2021届高考数学一轮复习专题五圆锥曲线的综合及应用问题第1课时课件 28页

专题五 圆锥曲线的综合及应用问题 第 1 课时 题型 1 利用圆 锥曲线的方程性质求最值、范围问题 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法： (1) 两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关 的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些 元素存在最值时与之相关的一些问题 . (2) 两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显 体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法， 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立 起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、 配方法及导数法求解 . (3) 两点防范：①求范围问题要注意变量自身的范围 . ② 利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯 一”的不等价关系，注意特殊关系，特殊位置的应用 . 解析： 设左焦点为 F 1 ， | PF | － | PF 1 | ＝ 2 a ＝ 2 ， ∴| PF | ＝ 2 ＋ | PF 1 | ，△ APF 的周长为 | AF | ＋ | AP | ＋ | PF | ＝ | AF | ＋ | AP | ＋ 2 ＋ | PF 1 |. △ APF 周长最小即为 | AP | ＋ | PF 1 | 最小，当 A ， P ， F 1 在一条 直线上时最小， 圆上任一点，点 M 的坐标为 (6,4) ，则 | PM | ＋ | PF 1 | 的最大值为 ________. 解析： ∵ | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 10 ，∴ | PF 1 | ＝ 10 － | PF 2 |. ∴| PM | ＋ | PF 1 | ＝ 10 ＋ | PM | － | PF 2 |. 易知点 M 在椭圆外，连接 MF 2 ，并延长交椭圆于点 P ，此时 | PM | － | PF 2 | 取最大值 | MF 2 | ，故 答案： 15 F 1 ， F 2 . 若点 P 在双曲线上，且△ F 1 PF 2 为锐角三角形，则 | PF 1 | ＋ | PF 2 | 的取值范围是 ________. 【 规律方法 】 先由对称性可设点 P 在右支上，进而可得 | PF 1 | 和 | PF 2 | ，再由△ F 1 PF 2 为锐角三角形可得 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 > | F 1 F 2 | 2 ， 进而可得 x 的不等式，解不等式可得 | PF 1 | ＋ | PF 2 | 的取值范围 . 答案： C ∴ 当 m ＝ 5 时，点 B 横坐标的绝对值最大，最大值为 2. 答案： 5 (6)(2018 年福建福州质检 ) 如图 5-1 ，直线 y ＝ m 与抛物线 y 2 ＝ 4 x 交于点 A ，与圆 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4 的实线部分交于点 B ， F ) 为抛物线的焦点，则三角形 ABF 的周长的取值范围是 ( 图 5-1 A.(2,4) C.[2,4] B.(4,6) D.[4,6] 解析： 设 B ( x B ， y B ) ，则 1≤ x B ≤3. ∵ 可以构成三角形 ABF ，∴ 1< x B <3. ∵ 圆的半径 | BF | ＝ 2 ， 抛物线的准线方程为 x ＝－ 1 ， 利用抛物线定义， | AF | 等于点 A 到直线 x ＝－ 1 的距离 d ， ∴ 三角形 ABF 的周长 l ＝ | AF | ＋ | AB | ＋ | BF | ＝ | AF | ＋ | AB | ＋ 2 ＝ d ＋ | AB | ＋ 2 ＝ x B － ( － 1) ＋ 2 ＝ x B ＋ 3 ，故 4< l <6. 答案： B 题型 2 利用基本不等式 ( 或导数 ) 求最值、范围问题 例 2 ： (20 16 年新课标 Ⅰ ) 设圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 15 ＝ 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B (1,0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C ， D 两点， 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . (1) 求证 | EA | ＋ | EB | 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2) 设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M ， N 两点， 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . 解： (1)∵| AD | ＝ | AC | ， EB ∥ AC ， ∴∠ EBD ＝∠ ACD ＝∠ ADC . ∴| EB | ＝ | ED |. 故 | EA | ＋ | EB | ＝ | EA | ＋ | ED | ＝ | AD |. 又圆 A 的标准方程为 ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ 16 ， 从而 | AD | ＝ 4 ，∴ | EA | ＋ | EB | ＝ 4. 由题设，得 A ( － 1,0) ， B (1,0) ， | AB | ＝ 2. 【 规律方法 】 (1) 求参数范围的问题，牢记 “先找不等式， 有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要 求的量” . 不等式的来源可以是 Δ >0 或圆锥曲线的有界性或是 题目条件中的某个量的取值范围 . (2) 求最值的问题，牢记 “转化为只含一个变量的目标 函 数，确定变量的取值范围 ” 或 “ 考虑几何意义 ” . 例 3 ： (20 19 年浙江 ) 如图 5-2 ，已知点 F (1,0) 为抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A ， B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴 于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧 记 . AFG ，△ CQG 的面积为 S 1 ， S 2 . 图 5-2 (1) 求 p 的值及抛物 线的准线方程； 【 跟踪训练 】 的两个焦点， P 为 C 上一点， O 为坐标原点 . (1) 若△ POF 2 为等边三角形，求 C 的离心率； (2) 如果存在点 P ，使得 PF 1 ⊥ PF 2 ，且△ F 1 PF 2 的面积等于 16 ，求 b 的值和 a 的取值范围 .