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- 2021-04-14 发布
第48讲 曲线与方程
考纲要求
考情分析
命题趋势
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
2016·全国卷Ⅰ，20(1)
2016·全国卷Ⅲ，20(2)
2015·湖北卷，20(1)
求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍．
分值：3～5分
1．曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是__这个方程__的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲线上__的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．
2．求曲线方程的基本步骤
1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( √ )
(2)方程x2＋xy＝x表示的曲线是一个点和一条直线．( × )
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( × )
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．( × )
解析 (1)正确．由f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0.所以f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0
上的充要条件．
(2)错误．方程变为x(x＋y－1)＝0，所以x＝0或x＋y－1＝0，故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0.
(3)错误．当以两条互相垂直的直线为x轴，y轴时，是x2＝y2，否则不正确．
(4)错误．因为方程y＝表示的曲线只是方程x＝y2表示的曲线的一部分，故其不正确．
2．到点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c(c≠0)的点的轨迹方程为__2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0__.
解析 设点的坐标为(x，y)，由题意知
()2＋()2＝c，
即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，
即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.
3．MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(－1,0)和B(1,0)的连线，则使∠AMB为直角的动点M的轨迹方程是__x2＋y2＝1(x≠±1)__.
解析 点M在以A，B为直径的圆上，但不能是A，B两点．
4．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为__y2＝8x(x≠0)__.
解析 ＝，＝，
由⊥，得·＝0，
即2x＋·＝0，即y2＝8x.
若x＝0，则y＝0，则A，B，C三点都在x轴上，此时不存在A⊥.
∴动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0)．
5．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是__ ＋＝1(y≠0) __.
解析 设抛物线焦点为F，过A，B，O(O为坐标原点)作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则＋＝2＝4，由抛物线定义得＋＝＋，∴＋＝4，故点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
一 定义法求轨迹方程
应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．
【例1】 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．
解析 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以＋＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2＝.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
二 直接法求轨迹方程
直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略
(1)题中给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．
(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．
【例2】 已知定点A，B，且|AB|＝2a.如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹．
解析 取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)．设P(x，y)，∵＝，即＝2，化简整理得3x2＋3y2－10ax＋3a2＝0，即2＋y2＝a2.动点P的轨迹是以C为圆心，a为半径的圆．
三 相关点法求轨迹方程
相关点法求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)．
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
【例3】 设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于A，B两点(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．
解析 设△ABC的重心为G(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组消y并整理，
得x2－12ax＋16a2＝0，
∴x1＋x2＝12a，y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.
∵G(x，y)为△ABC的重心，
∴∴
又点C(x0，y0)在抛物线上，∴将点C的坐标代入抛物线的方程，得
(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，即2＝(x－4a)．
又点C与A，B不重合，∴x0≠(6±2)a，即3x－12a≠(6±2)a，即x≠a，∴△ABC的重心的轨迹方程为2＝(x－4a).
1．已知点A(－4,4)，B(4,4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率之差为－2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程为__x2＝4y(x≠±4)__.
解析 设M(x，y)，由已知得kAM－kBM＝－＝－2，化简得x2＝4y(x≠±4)．
2．已知圆C的方程为(x－3)2＋y2＝100，点A的坐标为(－3,0)，M为圆C上任一点，线段AM的垂直平分线交CM于点P，则点P的轨迹方程为__ ＋＝1 __.
解析 由题可知C(3,0)，r＝10，由中垂线性质知＝，故＋＝＋＝＝10，即点P的轨迹为以原点为中心，点A，C为焦点的椭圆，2a＝10，c＝3，b＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
3．已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解析 如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
由＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有＝r－1，
由动圆M与圆O2外切，
有＝r＋2，
∴－＝3，
∴点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支，
∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝，
∴点M的轨迹方程为－＝1.
4．设点F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．
解析 设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)．
∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0.∴x0＋y＝0.
由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴即
∴－x＋＝0，即y2＝4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.
错因分析：①要注意参数的取值影响x，y的取值范围；②曲线的方程与方程的曲线要对应．
【例1】 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*，1≤i≤9)．求证：点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求P的轨迹方程．
解析 依题意，过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x＝i，Bi的坐标为(10，i)，
所以直线OBi的方程为y＝x.
设Pi的坐标为(x，y)，由
得y＝x2，即x2＝10y.
所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.
由于i∈[1,9]，所以x∈[0,10]，y∈[0,10]，从而点P的轨迹方程为x2＝10y(x∈[0,10])．
【跟踪训练1】 已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__(x－10)2＋y2＝36(y≠0)__.
解析 设A(x，y)，则D，∴|CD|＝＝3，化简得(x－10)2＋y2＝36.由于A，B，C三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0.
课时达标 第48讲
[解密考纲]求曲线的轨迹方程，要注意定义法或直接法，这类题型一般在解答题的第(1)问中出现．
一、选择题
1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( D )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析 依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．
2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是( B )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析 设P(x，y)，则＝2，
整理得x2＋y2－4x＝0，
又D2＋E2－4F＝16>0，所以动点P的轨迹是圆．
3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，点Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是( D )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析 设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得点Q的轨迹方程为2x－y＋5＝0.
4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，点A(1,0)是圆内一定点，点Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与 CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为( D )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
解析 ∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，
故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆，
∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是( A )
A．x2＋3y2＝1(x>0，y>0) B.x2－3y2＝1(x>0，y>0)
C．3x2－y2＝1(x>0，y>0) D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)
解析 设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2，
得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0，点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x
，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．
6．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( B )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 ∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，∴e＝2或e＝，mx2＋4y2＝4m可化为＋＝1，当它表示焦点在x轴上的椭圆时，有＝，∴m＝3；当它表示焦点在y轴上的椭圆时，有＝，∴m＝；当它表示焦点在x轴上的双曲线时，可化为－＝1，有＝2，∴m＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个．故选B.
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足O＝O＋t(O－O)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是__2x－y－2＝0__.
解析 设 C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t，得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
8．(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为__ (x＋1)2＋(y－)2＝1 __.
解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1,0)，所以＝(－1,0)，＝(1，－a)，由题意得与A的夹角为120°，得cos 120°＝＝－，解得a＝，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
9．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足O＝＋，则动点Q的轨迹方程是__ ＋＝1 __.
解析 作P关于O的对称点M，连结F1M，F2M，
则四边形F1PF2M为平行四边形，
所以＋＝＝2＝－2.
又＝＋，所以＝－.
设Q(x，y)，则＝，
即点P坐标为，
又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
三、解答题
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)，点B在直线l1：y＝－1上，点M满足 ∥，·＝·，求点M的轨迹方程．
解析 设M(x，y)，由∥得B(x，－1)．又A(0,1)，则＝(－x，1－y)，＝(0，－1－y)，＝(x，－2)．由·＝·，得(＋)·＝0，代入坐标即(－x，－2y)·(x，－2)＝0⇒x2＝4y，所以点M的轨迹方程为x2＝4y.
11．F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，求垂足Q的轨迹方程．
解析 从焦点F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线段，延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，则|PF1|＝|AP|，在椭圆中，|PF1|＋|PF2|＝2a，即|AP|＋|PF2|＝|AF2|＝2a，则|OQ|＝|AF2|＝a.因为|OQ|＝a，满足圆的定义，所以Q的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
12．从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．
解析 设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，由线段QN的中点为P，得点N的坐标为(2x－x1,2y－y1)．
又点N在直线x＋y＝2上，则2x－x1＋2y－y1＝2. ①
又因为PQ垂直于直线x＋y＝2，所以＝1，
即x－y＋y1－x1＝0.②
由①②两式联立解得 ③
又点Q在双曲线x2－y2＝1上，所以x－y＝1. ④
将③式代入④式得动点P的轨迹方程是2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.