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- 2021-04-15 发布
第十节 变化率与导数、导数的计算
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x，y＝x3，y＝的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
(对应学生用书第31页)
[基础知识填充]
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|，即f′(x0)＝ ＝.
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝a
f′(x)＝aln a(a＞0)
f(x)＝e
f′(x)＝e
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[知识拓展]
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．＝－(f(x)≠0)．
3．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( )
(2)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．( )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．(教材改编)若f(x)＝x·e，则f′(1)等于( )
A．0 B．e
C．2e D．e
C [∵f′(x)＝e＋x·e，∴f′(1)＝2e.]
3．有一机器人的运动方程为s(t)＝t＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( )
A． B． C． D．
D [由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－＝.]
4．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x＋在点(1,2)处的切线方程为________．
x－y＋1＝0 [∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝1，
即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，
∴切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.]
5．曲线y＝ax－ax＋1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则a＝________.
－ [∵y＝ax－ax＋1，∴y′＝2ax－a，∴y′|x＝0＝－a.又∵曲线y＝ax－ax＋1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，∴(－a)·(－2)＝－1，即a＝－.]
(对应学生用书第32页)
导数的计算
求下列函数的导数：
(1)y＝eln x；
(2)y＝x；
(3)y＝x－sincos；
(4)y＝.
[解] (1)y′＝(e)′ln x＋e(ln x)′＝eln x＋e·＝e.
(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x－.
(3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x.
(4)y′＝＝
＝－.
[规律方法] 1.求函数导数的一般原则如下
(1)遇到连乘的形式，先展开化为多项式形式，再求导.
(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导.
(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.
2.复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.
[跟踪训练] (1)f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于( )
A．e B．1
C．ln 2 D．e
(2)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
(1)B (2)3 [(1)f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.
(2)f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.]
导数的几何意义
◎角度1 求切线方程
(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
y＝－2x－1 [因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.]
◎角度2 求切点坐标
若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.
【导学号：97190071】
(e，e) [由题意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．]
◎角度3 求参数的值(范围)
(1)(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－2 B．2
C．－ D．
(2)(2018·成都二诊)若曲线y＝ln x＋ax(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
(1)A (2)D [(1)由y′＝得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝－2，故选A．
(2)由题意得y′＝＋2ax(x＞0)．因为曲线不存在斜率为负数的切线，则y′≥0恒成立，即a≥max.因为x＞0，所以－＜0，即a≥0，故选D．]
[易错警示] 求函数图象的切线方程的注意事项
(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点设出.
(2)切点既在函数的图象上，也在切线上，可将切点代入两者的解析式建立方程组.
(3)在切点处的导数值对应切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.
(4)曲线上一点处的切线与该曲线并不一定只有一个公共点.
(5)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.
[跟踪训练] (1)(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
(2)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
【导学号：97190072】
A．1 B．2 C．－1 D．－2
(3)(2017·天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
(1)B (2)B (3)1 [(1)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x，∴
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
(2)设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．
又由曲线方程知y′＝，所以y′|＝＝1，即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，则x0＝－1，所以a＝2.
(3)∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1.
又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，
∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．
令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.]