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- 2021-04-14 发布
第 4 讲 简单的三角恒等变换
1．公式的常见变形
(1)1＋cos α＝2cos2α
2；
1－cos α＝2sin2α
2．
(2)1＋sin α＝(sinα
2＋cosα
2)2
；
1－sin α＝(sinα
2－cosα
2)2
.
(3)tanα
2＝
sin α
1＋cos α＝1－cos α
sin α .
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(φ 为辅助角)，其中 sin φ＝ b
a2＋b2，cos φ＝ a
a2＋b2.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝3sin x＋4cos x 的最大值是 7.( )
(2)设 α∈(π，2π)，则 1－cos(π＋α)
2 ＝sinα
2.( )
(3)在非直角三角形中有：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan
C． ( )
(4)设5π
2 ＜θ＜3π，且|cos θ|＝1
5，那么 sin θ
2的值为 15
5 .( )
(5)公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)中 φ 的取值与 a，b 的值无关．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
已知 cos α＝1
3，α∈(π，2π)，则 cos α
2等于( )
A． 6
3 B．－ 6
3
C． 3
3 D．－ 3
3
解析：选 B．由 cos α＝1
3，得 2cos2α
2－1＝1
3，即 cos2α
2＝2
3.
又因为 α∈(π，2π)，所以α
2∈(π
2，π )，
所以 cosα
2＜0，故 cosα
2＝－ 6
3 .
计算： 1－cos210°
cos 80° 1－cos 20°
＝( )
A． 2
2 B．1
2
C． 3
2 D．－ 2
2
解析：选 A． 1－cos210°
cos 80° 1－cos 20°
＝
sin210°
sin 10° 1－(1－2sin210°)
＝
sin210°
2sin210°
＝ 2
2 .
3sin 15°＋cos 15°＝________．
解析： 3sin 15°＋cos 15°
＝2( 3
2 sin 15°＋1
2cos 15°)
＝2(sin 15°cos 30°＋cos 15°sin 30°)
＝2sin(15°＋30°)＝ 2.
答案： 2
已知 3π＜θ＜7π
2 ，且 sin θ＝－3
5，则 tan θ
2的值等于________．
解析：因为 sin θ＝－3
5，且 3π＜θ＜7
2π，所以 cos θ＝－4
5，
所以 tan θ
2＝
sinθ
2
cos θ
2
＝
2sin2θ
2
2sin θ
2cosθ
2
＝1－cos θ
sin θ ＝
1－(－4
5 )
－3
5
＝－3.
答案：－3
三角函数式的化简
[典例引领]
(1)已知 0＜θ＜π，
则
(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ
2－cos θ
2)
2＋2cos θ
＝________．
(2)化简：
2cos4x－2cos2x＋1
2
2tan(π
4－x )sin2(π
4＋x )
＝________.
【解析】 (1)原式＝
(2sin θ
2cos θ
2＋2cos2θ
2)(sin θ
2－cos θ
2)
4cos2θ
2
＝
cos θ
2(sin2 θ
2－cos2θ
2)
|cos θ
2|
＝
－cos θ
2·cos θ
|cos θ
2|
.
因为 0<θ<π，所以 0<θ
2<π
2，所以 cos θ
2>0.
所以原式＝－cos θ.
(2)原式＝
－2sin2xcos2x＋1
2
2sin(π
4－x )cos2(π
4－x )
cos(π
4－x )
＝
1
2(1－sin22x)
2sin(π
4－x )cos(π
4－x )
＝
1
2cos22x
sin(π
2－2x)
＝1
2cos 2x.
【答案】 (1)－cos θ (2)1
2cos 2x
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(2)三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函
数式时，一般需要升次．
[通关练习]
1．化简：(sin 2α＋cos 2α－1)(sin 2α－cos 2α＋1)
sin 4α ＝________．
解析：(sin 2α＋cos 2α－1)(sin 2α－cos 2α＋1)
sin 4α
＝
sin22α－(cos 2α－1)2
2sin 2α·cos 2α ＝
sin22α－cos22α＋2cos 2α－1
2sin 2α·cos 2α
＝
－2cos22α＋2cos 2α
2sin 2α·cos 2α ＝1－cos 2α
sin 2α ＝ 2sin2α
2sin αcos α
＝
sin α
cos α＝tan α.
答案：tan α
2．化简：( 1
tan α
2
－tan α
2)·(1＋tan α·tan α
2)＝________．
解析：原式＝(cos α
2
sin α
2
－
sin α
2
cos α
2)·(1＋sin α
cos α·
sin α
2
cos α
2)
＝
cos2α
2－sin2α
2
sin α
2cos α
2
·
cos αcos α
2＋sin αsin α
2
cos αcos α
2
＝2cos α
sin α ·
cos α
2
cos αcos α
2
＝ 2
sin α.
答案： 2
sin α
三角函数式的求值(高频考点)
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函
数名称的变换特点，选择合适的公式求解．主要命题角度有：
(1)给值求值；
(2)给角求值；
(3)给值求角．
[典例引领]
角度一 给值求值
若 α 、 β 是 锐 角 ， 且 sin α － sin β ＝ －1
2， cos α － cos β ＝1
2， 则 tan(α － β) ＝
________．
【解析】 因为 sin α－sin β＝－1
2，cos α－cos β＝1
2，
两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝1
2，
即 2－2cos(α－β)＝1
2，
所以 cos(α－β)＝3
4，
因为 α、β 是锐角，
且 sin α－sin β＝－1
2＜0，
所以 0＜α＜β＜π
2.
所以－π
2＜α－β＜0.
所以 sin(α－β)＝－ 1－cos2(α－β)＝－ 7
4 .
所以 tan(α－β)＝
sin(α－β)
cos(α－β)＝－ 7
3 .
【答案】 － 7
3
角度二 给角求值
sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________.
【解析】 sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)
＝sin 50°·
cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°
cos 60°cos 10°
＝sin 50°·
cos(60°－10°)
cos 60°cos 10°
＝2sin 50°cos 50°
cos 10° ＝
sin 100°
cos 10° ＝
cos 10°
cos 10°＝1.
【答案】 1
角度三 给值求角
(1)设 α，β 为钝角，且 sin α＝ 5
5 ，cos β＝－3 10
10 ，则 α＋β 的值为( )
A．3π
4 B．5π
4
C．7π
4 D．5π
4 或7π
4
(2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝1
2，tan β＝－1
7，则 2α－β 的值为________．
【解析】 (1)因为 α，β 为钝角，sin α＝ 5
5 ，cos β＝－3 10
10 ，
所以 cos α＝－2 5
5 ，sin β＝ 10
10 ，
所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 2
2 >0.
又 α＋β∈(π，2π)，
所以 α＋β＝7π
4 .
(2)因为 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
tan(α－β)＋tan β
1－tan(α－β)tan β＝
1
2－1
7
1＋1
2 × 1
7
＝1
3>0，
所以 0<α<π
2，
又因为 tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α＝
2 × 1
3
1－(1
3 )2
＝3
4>0，所以 0<2α<π
2，
所以 tan(2α－β)＝
tan 2α－tan β
1＋tan 2αtan β＝
3
4＋1
7
1－3
4 × 1
7
＝1.
因为 tan β＝－1
7<0，所以π
2<β<π，－π<2α－β<0，
所以 2α－β＝－3π
4 .
【答案】 (1)C (2)－3π
4
三角函数求值的三种情况
(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察
非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角
并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题
关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，
确定角．
[通关练习]
1．若1＋sin αcos α－cos2α
cos 2α ＝2，则 tan(π
4－2α)＝( )
A．－ 7
17 B． 7
17
C． 5
12 D．－ 5
12
解析：选 A．因为1＋sin αcos α－cos2α
cos 2α ＝2，所以
sin2α＋sin αcos α
cos2α－sin2α ＝2，
即
sin α
cos α－sin α＝
tan α
1－tan α＝2，所以 tan α＝2
3，所以 tan 2α＝2tan α
1－tan2α＝
2 × 2
3
1－(f(2,3))2
＝12
5 ，
所以 tan(π
4－2α)＝
tan π
4－tan 2α
1＋tan π
4tan 2α
＝
1－12
5
1＋12
5
＝－ 7
17，故选 A．
2．已知 sin α＝ 5
5 ，sin(α－β)＝－ 10
10 ，α，β 均为锐角，则角 β 等于________．
解析：因为 α，β 均为锐角，所以－π
2<α－β<π
2.
又 sin(α－β)＝－ 10
10 ，所以 cos(α－β)＝3 10
10 .
又 sin α＝ 5
5 ，所以 cos α＝2 5
5 ，
所以 sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝ 5
5 ×3 10
10 －2 5
5 ×(－ 10
10 )＝ 2
2 .
所以 β＝π
4.
答案：π
4
三角恒等变换的应用
[典例引领]
(2017·高考浙江卷)已知函数 f(x)＝sin2x－cos2x－2 3sin xcos x(x∈R)．
(1)求 f (2π
3 )的值；
(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【解】 (1)由 sin 2π
3 ＝ 3
2 ，cos 2π
3 ＝－1
2，
f(2π
3 )＝( 3
2 )2
－(－1
2 )2
－2 3× 3
2 ×(－1
2 )，
得 f(2π
3 )＝2.
(2)由 cos 2x＝cos2x－sin2x 与 sin 2x＝2sin xcos x 得
f(x)＝－cos 2x－ 3sin 2x＝－2sin(2x＋π
6).
所以 f(x)的最小正周期是 π.
由正弦函数的性质得π
2＋2kπ≤2x＋π
6≤3π
2 ＋2kπ，k∈Z，解得π
6＋kπ≤x≤2π
3 ＋kπ，k∈Z，
所以，f(x)的单调递增区间是[π
6＋kπ，
2π
3 ＋kπ](k∈Z)．
三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注
意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如 y＝asin x＋bcos x 化为 y＝ a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调
性、最值与对称性．
[通关练习]
已知函数 f(x)＝sin2 x－sin2(x－π
6 )，x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在区间[－π
3，π
4]上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有 f(x)＝1－cos 2x
2 －
1－cos(2x－π
3)
2
＝1
2(1
2cos 2x＋ 3
2 sin 2x)－1
2cos 2x
＝ 3
4 sin 2x－1
4cos 2x＝1
2sin(2x－π
6).
所以 f(x)的最小正周期 T＝2π
2 ＝π.
(2)因为 f(x)在区间[－π
3，－π
6]上是减函数，在区间[－π
6，π
4]上是增函数．且 f(－π
3 )＝－
1
4，f(－π
6 )＝－1
2，f(π
4 )＝ 3
4 ，所以 f(x)在区间[－π
3，π
4]上的最大值为 3
4 ，最小值为－1
2.
三角恒等变换主要有四变
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其方法通常是“配凑”．
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有切化弦、正弦与
余弦互化等．
(3)变幂：通过“升幂与降幂”，把三角函数式的各项变成同次，目的是有利于应用公
式．
(4)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其
方法通常有：常值代换、逆用或变用公式、通分与约分、分解与组合、配方与平方等．
应用 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的两个步骤
第一步：提因式 a2＋b2.即 asin x＋bcos x＝ a2＋b2·( a
a2＋b2sin x＋ b
a2＋b2·cos x).
第二步：寻角度 φ.使得 cos φ＝ a
a2＋b2，sin φ＝ b
a2＋b2同时成立．即 asin x＋bcos x＝
a2＋b2(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝ a2＋b2sin(x＋φ)．
[注意] 根据具体情况，有时取 sin φ＝ a
a2＋b2与 cos φ＝ b
a2＋b2同时成立，asin x＋bcos
x＝ a2＋b2cos(x－φ)．
1．已知 cos(π
4－x )＝3
5，则 sin 2x＝( )
A．18
25 B． 7
25
C．－ 7
25 D．－16
25
解析：选 C．因为 cos(π
4－x )＝cosπ
4cos x＋sinπ
4sin x＝ 2
2 (cos x＋sin x)＝3
5，
所以 sin x＋cos x＝3 2
5 ，所以 1＋2sin xcos x＝18
25，
即 sin 2x＝18
25－1＝－ 7
25.
2．已知 sin(π
6－α )＝cos(π
6＋α )，则 cos 2α＝( )
A．1 B．－1
C．1
2 D．0
解析：选 D.因为 sin(π
6－α )＝cos(π
6＋α )，
所以 1
2cos α－ 3
2 sin α＝ 3
2 cos α－1
2sin α，
即 (1
2－ 3
2 )sin α＝－(1
2－ 3
2 )cos α，
所以 tan α＝
sin α
cos α＝－1，
所以 cos 2α＝cos2α－sin2α＝
cos2α－sin2α
sin2α＋cos2α＝1－tan2α
tan2α＋1＝0.
3．已知 sin 2α＝3
5(π
2＜2α＜π)，tan(α－β)＝1
2，则 tan(α＋β)等于( )
A．－2 B．－1
C．－ 2
11 D． 2
11
解析：选 A．由题意，可得 cos 2α＝－4
5，
则 tan 2α＝－3
4，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝
tan 2α－tan(α－β)
1＋tan 2αtan(α－β)＝－2.
4.2cos 10°－sin 20°
sin 70° 的值是( )
A．1
2 B． 3
2
C． 3 D． 2
解析：选 C．原式＝2cos(30°－20°)－sin 20°
sin 70°
＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°
sin 70° ＝ 3cos 20°
cos 20° ＝ 3.
5．在斜三角形 ABC 中，sin A＝－ 2cos Bcos C，且 tan B·tan C＝1－ 2，则角 A 的值
为( )
A．π
4 B．π
3
C．π
2 D．3π
4
解析：选 A．由题意知，sin A＝－ 2cos Bcos C＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
在等式－ 2cos Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C 两边同除以 cos Bcos C 得 tan B＋tan C
＝－ 2，
又 tan(B＋C)＝
tan B＋tan C
1－tan Btan C＝－1＝－tan A，
即 tan A＝1，所以 A＝π
4 .
6．已知 cos(α＋β)＝1
6，cos(α－β)＝1
3，则 tan αtan β 的值为________．
解析：因为 cos(α＋β)＝1
6，
所以 cos αcos β－sin αsin β＝1
6.①
因为 cos(α－β)＝1
3，
所以 cos αcos β＋sin αsin β＝1
3.②
①＋②得 cos αcos β＝1
4.
②－①得 sin αsin β＝ 1
12.
所以 tan αtan β＝
sin αsin β
cos αcos β ＝1
3.
答案：1
3
7．若 tan α＝3，则 sin (2α＋π
4)的值为________．
解析：因为 sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos α
sin2α＋cos2α
＝ 2tan α
tan2α＋1＝3
5，cos 2α＝cos2α－sin2α＝
cos2α－sin2α
cos2α＋sin2α＝1－tan2α
1＋tan2α＝－4
5，
所以 sin(2α＋π
4)＝ 2
2 sin 2α＋ 2
2 cos 2α＝ 2
2 ×[3
5＋(－4
5 )]＝－ 2
10.
答案：－ 2
10
8．已知方程 x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为 tan α，tan β，且 α，β∈(－π
2，π
2)，
则 α＋β＝________．
解析：由已知得 tan α＋tan β＝－3a，
tan αtan β＝3a＋1，所以 tan(α＋β)＝1.
又因为 α，β∈(－π
2，π
2)，tan α＋tan β＝－3a＜0，
tan αtan β＝3a＋1＞0，
所以 tan α＜0，tan β＜0，
所以 α，β∈(－π
2，0)，
所以 α＋β∈(－π，0)，
所以 α＋β＝－3π
4 .
答案：－3π
4
9．已知 tan α＝－1
3，cos β＝ 5
5 ，α∈(π
2，π )，β∈(0，π
2 )，求 tan(α＋β)的值，并求出 α＋
β 的值．
解：由 cos β＝ 5
5 ，β∈(0，π
2 )，
得 sin β＝2 5
5 ，tan β＝2.
所以 tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β＝
－1
3＋2
1＋2
3
＝1.
因为 α∈(π
2，π )，β∈(0，π
2 )，
所以π
2<α＋β<3π
2 ，所以 α＋β＝5π
4 .
10．已知函数 f(x)＝Acos(x
4＋π
6)，x∈R，且 f(π
3 )＝ 2.
(1)求 A 的值；
(2)设 α，β∈[0，π
2 ]，f(4α＋4π
3 )＝－30
17，f(4β－2π
3 )＝8
5，求 cos(α＋β)的值．
解：(1)因为 f(π
3 )＝Acos( π
12＋π
6)＝Acosπ
4＝ 2
2 A＝ 2，所以 A＝2.
(2)由 f(4α＋4π
3 )＝2cos(α＋π
3＋π
6)＝2cos(α＋π
2 )＝－2sin α＝－30
17，
得 sin α＝15
17，又 α∈[0，π
2 ]，所以 cos α＝ 8
17.
由 f(4β－2π
3 )＝2cos(β－π
6＋π
6)＝2cos β＝8
5，
得 cos β＝4
5，又 β∈[0，π
2 ]，所以 sin β＝3
5，
所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 8
17×4
5－15
17×3
5＝－13
85.
1．cosπ
9·cos2π
9 ·cos(－23π
9 )＝( )
A．－1
8 B．－ 1
16
C． 1
16 D．1
8
解析：选 A．cosπ
9·cos2π
9 ·cos(－23π
9 )＝cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－
sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°
sin 20°
＝－
1
2sin 40°·cos 40°·cos 80°
sin 20° ＝－
1
4sin 80°·cos 80°
sin 20°
＝－
1
8sin 160°
sin 20° ＝－
1
8sin 20°
sin 20° ＝－1
8.
2．设 α∈(0，π
2 )，β∈(0，π
2 )，且 tan α＝1＋sin β
cos β ，则( )
A．3α－β＝π
2 B．2α－β＝π
2
C．3α＋β＝π
2 D．2α＋β＝π
2
解析：选 B．因为 tan α＝1＋sin β
cos β ，所以 sin α
cos α＝1＋sin β
cos β ，即 sin αcos β＝cos α＋
cos αsin β，所以 sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即 sin(α－β)＝sin(π
2－α )，又 α，β 均为锐角，
且 y＝sin x 在(－π
2，π
2)上单调递增，所以 α－β＝π
2－α，即 2α－β＝π
2，故选 B．
3．已知 cos(x－π
6 )＝－ 3
3 ，则 cos x＋cos(x－π
3 )＝( )
A．－2 3
3 B．±2 3
3
C．－1 D．±1
解析：选 C．因为 cos(x－π
6 )＝－ 3
3 ，
所以 cos x＋cos(x－π
3 )＝cos x＋cos xcosπ
3＋sin xsinπ
3
＝3
2cos x＋ 3
2 sin x＝ 3( 3
2 cos x＋1
2sin x)
＝ 3cos(x－π
6 )＝ 3×(－ 3
3 )＝－1.
4．已知 α、β 均为锐角，且 tan β＝
cos α－sin α
cos α＋sin α，则 tan(α＋β)＝________．
解析：因为 tan β＝
cos α－sin α
cos α＋sin α，
所以 tan β＝1－tan α
1＋tan α＝tan(π
4－α ).
又 α、β 均为锐角，所以 β＝π
4－α，即 α＋β＝π
4，
所以 tan(α＋β)＝tan π
4＝1.
答案：1
5．已知 0<α<π
2<β<π，cos(β－π
4 )＝1
3，sin(α＋β)＝4
5.
(1)求 sin 2β 的值；
(2)求 cos (α＋π
4 )的值．
解：(1)法一：因为 cos(β－π
4 )＝cosπ
4cos β＋sinπ
4sin β＝ 2
2 cos β＋ 2
2 sin β＝1
3，
所以 cos β＋sin β＝ 2
3 ，
所以 1＋sin 2β＝2
9，所以 sin 2β＝－7
9.
法二：sin 2β＝cos(π
2－2β)＝2cos2(β－π
4 )－1＝－7
9.
(2)因为 0<α<π
2<β<π，
所以π
4<β－π
4<3
4π，π
2<α＋β<3π
2 .
所以 sin(β－π
4 )>0，cos(α＋β)<0，
因为 cos(β－π
4 )＝1
3，sin(α＋β)＝4
5，
所以 sin(β－π
4 )＝2 2
3 ，cos(α＋β)＝－3
5.
所以 cos(α＋π
4 )＝cos[(α＋β)－(β－π
4 )]
＝cos(α＋β)cos(β－π
4 )＋sin(α＋β)sin(β－π
4 )
＝－3
5×1
3＋4
5×2 2
3 ＝8 2－3
15 .
6．已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(－3， 3)．
(1)求 sin 2α－tan α 的值；
(2)若函数 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数 g(x)＝ 3f(π
2－2x)－2f2(x)在区间
[0，
2π
3 ]上的值域．
解：(1)因为角 α 的终边经过点 P(－3， 3)，
所以 sin α＝1
2，cos α＝－ 3
2 ，tan α＝－ 3
3 .
所以 sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－ 3
2 ＋ 3
3 ＝－ 3
6 .
(2)因为 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，
所以 g(x)＝ 3cos(π
2－2x)－2cos2x
＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin(2x－π
6)－1，
因为 0≤x≤2π
3 ，
所以－π
6≤2x－π
6≤7π
6 .所以－1
2≤sin(2x－π
6)≤1，
所以－2≤2sin(2x－π
6)－1≤1，
故函数 g(x)＝ 3f(π
2－2x)－2f2(x)在区间[0，
2π
3 ]上的值域是[－2，1]．