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- 2021-04-14 发布
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四川省成都市东辰国际学校2019——2020学年上学期
高一数学(上)第一学年10月月考试卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合且,则m的个数是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件,且,确定集合的元素m.
【详解】m是自然数,也是自然数,故m可以是,
N代表的是自然数集.,集合中有0.故选D.
【点睛】本题主要考查集合元素的确定,是基础题.
2.下列函数中图象完全相同的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】
求出A中两个函数的值域判断出A不是同一个函数;通过化简函数判断出两个函数的定义域、对应法则、值域都相同得到B是同一个函数;求出C两个函数的定义域判断出C不是同一个函数;求出D两个函数的定义域判断出D不是同一个函数;
【详解】选项A前后定义域一样,;对应关系与不一样,排除A.
选项C前面函数定义域和后面函数定义域,前后定义域不一样,排除C.
选项D前面函数定义域和后面函数定义域或,前后定义域不一样,排除D.
B前面函数定义域;后面函数定义域,对应关系一样.故正确答案是B.
两个函数相同分两步:第一,看定义域是否相同;第二,看对应关系是否一样.
故选B.
【点睛】本题考查判断两个函数是否为同一个函数应该通过函数的定义域、对应法则、值域,属于基础题.
3.设为定义在上偶函数,且在上为增函数,则,,的大小顺序是( ).
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
由题,设为定义在上的偶函数,且在上为增函数,故与的距离越远,函数值越大,
所以.
故选.
4.已知函数f(x)=x+1,xR,则下列各式成立的是
A. f(x)+f(-x)=2 B. f(x)f(-x)=2
C. f(x)=f(-x) D. –f(x)=f(-x)
【答案】A
【解析】
f(-x)=-x+1,由此可知f(x)+f(-x)=2.
5.设全集为R,若,,则是( )
A. B. 或
C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,结合补集的意义,可得与,进而由并集的意义,计算可得答案.
【详解】,.
或.
故选B.
【点睛】本题考查补集、并集的计算,要注意的运算的顺序,先求补集,再求并集,是基础题.
6.已知集合,,若,,则与集合M,N的关系是( )
A. 但 B. 但
C. 且 D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】
设,整理可得,由此可知但.
【详解】解:设,
则,
但,
故选B.
【点睛】本题考查元素和集合的关系,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
7.设函数,则的值为( )
A. B.
C. 中较小的数 D. 中较大的数
【答案】C
【解析】
【详解】∵函数
∴当时,;
当时,;
∴的值为a,b中较小的数
故选C
8.已知矩形的周长为1,它的面积S与矩形的一条边长x之间的函数关系中,定义域为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由矩形的长x求出宽,写出矩形的面积y,求出长x的取值范围.
【详解】解:∵矩形的周长为1,设矩形的长为x时,矩形的宽为,
,解得:,
故选B
【点睛】本题考查了利用函数模型求函数的定义域的应用问题,是基础题.
9.已知函数在上最大值是3,最小值是2,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出函数的最小,正好为了说明包含对称轴,当时,根据对称性可知当时,结合二次函数的图象可求出a的范围.
【详解】解:∵函数是开口向上的抛物线,对称轴,
当时函数取得最小值,
∵在上最小值为2,;
当时,函数在上增函数,
当时,
当时,
∵函数在上最大值为3,
∴,
综上所述.
故选C.
【点睛】二次函数是最常见的函数模型之一,也是最熟悉的函数模型,解决此类问题要充分利用二次函数的性质和图象
10.已知函数是R上的偶函数,且在上是减函数,若,则实数a的取值范围是( )
A. B. 或 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先确定函数在区间上是增函数,由,可得,即可求实数a的取值范围
【详解】解:∵函数是R上的偶函数,且在区间上是减函数,
∴函数在区间上是增函数
∵,
∴,
∴或
故选B.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的结合,考查学生分析解决问题的能力,确定函数在区间上是增函数是解题的关键.
11.如图中的图象所表示的函数的解析式为( )
A.
B.
C
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分段求解:分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可.
【详解】当0≤x≤1时,设f(x)=kx,由图象过点(1,),得k=,所以此时f(x)=x;
当1≤x≤2时,设f(x)=mx+n,由图象过点(1,),(2,0),得,解得 所以此时f(x)=.函数表达式可转化为:y= |x-1|(0≤x≤2)
故答案为B
【点睛】本题考查函数解析式的求解问题,本题根据图象可知该函数为分段函数,分两段用待定系数法求得.
12.设函数则实数的取值范围是( )
A. B. C. D. (0,1)
【答案】B
【解析】
因为根据已知解析式可知需要对a<0,与a0,分情况讨论,得到a<0,;当a0,(舍去),综上可知满足题意的解集为,故选B
二、填空题。
13.已知函数,则 .
【答案】
【解析】
【详解】解:因为、所以所求解的结论为
14.设,与是的子集,若,则称为一个“理想配集”,那么符合此条件的“理想配集”的个数是________.(规定与是两个不同的“理想配集”)
【答案】9
【解析】
【分析】
由题意知,子集A和B不可以互换,即视为不同选法,从而对子集A分类讨论,当A是二元集或三元集或是四元集,B相应的有4种:二元集或三元集或是四元集,根据计数原理得到结论.
【详解】解:对子集A分类讨论:
当A是二元集{2,3},B可以为{1,2,3,4},{2,3,4},{1,2,3},{2,3},共四种结果
A是三元集{1,2,3}时,B可以取 {2,3,4},{2,3},共2种结果
A是三元集{2,3,4}时,B可以为{1,2,3},{2,3},共2种结果
当A是四元集{1,2,3,4},此时B取{2,3},有1种结果,
根据计数原理知共有4+2+2+1=9种结果
故答案为9.
【点睛】题意的理解是一个难点,另外分类点比较多也是制约思维的一个瓶颈.本题考查集合的子集及利用计数原理知识解决实际问题,考查分析问题与解决问题的能力.
15.若关于的不等式对一切实数恒成立,则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
当时,不等式等价于恒成立,符合;
当时,由关于的一元二次不等式对一切实数恒成立可得
,解得
综上可得,
16.设函数的定义域为,若存在非零实数使得对于任意,有,且f(x+l)≥f(x),则称为上的高调函数.
(1)如果定义域是的函数为上的高调函数,那么实数的取值范围是__
(2)如果定义域为的函数是奇函数,当x≥0时,,且为上的高调函数,那么实数的取值范围是__________.
【答案】 (1). (2). [-1,1]
【解析】
【详解】(1)函数为上的高调函数,首先,时,所以.同时有对任意恒成立;即对恒成立,也就是对恒成立.又,只需在恒成立,故,所以实数的取值范围是.
(2)时,,又函数式定义在R 上的奇函数,所以其图像如图:
是由向左平移4个单位得到的;所以,
解得,故实数的取值范围是[-1,1]
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知,且,或,
求:(1);
(2);
(3).
【答案】(1)或;(2)或;(3)
【解析】
【分析】
由题意画出数轴,结合数轴做题,
(1)由集合的交集运算求出;
(2)由补集的运算求出,再由交集运算求出;
(3)由并集的运算求出,再由补集的运算求出.
【详解】解:由题意画出数轴:
(1)或,
(2),∴或,
或
(3)或,
.
【点睛】本题考查了集合的交集、并集和补集的混合运算,需要借助于数轴解答,考查了数形结合思想.
18.设
(1)讨论的奇偶性;
(2)判断函数在上的单调性并用定义证明.
【答案】(1)奇函数(2)在上是增函数,证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)分别确定函数的定义域和与的关系即可确定函数的奇偶性;
(2),且,通过讨论符号决定与的大小,据此即可得到函数的单调性.
【详解】(1)的定义域为,,是奇函数.
(2),且,
∵,,
, .
在上是增函数.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,函数的单调性的证明等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.已知函数在区间上有最小值-2,求实数a 的值
【答案】
【解析】
【详解】解: (1)当,即,函数在区间上是增函数,此时,
的最小值为,不符题意,舍去
(2)当即,函数函数在区间上是减函数, 的最小值为与矛盾;舍去
(3),即时,的最小值为 符合题意
20.若是定义在上的增函数,且对一切,满足.
(1)求的值;
(2)若,解不等式.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)利用赋值法直接求解即可;(2)利用已知条件,结合函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式,求解即可.
【详解】(1)在中,
令,得,∴.
(2)∵,
∴,
∴,
即,
∵是上的增函数,
∴,解得.
故不等式的解集为.
【点睛】本题考查抽象函数的应用,函数的单调性以及赋值法的应用,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.
21.已知函数是定义在上的增函数,且满足,.
(1)求;
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)3 (2)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用已知条件,直接通过f(8)=f(4)+f(2),f(4)=f(2)+f(2)求解f(8);(Ⅱ)利用已知条件转化不等式f(x)+f(x-2)>3为不等式组,即可求解不等式的解集
试题解析:(1)由题意可得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=3f(2)="3"
(2)原不等式可化为f(x)>f(x-2)+3=f(x-2)+f(8)=f(8x-16)
∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数
∴
解得:
考点:抽象函数及其应用,函数的单调性的应用
22.记函数的定义域为D,若存在,使成立,则称以为坐标的点是函数的图象上的“稳定点”.
(1)若函数的图象上有且只有两个相异的“稳定点”,试求实数a的取值范围;
(2)已知定义在实数集R上的奇函数存在有限个“稳定点”,求证:必有奇数个“稳定点”.
【答案】(1) 或且.(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)设是函数的图象上的两个“稳定点”,由定义可得,所以是方程的两相异实根且不等于−a,由此可得关于a的不等式组,解出即可;
(2)由为R上的奇函数可判断原点(0,0)是函数的“稳定点”,只要再说明除原点外“稳定点”成对出现即可;
【详解】解:(1)设是函数的图象上的两个“稳定点”,
则,即有
是有两个不相等的实数根且不等于,
,解得或且.
(2)据题意得:是定义在实数集R上的奇函数.
①是奇函数,;所以必是函数的图像上的“稳定点”;
②若,是函数的图像上的“稳定点”;是奇函数,必有,故也是函数的图像上的“稳定点”;也就是说和是成对出现的.
综上所述:必有奇数个“稳定点”.
【点睛】本题以新定义为切入点,主要考查了二次方程的根的个数问题、奇函数性质等知识的综合应用,考查学生分析解决新问题的能力.