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- 2021-04-14 发布
第2讲 解三角形
高考统计·定方向
热点题型
真题统计
命题规律
题型1：利用正、余弦定理解三角形
2018全国卷ⅠT16；2018全国卷ⅡT7；2018全国卷ⅢT11
2017全国卷ⅠT11；2017全国卷ⅡT16；2017全国卷ⅢT15
2016全国卷ⅠT4；2016全国卷ⅡT15；2015全国卷ⅠT17
1.高考对此部分的考查为“一小”或“一大”，近三年高考以“一小”为主.
2.小题出现在4－11或15－16题的位置上，有成为压轴小题的趋势.
题型2：正、余弦定理的综合应用
2016全国卷ⅢT9；2015全国卷ⅡT17；2014全国卷ⅠT16
2014全国卷ⅡT17
3.解答题重点考查解三角形问题，出现在第17题位置上，难度中等.
题型1 利用正、余弦定理解三角形
■核心知识储备·
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：cos A＝，b2＋c2－a2＝2bccos A.
3．三角形面积公式
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
■高考考法示例·
►角度一 求解三角形中的边角问题
【例1－1】 (2016·全国卷Ⅱ)(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
[在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又∵＝，∴b＝＝＝.]
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
①求B；
②若A＝75°，b＝2，求a，c.
[解] ①由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故cos B＝，因此B＝45°.
②sin A＝sin(30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
＝.
故a＝b×＝＝1＋.
c＝b×＝2×＝.
►角度二 与三角形有关的面积问题
【例1－2】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
[由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，得sinBsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsin A＝××＝.]
(2)(2018·温州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.
①求tan C的值；
②若△ABC的面积为3，求b的值；
[解] ①由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，
∴－cos 2B＝sin2C，又由A＝，即B＋C＝，得
－cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C，解得tan C＝2；
②由tan C＝2，C∈(0，π)得sin C＝，cos C＝，
又∵sin B＝sin(A＋C)＝sin，∴sin B＝，由正弦定理得c＝b，
又∵A＝，bcsin A＝3，∴bc＝6，故b＝3.
[方法归纳]
1．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
2．在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有b2＋c2和bc两项，二者的关系b2＋c2＝(b＋c)2－2bc经常用到．
(教师备选)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
[解] (1)由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin C·sin B．①
又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.
又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为＋1.
■对点即时训练·
1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B.
C. D．2
A [因为cos ＝，所以cos C＝2cos2 －1＝2×2－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×－＝32，所以AB＝4.故选A.]
2．(2018·绍兴模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A＝，求△ABC的面积．
[解] (1)由题意得，－＝sin 2A－sin 2B，
即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，
sin＝sin，由a≠b得，A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝；
(2)由c＝，sin A＝，＝得a＝，由a＜c，得A＜C，从而cos A＝，故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，所以△ABC的面积为S＝acsin B＝.
题型2 正、余弦定理的综合应用
全国卷考查解三角形问题常与平面几何交汇，题目中经常出现有关的几何元素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等；地方卷常与平面向量交汇考查，解三角形还常与不等式，三角函数的性质交汇命题．
■高考考法示例·
【例2】 (1)(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝( )
A. B. C. D.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan B＝，·＝，则tan B等于( )
A. B.－1 C．2 D．2－
(3)如图214，山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道
AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．
图214
(1)D (2) D (3)400 [(1)如图，AD为△ABC中BC边上的高．
设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝＝a.
同理，在Rt△ACD中，AC＝＝a.
∵S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝BC·AD，
∴×a×a·sin∠BAC＝a·a，
∴sin∠BAC＝＝.
由·＝得accos B＝，则cos B＝，又cos B＝，因此＝，即a2＋c2－b2＝1，故tan B＝2－.
(3)如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.
∵∠ADC＝150°，∴∠ADB＝30°，∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°
由正弦定理，可得＝.
∴＝，得AD＝400(米)．
在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．故索道AC的长为400米．]
[方法归纳]
1．求解与三角形相关的平面几何问题的策略
一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用．
2．求解三角形与平面向量交汇问题的策略
利用解三角形的知识解决平面向量问题是高考在知识的交汇处命制试题的一个热点．解决这类试题的基本方法是根据正、余弦定理求出平面向量的模和夹角，从而达到利用解三角形求解平面向量数量积的目的．
■对点即时训练·
1．(2018·长春模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)·sin C，则△ABC面积的最大值为________．
[由a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，故(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，又根据正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，化简得，b2＋c2－a2＝bc，
故cos A＝＝，所以A＝60°，又b2＋c2－bc＝4≥bc，故S△BAC＝bcsin A≤.]
2．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝3，·＝－6，S△ABC＝3，求A和a.
[解] 因为·＝－6，所以bccos A＝－6.
又S△ABC＝3，所以bcsin A＝6.
因此tan A＝－1.
又0