B． 5, ( )12 12k k k
Z
C． 5 7, ( )24 24 Zk k k
D． 11 , ( )24 24 Zk k k
6．答案：A
解析：解法 1（通解通法），由图可知， 5 , , 24 12 6 4
T T ，当
6x 时，
2 2 , , 2 ,6 3 2 6Z Zx k k k k ，又因为
2
，所以
6
，
所以 ( ) sin 2 6f x A x
，将 ( )f x 图像上的所有点向左平移
4
个单位，得 ( ) 4g x f x
2sin 2 sin 24 6 3A x A x
，由 22 2 2 ,2 3 2 Zk x k k ≤ ≤ ，
解得 7 ,12 12 Zk x k k ≤ ≤ ，即函数 ( )g x 的单调递增区间是 7 , ( )12 12 Zk k k
．
解法 2：特值法，由图可知，函数 ( )f x 的一个单调递增区间的右端点为
6
，将 ( )f x 图像上的所有点向左
平移
4
个单位到函数 ( )g x 的图像，可知函数 ( )g x 的一个单调递增区间的右端点为
6 4 12
，故选 A．
O
6
5
12
7．已知
1
7log 3 3, log 7 6, 7x y z ，则实数 , ,x y z 的大小关系是（ ）
A． x z y B． z x y C． x y z D． z y x
7．答案：D
解析：
1 1 1
3 63 6 73, 3 , 7, 7 , 7x x y y z ，因为函数 7xy 是单调递增函数，且 1 1
7 6 ，所以 z y ，
6 2 63 9, 7, 9 7, ,x y x y z y x ．
8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个
有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回
到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 2 2 1x y ≤ ，若将军从点
(2,0)A 出发，河岸线所在直线方程为 3x y ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将
军饮马”的最短总路程为（ ）
A． 10 1 B． 2 2 1 C． 2 2 D． 10
8．答案：A
解析：如图，作出点 A 关于直线 3x y 的对称点 (3,1)A ，设饮马点为 P ，则“将军饮马”的总路程为
1 1 1 10 1AP OP A P OP AB ≥ ，当点 P 为线段OA 与直线 3x y 的交点时，总
路程最短，最短路程为 10 1 ．
3
2
1
1
2 4
B
A'
AO
P
9．已知 ABC△ 中， 2, ,4 6AB B C ，点 P 是边 BC 的中点，则 AP BC
等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．答案：B
解析：由正弦定理可得
22sin 2, 2 21sin sin sin
2
AC AB AB BACB C C
，
则 2 21 1 1 (8 4) 22 2 2AP BC AB AC AC AB AC AB
．
10．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b 的焦距为 2c ，圆 2 2 2
1 : ( ) ( 0)C x c y r r 与圆
2 2 2
2 : ( ) 4 ( )RC x y m r m 外切，且 E 的两条渐近线恰为两圆的共切线，则 E 的离心率为（ ）
A． 2 B． 5 C． 6
2 D． 3
2
10．答案：C
解析：如图，设两圆相切于点 B ，圆 1C 的圆心即为双曲线的右焦点 ( ,0)F c ，则 FB 即为焦点 F 到渐近
线 0bx ay 的距离，所以 FB b ，即 r b ，所以 2 2 2BC r b ，由 2OBF C OF△ ∽△ ，
可得 2 2
2 3OF BF C F b ，即 2 23c b ，又 2 2 2c a b ，所以 2 23 6,2 2c a c a ，
离心率 6
2
ce a ．
B
C2
F
O
11．已知 ( )f x 是定义在 R 上的函数，且对任意的 Rx 都有 ( ) ( ) 2cosf x f x x ， ( ) sin 0f x x ，
若角 满足不等式 ( ) ( ) 0f f ≥ ，则 的取值范围是（ ）
A． , 2
B．( , ] C． ,2 2
D． 0, 2
11．答案：A
解析：设 ( ) ( ) cosg x f x x ，则 ( ) ( ) cos( ) ( ) cos cos ( ) ( )g x f x x f x x x f x g x ，
所以函数 ( )g x 是奇函数，又 ( ) ( ) sin 0g x f x x ，所以函数 ( )g x 是单调递减函数．
由 ( ) ( ) 0f f ≥ ，得 ( ) cos( ) ( ) cos 0f f ≥ ，即 ( ) ( ) 0g g ≥ ，
所以 ( ) ( ) ( ),g g g ≥ ≤ ，解得
2
≤ ．
12．平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面是边长为 4 的菱形，且 60BAD ，点 1A 在底面的投影O 是
AC 的中点，且 1 4AO ，点C 关于平面 1C BD 的对称点为 P ，则三棱锥 P ABD 的体积是（ ）
A．4 B．3 3 C． 4 3 D．8
A B
CD
A1 B1
C1D1
O
12．答案：C
解析：连接 1 1 1,AC OC ，在平面 1 1ACC A 中，过C 作 1CM OC 于点 M ，并延长CM 至点 P ，使 MP CM ，
连接 OP ，由 1 1, ,BD AC BD AO AC AO O ，可得 BD 平面 1 1ACC A ，所以 BD CP ，又
1CP OC ， 1BD OC O ，所以 CP 平面 1BDC ，点 P 即为点 C 关于平面 1BDC 对称的点，因为
1 4AO ， 1 1 4 3AC ， 1 1 90OAC ，所以 1 1 60AOC ，则 1 30COC ，所以 OPC△ 是一个
边长为 2 3 的正三角形，所以点 P 到直线 AC 的距离为 3，所以 21 3 4 3 4 33 4P ABDV
．
A B
CD
A1 B1
C1D1
O
P
M P
C1
C
A1
A O
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．已知 2 6 2 12
0 1 2 12( 2)x a a x a x a x ，则 3 4a a 等于 ．
13．答案：240
解析：显然 3 0a ，展开式中含 4x 的项为 2 2 2 4 4
6 ( ) ( 2) 240C x x ，所以 4 3 4240, 240a a a ．
14．已知实数 ,x y 满足 0
2 2 0
x y
x y
≤
≥
，则 2z x y 的最小值是 ．
14．答案： 2
解析：作可行域为如图所示的 OAB△ ，其中 2 2,3 3A
， (2,2)B ，则 2, 0, 2A O Bz z z ，
所以 2z x y 的最小值是 2Bz ．
O x
y
A
B
15．已知 3sin cos2 4 2 4 4
，则sin ．
15．答案： 1
2
解析： 2 3sin cos sin cos sin2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 4 4
，
所以 2 1cos 1 2sin2 2 4 2
，所以 1sin cos cos2 2 2
．
16．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交车加步行或乘坐地铁加步行．江先生从家到公交站或地铁站
都要步行 5 分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交车经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分
布 2(33,4 )N ，下车后从公交车站步行到单位要 12 分钟；乘坐地铁畅通，但线路长且乘客多，所需时间（单
位：分钟）服从正态分布 2(44,2 )N ，下地铁后从地铁站步行到单位要 5 分钟．下列说法：①若 8：00 出
门，则乘坐公交车不会迟到；②若 8：02 出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若 8：06 出门，
则乘坐公交车上班不迟到的可能性更大；④若 8：12 出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到．从统计的
角度认为以上说法中所有合理的序号是 ．
参考数据：若 2( , )Z N ～ ，则 ( ) 0.6826P Z ，
( 2 2 ) 0.9544, ( 3 3 ) 0.9974P Z P Z ．
16．答案：③④
解析：设坐公交车所用的时间为 X ，乘坐地铁所用的时间为Y ，则 2 2(33, 4 ), (44, 2 )X N Y N～ ～ ，
若 8：00 出门，则乘坐公交车迟到的概率为 ( 43) ( 2.5 ) 0P X P X ，所以仍然有可能迟到，
①错；
若 8：02 出门，则乘坐地铁上班不迟到的概率为 1( 48) ( 2 ) 0.5 0.9544 0.97722P Y P Y ，
乘坐公交车上班不迟到的概率为 1( 41) ( 2 ) 0.5 0.9544 0.97722P X P X ，
所以若 8：02 出门，乘坐地铁和乘坐公交车不迟到的概率相等，②错；
若 8：06 出门，则乘坐公交车不迟到的概率 1( 37) ( ) 0.5 0.6826 0.84132P X P X ，
乘坐地铁不迟到的概率 ( 44) 0.5P Y ，所以乘坐公交车不迟到的可能性更大，③正确；
若 8：12 出门，则乘坐地铁上班不迟到的概率为 1( 38) ( 3 ) (1 0.9974) 0.00132P Y P Y ，
概率很小，所以乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，④正确．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
已知数列{ }na 是公差不为零的等差数列， 1 1a ，且存在实数 满足 12 4n na a ， Nn ．
（1）求 的值及通项 na ；
（2）求数列 2{ }n na 的前 n 项和 nS ．
17．解析：（1）设等差数列{ }na 的公差为 d ，由 12 4 ( )n na a n
N ，……………………①
得 12 4 ( , 2)n na a n n
N ≥ ……………………………………………………………………②
两式相减，得 2d d ，又因为 0d ，解得 2 ；…………………………………………………4 分
将 2 代入①可得 1 2n na a ，即 2d ，
又因为 1 1a ，所以 1 ( 1) 2 2 1na n n ． …………………………………………………6 分
（2）由（1）可得 1
2 2(2 ) 1 2 (2 1)n
n n
na n n
，………………………………………………8 分
所以 2 3 1 4(1 2 ) (3 2 1)(2 2 2 ) [3 5 (2 1)] 1 2 2
n
n
n
n nS n
2 22 2 4n n n ． ……………………………………………………………………12 分
18．（本小题满分 12 分）
如图，矩形 ABCD 中， 3, 1,AB BC E F 、 是边 DC 的三等分点．现将 ,DAE CBF△ △ 分别沿
AE BF、 折起，使得平面 DAE 、平面CBF 均与平面 ABFE 垂直．
（1）若G 为线段 AB 上一点，且 1AG ，求证： //DG 平面CBF ；
（2）求二面角 A CF B 的余弦值．
A B
CD
E F
A B
E F
CD
G
18．解析：（1）如图，分别取 ,AE BF 的中点 ,M N ，连接 , ,DM CN MN ，
因为 1AD DE ， 90ADE ，所以 DM AE ，且 2
2DM ．
因为 1BC CF ， 90BCF ，所以CN BF ，且 2
2CN ．
因为平面 DAE 、平面CBF 均与平面 ABFE 垂直，所以 DM 平面 ABFE ，CN 平面 ABFE ，
所以 DM CN ，所以四边形CDMN 是矩形， CD MN ，
又 MN 是梯形 ABFE 的中位线，所以 //MN AB ，且 22
AB EFMN ，又 2BG ，所以 MN BG ，
所以CD BG ，所以四边形 BCDG 是平行四边形，所以 //DG BC ，
又因为 DG 平面CBF ， BC 平面CBF ，所以 //DG 平面CBF ．
E F
A B
CD
G
E F
A B
CD
G
M
N
x
y
z
（2）如图，以G 为原点，分别以 ,AB GE 所在直线为 ,x y 轴，以过G 点并垂直于平面 ABFE 的直线为 z
轴建立空间直角坐标系，则 3 1 2( 1,0,0), (2,0,0), (0,1,0), (1,1,0), , ,2 2 2A B E F C
，
则 1 1 2(2,1,0), , , , ( 1,1,0)2 2 2AF FC BF
，因为 ,GF BF GF CN ，故GF 平面CBF ，
从而 (1,1,0)GF
是平面CBF 的一个法向量；
设 ( , , )n x y z
是平面 AFC 的一个法向量，则
2 00
2 00
x yn AF
x y zn FC
，解得 3 2 0
2 0
x z
x y
，
取 2x ，则 4, 3 2y z ，即 ( 2, 4,3 2)n
，
所以， 2 19cos , 192 38
GF nGF n
GF n
，
由图可知，二面角 A CF B 为钝角，所以二面角 A CF B 的余弦值为 19
19 …………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b ，点 M 在C 的长轴上运动，过点 M 且斜率大于 0 的直线l 与C 交于
,P Q 两点，与 y 轴交于 N 点．当 M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为
6
时， ,N P 重合， 2PM ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）当 , , ,N P Q M 均不重合时，记 ,NP NQ MP MQ
，若 1 ，求证：直线l 的斜率为定值．
19．解析：（1）因为当 M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为
6
时， ,N P 重合， 2PM ．
所以 32, 3
ba c ，因此 3, 1c b ，所以椭圆C 的方程为
2
2 14
x y ．…………………………5 分
Q
N(P)
M(F2)
O
N
P
Q
O M
（2）设 : ( 0, 0)l x ty m t m ，所以 ( ,0), 0, mM m N t
，所以 1
lk t ．
设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，则 1 1 2 2, , ,m mNP x y NQ x yt t
，
由 NP NQ
得， 1 2x x ， ① 同理可得 1 2y y ， ②
两式相乘，得： 1 1 2 2x y x y ，又 1 ，所以 1 1 2 2x y x y ，……………………………………7 分
所以 1 1 2 2( ) ( )ty m y ty m y ，即 2 2
1 2 2 1( ) ( )t y y m y y ，即 2 1 1 2( )[ ( )] 0y y m t y y ，
由题意知 0lk ，知 1 2 0y y ，所以 1 2( ) 0m t y y ．………………………………………………8 分
由 2
2 14
x ty m
x y
，得 2 2 2( ) 2 4 0t t y tmy m ，依题意， 1 2 2
2
4
tmy y t
……………………10 分
所以
2
2
2 04
t mm t
，又 0m ，所以 2 4t ，解得 2t ，
所以 1 1
2lk t ，即直线l 的斜率为 1
2
．
20．（本小题满分 12 分）
某品牌餐饮公司准备在 10 个规模相当的地区开加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中 5 个
地区试点，得到试点加盟店的个数分别为 1，2，3，4，5 时，单店日平均营业额 y（万元）的数据如下：
加盟店个数 x（个） 1 2 3 4 5
单店日平均营业额 y（万元） 10.9 10.2 9 7.8 7.1
（1）求单店日平均营业额 y（万元）与所在地区加盟店个数 x（个）的线性回归方程；
（2）该公司根据回归方程，决定在其他 5 个地区中，开设加盟店个数为 5，6，7 的地区数为 2，1，2．小
赵和小王都准备加入该公司的加盟店，但根据公司规定，他们只能从这 5 个地区的 30 个加盟店中随机抽
取一个加入．记事件 A：小赵和小王抽取的加盟店在同一个地区，事件 B：小赵与小王抽取到的加盟店预
计日平均营业额之和不低于 12 万元，求在事件 A 发生的前提下事件 B 发生的概率．
参考数据及公式：
5 5
2
1 1
125, 55i i i
i i
x y x
，
线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a ，其中 1
2 2
1
ˆ ˆˆ,
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b a y bx
x nx
．
20．解析：（1）由题可得， 3, 9x y ，设所求线性回归方程为 ˆˆ ˆy bx a ，……………………2 分
则 1
2 2
1
125 135ˆ 155 45
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
，………………………………………………………………4 分
ˆˆ 9 ( 3) 12a y bx ，故所求回归直线方程为 ˆ 12y x ．……………………………………6 分
（2）根据回归方程，加盟店个数为 5 的地区单店预计日平均营业额为 7 万元，
加盟店个数为 6 的地区单店预计日平均营业额为 6 万元，
加盟店个数为 7 的地区单店预计日平均营业额为 5 万元；
所以
2 2 2 2 2
5 6 7 5 6
2 2
30 30
2 2 277 35( ) , ( )435 435
C C C C CP A P ABC C
，…………………………10 分
所以 ( ) 5( | ) ( ) 11
P ABP B A P A ．…………………………………………………………………………12 分
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) (ln ), ( ) 1xf x x e a x x g x mx ．（ , Ra m 且为常数，e 为自然对数的底）
（1）讨论函数 ( )f x 的极值点个数；
（2）当 1a 时， ( ) ( )f x g x≥ 对任意的 (0, )x 恒成立，求实数 m 的取值范围．
21．解析：（1） ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 1 1( ) ( 1) 1 ( )x xxf x x e a xe ax x
，
因为函数 xy xe 在区间(0, ) 上单调递增，且值域为(0, ) ，……………………………………2 分
①当 0a ≤ 时， 0, ( ) 0, ( )xxe a f x f x 在 (0, ) 上单调递增，无极值点；……………………4 分
②当 0a 时，方程 0xxe a 有唯一解，设为 0 0( 0)x x ，且当 00 x x 时， ( ) 0f x ，
当 0x x 时， ( ) 0f x ，所以 0x 是函数 ( )f x 的极小值点，即函数 ( )f x 只有 1 个极值点．…………6 分
（2）解法 1：当 1a 时，不等式 ( ) ( )f x g x≥ 对任意的 (0, )x 恒成立，
即 ln 1 ( 1)xxe x m x ≥ 对任意的 (0, )x 恒成立，…………………………………………………7 分
即 ln 1 1x xe mx
≥ 对任意的 (0, )x 恒成立，记 ln 1( ) x xF x e x
，…………………………8 分
2
2 2
ln ln( )
x
x x x e xF x e x x
，记 2( ) lnxh x x e x ，则 ( )h x 在 (0, ) 上单调递增，
且
1 21 1 0, (1) 0eh e h ee
，所以存在 0
1 ,1x e
使得 0( ) 0h x ，
且 0(0, )x x 时， ( ) 0, ( ) 0h x F x ；当 0( , )x x 时， ( ) 0, ( ) 0h x F x ．
所以 min 0( ) ( )F x F x ，即 0 0
min
0
ln 1( ) x xF x e x
，……………………………………………………10 分
又因为 0 0 0 0
1ln2 0
0 0 0 0 0
0 0
ln 1( ) 0 ln lnx x x xxh x x e x x e x e ex x ，
所以 0
0
1lnx x ，因此
0
0 0 0 0 0
min
0 0 0
ln 1 ln 1 1 1( ) 1
x
x x x e x xF x e x x x
，
所以1 1m ≥ ，解得 0m≤ ．综上，实数 m 的取值范围是( ,0] ……………………12 分
解法 2：当 1a 时，不等式 ( ) ( )f x g x≥ 对任意的 (0, )x 恒成立，
即 ln 1 ( 1)xxe x m x ≥ 对任意的 (0, )x 恒成立，
即 ln 1 1
xxe x mx
≥ 对任意的 (0, )x 恒成立，
记 ( ) th t e t ，因为 ( ) 1th t e ，所以当 0t 时， ( ) 0h t ，当 0t 时， ( ) 0h t ，
所以 ( ) (0) 1h t h ≥ ，因此 1te t ≥ （当且仅当 0t 时取“＝”），
所以 lnln 1 ln 1 ln 1 ln 1x x xxe x e x x x x x ≥ ，
所以 ln 1 1
xxe x
x
≥ ，当且当 ln 0x x 时，取到“＝”，
所以 ln 1xxe x
x
的最小值是 1，因此1 1m ≥ ，即 0m≤ ，
综上，实数 m 的取值范围是( ,0] ………………………………………………………………12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．
22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为
1
2
3
2
x t
y t
（t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴非
负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 2 cos 2 0 ，点 P 的极坐标是
2 15 2,3 3
．
（1）求直线l 的极坐标方程及点 P 到直线l 的距离；
（2）若直线l 与曲线C 交于 ,M N 两点，求 PMN△ 的面积．
22．解析：（1）由
1
2
3
2
x t
y t
，消去t 得 3y x ，即 sin 3 cos , 3
，
所以直线l 的极坐标方程为 ( )3
R …………………………………………………………3 分
点 2 15 2,3 3
到直线l 的距离为 2 15 2 2 15 3sin 53 3 3 3 2d
．…………………5 分
（2）由
2 2 cos 2 0
3
，得 2 2 0, ( 2)( 1) 0 ，解得 1 21, 2 ，
所以 1 2 3MN ， ……………………………………………………8 分
则 PMN△ 的面积为 1 1 3 53 52 2 2PMNS MN d △ ．………………………………………10 分
23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知 ,a b 为正实数，函数 ( ) 2f x x a x b ．
（1）求函数 ( )f x 的最大值；
（2）若函数 ( )f x 的最大值为 1，求 2 24a b 的最小值．
23．解析：（1）因为 ( ) 2 ( ) ( 2 ) 2f x x a x b x a x b a b ≤ ，
所以函数 ( )f x 的最大值为 2a b ．……………………………………………………………………5 分
（2） 由（1）可知， 2 1a b ，
所以 2 2 22( 4 ) ( 2 ) 1a b a b ≥ ，即 2 2 14 2a b ≥ ，
当且仅当 12 2a b 时取“＝”，所以 2 24a b 的最小值为 1
2
．…………………………………………10 分