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- 2021-04-14 发布
攀枝花市第十二中学校2018-2019学年度上期高2020届半期考试
数学（理）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A. B． C. D．
2．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B．07 C．02 D．01
3．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
概率P
其中污染指数时，空气质量为优；，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染；空气质量为中度污染．该城市2017年空气质量达到良或优的概率为( )
A. B． C. D．
4．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )
A．3 B．－6
C．10 D．－15
5．甲、乙两位同学连续五次物理考试成绩用茎叶图表示
如图所示，甲、乙两人这五次考试的平均数分别为
；方差分别是，则有( )
A． B．
C． D．
6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A. B. C．1 D.
7．某校高三年级共有学生900人，编号为1,2,3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间[481,720]的人数为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
8.过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，( )
A. B． C. D．
9．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则方程组只有一个解的概率为( )
A. B． C. D．
10.如图，已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的
一点，， (为原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
11．设的展开式中各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中的系数为( )
A．－150 B．150 C．300 D．－300
12．若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X表示1次投篮的命中次数，
则________．
14．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
15.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有________个(用数字作答)．
16．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为
A，B，线段MN的中点在C上，则 .．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
攀枝花统计局就本地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画出了样本的频率分布
直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在)．
（1）求居民月收入在的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的
关系，必须按月收入再从这人中用分层
抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入
在的这段应抽多少人？
18．（12分）
攀钢某设备的使用年限 (年)和所支出的年平均维修费用
(万元)(即维修费用之和除以使用年限)，有如下的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
由资料知，年平均维修费用与使用年限之间呈线性相关关系。
（1）求回归方程；
（2）估计使用年限为年时所支出的年平均维修费用是多少？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
19．（12分）
袋中有个红球、个黑球，随机取球，设取到一个红球得分，取到一个黑球得分，从袋中任取个球．
（1）求得分X的分布列；
（2）求得分大于分的概率
20.（12分）
已知以点为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程.
（2）设点在圆上，求的面积的最大值.
21.（12分）
已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点．
（1）若直线的倾斜角为，求的值；
（2）若，求线段的中点到准线的距离．
22.（12分）
已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上有不同的三点，且,成等差数列。
（1）求弦的中点的横坐标
（2）设弦的垂直平分线的方程为，求的取值范围.
攀枝花市第十二中学校2018-2019学年度上期高2020届半期考试数学（理）参考答案
1．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A. B．
C. D．
【解析】 从A，B中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率为＝.
【答案】 C
2．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A. 08 B．07 C．02 D．01
【解析】从选定的两位数字开始向右读，剔除不合题意及与前面重复的编号，得到符合题意的编号分别为08，02，14，07，01，…，因此选出来的第5个个体的编号为01.
【答案】 D
3．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
概率P
其中污染指数时，空气质量为优；，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染；空气质量为中度污染．该城市2017年空气质量达到良或优的概率为( )
A. B． C. D．
【解析】 所求概率为＋＋＝.故选A.
【答案】 A
4．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )
A．3 B．－6
C．10 D．－15
【解析】选D 第一次执行程序，得到S＝0－12＝－1，i＝2；
第二次执行程序，得到S＝－1＋22＝3，i＝3；
第三次执行程序，得到S＝3－32＝－6，i＝4；
第四次执行程序，得到S＝－6＋42＝10，i＝5；
第五次执行程序，得到S＝10－52＝－15，i＝6，
到此结束循环，输出的S＝－15.
【答案】 D
5．甲、乙两位同学连续五次物理考试成绩用茎叶图表示
如图所示，甲、乙两人这五次考试的平均数分别为
；方差分别是，则有( )
A． B．
C． D．
【解析】 观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系，或者通过公式计算比较．
甲＝70，乙＝68，s＝×(22＋12＋12＋22)＝2，s＝×(52＋12＋12＋32)＝7.2.
【答案】 B
6．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B.
C．1 D.
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B.
【答案】 B
7．某校高三年级共有学生900人，编号为1,2,3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间[481,720]的人数为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
【解析】 样本组距为＝20，即每20人中抽取一人，
故在区间[481,720]的人数为＝12。
【答案】C
8.过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，( )
A. B． C. D．
【答案】 A
9．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组只有一个解的概率为( )
A. B．
C. D．
【解析】 点(a，b)取值的集合共有36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即≠，即b≠2a，而满足b＝2a的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故方程组只有一个解的概率为＝.
【答案】 B
10．如图，已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是( )
图1
A. B.
C. D.
【解析】 因为PF⊥x轴，所以P.
又OP∥AB，所以＝，即b＝c.
于是b2＝c2，
即a2＝2c2，所以e＝＝.
【答案】 A
11．设的展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为( )
A．－150 B．150 C．300 D．－300
【解析】 令x＝1，得M＝4n，又N＝2n，故4n－2n＝240，解得n＝4.展开式中的通项为
Tr＋1＝C(5x)4－r
＝(－1)r54－rCx4－r，令4－r＝1得r＝2，所以当r＝2时，展开式中x的系数为(－1)2·C·52＝150.
【答案】B
12．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C. D.
【解析】 因为双曲线左焦点的坐标为F(－2，0)，
所以c＝2.
所以c2＝a2＋b2＝a2＋1，
即4＝a2＋1，解得a＝.
设P(x，y)，则·＝x(x＋2)＋y2，
因为点P在双曲线－y2＝1上，
所以·＝x2＋2x－1＝－－1.
又因为点P在双曲线的右支上，所以x≥.
所以当x＝时，·最小，且为3＋2，
即·的取值范围是[3＋2，＋∞)．
【答案】 B
二、填空题：
13．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X表示1次投篮的命中次数，则P(X＝1)＝________．
【解析】设不命中的概率为p，则命中的概率为3p，
有p＋3p＝1，
即p＝.p(X＝1)是1次投篮中命中的概率，即投篮命中率．
【答案】：
14．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
【解析】 记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝＝.
记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝－P(A)＝－＝.
故P(B)＝1－P(B)＝1－＝.
【答案】
15．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有________个(用数字作答)．
【解析】数字2和3相邻的偶数有两种情况．第一种情况，当数字2在个位上时，则3必定在十位上，此时这样的五位数共有6个；第二种情况，当数字4在个位上时，且2，3必须相邻，此时满足要求的五位数有AA＝12(个)，则一共有6＋12＝18(个)．
【答案】：18
16.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .
【解析】
,则
；由于，化简可得，根据椭圆的定义==6，所以12.
【答案】12
三、解答题：
17．攀枝花统计局就本地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在)．
(1)求居民月收入在的频率；
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这人中用分层抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？
【解】(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为
0．000 3×(3 500－3 000)＝0.15.
(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，
0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，
0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，
0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.
∴样本数据的中位数为
2 000＋＝2 000＋400＝2 400(元)．
(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为
0．000 5×(3 000－2 500)＝0.25，
所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)，
再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×＝25(人)．
18．攀钢某设备的使用年限x(年)和所支出的年平均维修费用y(万元)(即维修费用之和除以使用年限)，有如下的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
由资料知，年平均维修费用y与使用年限x之间呈线性相关关系。
（1）求回归方程=x+；
(2)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少？
【解析】( (1) 由题表数据可得，x＝4，y＝5，xiyi＝112.3，x＝90，由公式可得＝＝1.23，＝y－＝5－1.23×4＝0.08.即回归方程是＝1.23x＋0.08.
(4)由(3)知，当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)．
故估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是12.38万元．
19．袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
【解析】 (1)从袋中随机摸4个球的情况为
1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红．
分别得分为5分，6分，7分，8分．
故X的可能取值为5,6,7,8.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝.
故所求分布列为
X
5
6
7
8
P
(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
20.已知以点C为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，且圆心在直线x+3y-15=0上.
(1)求圆C的方程.
(2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值.
【解析】(1)依题意知所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y-15=0的交点，
因为AB中点为(1，2)，斜率为1，
所以AB垂直平分线方程为y-2=-(x-1)，
即y=-x+3.
联立解得即圆心为(-3，6)，半径r==2，
所以所求圆的方程为(x+3)2+(y-6)2=40.
(2)|AB|==4，圆心到AB的距离为d=4，P到AB距离的最大值为d+r=4+2，
所以△PAB面积的最大值为×4×(4+2)=16+8.
21．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
【解析】(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.
22.已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上有不同的三点，且,成等差数列。
（1）求弦的中点的横坐标
（2）设弦的垂直平分线的方程为，求的取值范围.
【解析】由题意知，，设，由焦半径公式，得
，因为成等差数列，所以
，由此有，所以弦的中点的横坐标
（2）将代入，故
则，又
将分别带入椭圆方程，两式相减得
所以，，点.
又由点在椭圆内，故，
解得