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- 2021-04-14 发布
大庆市第十中学2016-2017年度第二学期期末考试
高二数学（理科）试卷
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为 （t为参数）和
（为参数），则曲线与的交点个数为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
2.把曲线C1：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2为（ ）
A.12x2+4y2=1 B.4x2=1 C.x2+=1 D.3x2+4y2=4
3.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.圆ρ=r与圆ρ=-2rsin（θ+）（r＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ）
A.2ρ（sin θ+cos θ）=r B.2ρ（sin θ+cos θ）=-r
C.ρ（sin θ+cos θ）=r D.ρ（sin θ+cos θ）=-r
5.5名上海世博会形象大使到香港、澳门、台湾进行世博会宣传，每个地方至少去一名形象大使，则不同的分派方法共有（ ） 种．
A.25 B.50 C.150 D.300
6.已知集合P={x，y，z}，Q={1，2，3}，映射f：P→Q中满足f（y）=2的映射的个数共有（ ）
A.2 B.4 C.6 D.9
7.某校有六间不同的电脑室，每天晚上至少开放两间，欲求不同安排方案的种数，现有3位同学分别给出了下列三个结果：①；②26-7；③，其中正确的结论是（ ）
A.仅有① B.仅有② C.②与③ D.仅有③
8.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A.-20 B.-10 C.10 D.20
9.在线性回归模型y=bx+a+e中，下列说法正确的是（ ）
A.y=bx+a+e是一次函数
B.因变量y是由自变量x唯一确定的
C.因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生
D.随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生．
10.对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i=1，2，3，4，5），得表1；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i=1，2，3，4，5），得表2．由这两个表可以判断（ ）
表1：
x
1
2
3
4
5
y
2.9
3.3
3.6
4.4
5.1
表2：
x
1
2
3
4
5
y
25
20
21
15
13
A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y负相关，u与v正相关
C.变量x与y负相关，u与v负相关 D.变量x与y正相关，u与v负相关
11.若回归直线=a+bx，b＜0，则x与y之间的相关系数（ ）
A.r=0 B.r=l C.0＜r＜1 D.-1＜r＜0
12.设随机变量ξ服从正态分布N（μ，7），若P（ξ＜2）=P（ξ＞4），则μ 与Dξ的值分别为（ ）
A. B. C.μ=3，Dξ=7 D.
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13.已知正态分布总体落在区间（0.2，+∞）的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x= ______ 时达到最高点．
14.从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派方法种数是 ______ ．
15.设随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，c为常数，则P（0.5＜ξ＜2.5）= ______ ．
16.若随机变量ξ～B（16，），若变量η=5ξ-1，则Dη= ______ ．
三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)
17.已知（x+）n展开式的二项式系数之和为256
（1）求n；
（2）若展开式中常数项为，求m的值；
（3）若展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的值．
18.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（1）两种大树各成活1株的概率；
（2）成活的株数ξ的分布列与期望．
19.某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
完成以下问题：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
（Ⅱ）从[40，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和期望E（X）..
20.为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名青少年进行调查，得到如下列联表：
常 喝
不常喝
总 计
肥 胖
2
不肥胖
18
总 计
30
已知从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为．
（1）请将列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关？
独立性检验临界值表：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
21.在直角坐标系xOy中，已知点P（，1），直线l的参数方程为（t为参数）若以O为极点，以Ox为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ-）
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．
22.已知直线C1（t为参数），C2 （θ为参数），
（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
1234567
答案和解析
【答案】
1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.C 9.C 10.D 11.D 12.C
13.0.2
14.420
15.
16.100
17.解：（1）∵（x+）n展开式的二项式系数之和为256，∴2n=256，解得n=8．
（2）的通项公式：Tr+1==mrx8-2r，令8-2r=0，解得r=4．
∴m4=，解得m=．
（3）的通项公式：Tr+1==mrx8-2r，
∵展开式中系数最大项只有第6项和第7项，∴m≠0，
T6=m5x-2，T7=m6x-4，令m5=m6，
解得m=2．
18.解：设Ak表示甲种大树成活k株，k=0，1，2
Bl表示乙种大树成活1株，1=0，1，2
则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有
P（Ak）=C2k（）k（）2-k，P（Bl）=C21（）l（）2-l．
据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=．
P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=．
（1）所求概率为P（A1•B1）=P（A1）•P（B1）=×=．
（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
P（ξ=0）=P（A0•B0）=P（A0）•P（B0）=×=，
P（ξ=1）=P（A0•B1）+P（A1•B0）=×+×=，
P（ξ=2）=P（A0•B2）+P（A1•B1）+P（A2•B0）=×+×+×=，
P（ξ=3）=P（A1•B2）+P（A2•B1）=×+×=．
P（ξ=4）=P（A2•B2）=×=．
综上知ξ有分布列
ξ
0
1
2
3
4
P
从而，ξ的期望为
Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．
解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数，则
ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）
故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1
从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．
19.解：（Ⅰ）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
所以高为．
频率直方图如下：
（2分）
第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，所以．
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，
所以．
第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，
所以a=150×0.4=60．（5分）
（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值
为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．（6分）
随机变量X服从超几何分布．，，
，．
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
（10分）
∴数学期望
（或者 ）．（12分）
20.解：（1）设常喝碳酸饮料且肥胖的青少年人数为x，则= 解得x=6
列联表如下：
常 喝
不常喝
总 计
肥 胖
6
2
8
不肥胖
4
18
22
总 计
10
20
30
（2）由（1）中列联表中的数据可求得随机变量k2的观测值：
k=≈8.523＞7.789
因此有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关．
21.解：（I）由直线l的参数方程，消去参数t，可得=0；
由曲线C的极坐标方程ρ=cos（θ-）展开为，
化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=x+y，即=．
（II）把直线l的参数方程代入圆的方程可得=0，
∵点P（，1）在直线l上，∴|PA||PB|=|t1t2|=．
22.解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．
联立方程组，
解得C1与C2的交点为（1，0）．
（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0①．
则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，
联立①②可得x=sin2α，y=-cosαsinα；
A点坐标为（sin2α，-cosαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，
P点轨迹的普通方程．
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．
【解析】
1. 解：在中，当时，，
当时，，得，
原方程化为或…①
方程的普通方程为
将①式中的代入②式中，得，
显然不满足①式，
所以曲线C1与C2的交点个数为0．
故选：D．
由得x的范围，从而画出曲线C1；由得普通方程，从而画出C2，观察图形即可得曲线C1与C2的交点个数．
1．本题考查了直线与圆的参数方程化普通方程，两曲线的交点问题等．值得注意的是，应保证方程在转化过程中的等价性，特别是参数的范围，这直接影响到x或y的值．
2．本题也可以用图象法：①式表示同一直线上的两条射线，②式表示以原点为圆心，2为半径的圆，在同一坐标系中作出C1，C2，可知C1与C2的交点个数为0．
2. 解：根据题意，曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2：
（θ为参数），
消去参数，化为直角坐标方程是
4x2+=1．
故选：B．
根据题意，写出曲线C2的参数方程，消去参数，化为直角坐标方程．
本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为直角坐标方程，是基础题．
3. 解：ρ==2，
解方程组得θ=．
∴点M的极坐标为（2，）．
故选：B．
计算M到原点的距离得出极径，再利用极坐标的定义计算极角的大小．
本题考查了极坐标与直角坐标的对应关系，属于基础题．
4. 故选：C．
分别出圆ρ=r的直角坐标方程和圆ρ=sin（θ+）（r＞0）直角坐标方程，从而求出圆ρ=r与圆ρ=-2rsin（θ+）（r＞0）的公共弦所在直线的方程．
本题考查两圆的公共弦所在的直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直角坐标和极坐标互化公式的合理运用．
5. 解：首先5名形象大使，每个地方至少1名那么只有两种分法：1、1、3 和1、2、2，再分配到香港、澳门、台湾，按照排列组合原理，
第一种分法C53A33=60种，第二种分法C52C32A33=90种，合计60+90=150种．
故选C．
先分组，有两种分法：1、1、3 和1、2、2，再分配到香港、澳门、台湾，故可求．
本题主要考查排列组合的应用，涉及到先分组再排列，属于基础题．
6. 解：集合P={x，y，z}，Q={1，2，3}，
要求映射f：P→Q中满足f（y）=2，
则要构成一个映射f：P→Q，只要再给集合P中的另外两个元素x，z在集合Q中都找到唯一确定的像即可．
x可以对应集合Q中三个元素中的任意一个，有3种对应方法，
同样z也可以对应集合Q中的三个元素中的任意一个，也有3种对应方法，
由分布乘法计数原理，可得映射f：P→Q中满足f（y）=2的映射的个数共有3×3=9（个）．
故选：D．
由映射的概念，要构成一个映射f：P→Q，只要给集合P中的元素在集合Q中都找到唯一确定的像即可，前提有f（y）=2，则只需给元素x，z在Q中找到唯一确定的像，然后由分布乘法计数原理求解．
本题考查了映射的概念，关键是对映射概念的理解，借助于分布乘法原理使问题的解决更为简洁明快，是基础题．
7. 解：根据题意，依次分析3位同学给出的个结果：
对于①C62，由组合意义，可得求的是6间不相同的电脑室只开放2间的方案数，显然错误；
对于②26-7，6间电脑室开方与否，其情况数目共有26种，其中都不开放和只开放1间的方案有C60+C61=7种，则26-7的含义为用全部的方案个数减都不开放和只开放1间的方案数目，故正确
对于③C63+2C64+C65+C66，因为C62=C64，则可以变形为C62+C63+C64+C65+C66，其含义是电脑室开放2间、3间，4间、5间、6间的方案数目之和；故正确．
即②和③正确．
故选C．
首先求至少开放2间的不同安排方案的种数．
对于①是只开放2间的方案数，故错误．
对于②求它的对立事件：不开放和开放1间的方案数，然后用总共的方案数减去对立面即可，故正确
对于③正面分4种可能性求得至少开放2间的方案数，故正确
此题主要考查排列组合的简单计数问题和实际应用，题中需要对各种求法做分析判断，有一定的灵活性属于中档题目．
8. 解：∵（x+）（ax-1）5的展开式中各项系数的和为2，
令x=，可得：（+）×1=2，解得a=2．
设（2x-1）5的展开式的通项公式：Tr+1=C5r（-1）r25-rx5-r．
分别令5-r=1，5-r=-1，解得r=6（舍去），r=4．
∴该展开式中常数项为C54（-1）421=10．
故选：C
由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
9. 解：根据线性回归的定义，按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析，故A不正确；
根据线性回归方程做出的y的值是一个预报值，不是由x唯一确定，故B不正确；
y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，故C正确；
随机误差不是由于计算不准造成的，故D不正确．
故选C．
根据线性回归的定义可知选项A的真假；根据线性回归方程做出的y的值是一个预报值，不是由x唯一确定，故可知B的真假；y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，得到C正确；随机误差不是由于计算不准造成的，故D不正确．
本题考查了线性回归的概念，以及两个变量的线性相关等有关知识，属于中档题．
10. 解：由图表可知，随着x的增大，对应的y值增大，其散点图呈上升趋势，故x与y正相关；
随着u的增大，v减小，其散点图呈下降趋势，故u与v负相关．
故选：D．
由图标直接看出，随着x的增大，对应的y值增大，随着u的增大，v减小，由此可知两组变量的相关性．
本题考查两个变量的相关性，考查读取图标的能力，是基础题．
11. 解：∵回归直线=a+bx，b＜0，
∴两个变量x，y之间是一个负相关的关系，
∴相关系数是一个负数，
∴-1＜r＜0故选D．
根据回归直线=a+bx，b＜0，得到两个变量x，y之间是一个负相关的关系，得到相关系数是一个负数，得到结果．
本题考查线性回归方程和相关系数，本题解题的关键是能够从线性回归方程中的系数看出两个变量之间是一种负相关．
12. 解：∵随机变量ξ服从正态分布N（u，7），P（ξ＜2）=P（ξ＞4），
∴u==3，Dξ=7．
故选：C．
根据随机变量ξ服从正态分布N（u，7），P（ξ＜2）=P（ξ＞4），由正态曲线的对称性得结论．
本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：（1）正态曲线关于直线x=μ对称；（2）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1，本题是一个基础题．
13. 解：因为正态分布总体落在区间（0.2，+∞）的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x=0.2时达到最高点．
故答案为：0.2．
根据正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，可得结论．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，比较基础．
14. 解：由题意，从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，有C93种选法，
再排除其中只选派3名男公务员的方案数为C53=10，
只有女公务员的方案为C43种，
利用间接法可得既有男公务员又有女公务员的选法有C93-C53-C43种，
分别派到西部的三个不同地区共有A33（C93-C53-C43）=420；
故答案为：420．
从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，有C93种选法，再排除其中只选派3名男公务员的方案数为C53=10，只有女公务员的方案为C43种，最后分别派到西部的三个不同地区，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的综合应用，注意当遇到求出现至多或至少这种语言时，一般要用间接法来解，正难则反．
15. 解：随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，
∴=1，
即，解得c=，
∴P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）
===．
故答案为：．
由已知得=1，解得c=，由此能求出P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）==．
本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分布列的合理运用．
16. 解：随机变量ξ～B（16，），Dξ=16×=4，
变量η=5ξ-1，
则Dη=25Dξ=25×4=100．
故答案为：100．
随机变量ξ～B（16，），可得Dξ．由变量η=5ξ-1，可得Dη=25Dξ，即可得出．
本题考查了二项分布的数学期望与方差的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.
（1）（x+）n展开式的二项式系数之和为256，可得2n=256，解得n即可得出．
（2）的通项公式：Tr+1==mrx8-2r，令8-2r=0，解得r即可得出；
（3）的通项公式：Tr+1==mrx8-2r，由于展开式中系数最大项只有第6项和第7项，可得m≠0，T6=m5x-2，T7=m6x-4，令系数相等解出即可得出．
本题考查了二项式定理的应用、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.
（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．
（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．
本题考查离散型随机变量的分布列、期望、独立重复试验的概率等知识，以及利用概率知识分析问题、解决问题的能力．
19.
（Ⅰ）根据所求矩形的面积和为1求出第二组的频率，然后求出高，画出频率直方图，求出第一组的人数和频率从而求出n，由题可知，第二组的频率以及人数，从而求出p的值，然后求出第四组的频率和人数从而求出a的值；
（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人，机变量X服从超几何分布，X的取值可能为0，1，2，3，分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式求出期望即可．
本题主要考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了超几何分布的概念和计算能力，属于中档题．
20.
（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，求出x的值，填表即可；
（2）计算观测值K2，对照数表得出结论；
本题考查了列联表与独立性检验的问题，是基础题
21.
（I）由直线l的参数方程，由y=1+t可得t=2（y-1）代入x=+消去参数t即可得出；由曲线C的极坐标方程ρ=cos（θ-）展开为，化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，利用即可得出曲线C的直角坐标方程．
（II）把直线l的参数方程代入圆的方程可得=0，由于点P（，1）在直线l上，可得|PA||PB|=|t1t2|．
本题考查了把参数方程极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.
（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，
（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．
本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．
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