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- 2021-04-14 发布
拉萨市2018届高三第一次模拟考试试卷
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知，是虚数单位，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
4.函数在区间上的图象大致为（ ）
5.已知点在圆：上运动，则点到直线：的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6.设向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为14，则空白判断框中的条件可能为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数则（ ）
A． B． C． D．
9.使函数是偶函数，且在上是减函数的的一个值是（ ）
A． B． C． D．
10.中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面左上方缀着的五颗黄色五角星，四颗小五角星环拱于大星之右，象征中国共产党领导下的革命人民大团结和人民对党的衷心拥护．五角星可通过正五边形连接对角线得到，且它具有一些优美的特征，如．现在正五边形内随机取一点，则此点取自正五边形内部的概率为（ ）
A． B． C． D．
11.已知等比数列的前项积为，若，，则当取得最大值时，的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
12.设函数是奇函数（）的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知实数，满足则的取值范围为 ．
14.已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
15.中国古代数学瑰宝《九章算术》中有这样一道题：“今有堑堵（底面为直角三角形的直棱柱）下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为直角三角形的直棱柱，底面的直角边长宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，则题中的堑堵的外接球的表面积为 平方尺．
16.已知函数若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知，，分别为的三个内角，，的对边，且．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求，．
18.随着科技发展，手机成了人们日常生活中必不可少的通信工具，现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机了．为了调查某地区高中生一周使用手机的频率，某机构随机调查了该地区100名高中生某一周使用手机的时间（单位：小时），所取样本数据分组区间为、、、、、、，由此得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值；
（2）从使用手机时间在、、、的四组学生中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？
19.如图，四棱锥底面为等腰梯形，且，点为中点．
（1）证明：平面；
（2）若平面，，直线与平面所成角的正切值为，求四棱锥的体积．
20.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若的顶点、在椭圆上，所在的直线斜率为，所在的直线斜率为，若，求的最大值．
21.已知函数，为自然对数的底数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）若直线与圆相交于，两点，求弦长；
（2）以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，圆和圆的交点为，，求弦所在直线的直角坐标方程．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）求的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
拉萨市2018届高三第一次模拟考试试卷文科数学答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由及正弦定理，
得，
由于，所以，即．
又，所以，
所以，故．
（2）的面积，故，①
由余弦定理，
故，故，②
由①②解得．
18.解：（1）由于小矩形的面积之和为1，则，由此可得．
该地区高中生一周使用手机时间的平均值为．
（2）使用手机时间在的学生有人，使用手机时间在的学生有人，使用手机时间在的学生有人，使用手机时间在的学生有人，
故用分层抽样法从使用手机时间在，，，的四组学生中抽样，抽取人数分别为，，，．
19.证明：（1）取中点，连接、．
由于为中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．
由于且，
则，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，面，所以平面．
因为平面，平面，，，平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
解：（2）作于点，则．
在中，，，则，．
由平面知，直线与平面所成角为，故，
即在中，有，则.
所以，四棱锥的体积．
20.解：（1）由题意得解得
∴椭圆的标准方程为．
（2）设，，不妨设，．
由，∴（），
直线、的方程分别为，，
联立
解得，．
∵，
当且仅当时，等号成立．
所以的最大值为2．
21.解：（1）的定义域为，．
若时，则，∴在上单调递增；
若时，则由，∴．
当时，，∴在上单调递增；
当时，，∴在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题意得：对时恒成立，
∴对时恒成立．
令，（），
∴．
令，
∴对时恒成立，
∴在上单调递减，
∵，
∴当时，，∴，在上单调递增；
当时，，∴，在上单调递减.
∴在处取得最大值，
∴的取值范围是.
22.解：（1）由直线的参数方程为（为参数）消去参数，
可得，即直线的普通方程为．
圆的参数方程为（为参数），
根据消去参数，可得，
所以圆心到直线的距离，
故弦长．
（2）圆的极坐标方程为，
利用，，，
可得圆的普通方程为．
∵圆方程为，
∴弦所在直线的直角坐标方程为，即．
23.解：（1）由，得，
即或或
即有或或，
解得，
∴的解集为．
（2），
当且仅当时，取等号．
由不等式对任意实数恒成立，
可得，即，
即或或
解得或，
故实数的取值范围是．