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- 2021-04-14 发布
“华安一中、龙海二中”2019-2020学年上学期第一次月考
高三数学（理科）试卷
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 ,选C.
2.下列函数中，在区间上为减函数的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.
考点：函数增减性
3.“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
由可得．
当时，不一定成立；反之，当时，必有．
∴“”是“”的必要不充分条件．选C．
4.已知为锐角，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：
根据题意，α，β为锐角，若sinα=，则cosα=，
若cos（α+β）=，则（α+β）也为锐角，
则sin（α+β）=，
则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=×+×=，
点睛：
由cos（α+β）与sinα的值，结合同角三角函数基本关系式计算可得sin（α+β）与cosα的值，进而利用β=[（α+β）﹣α]可得cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα.
5.设函数,（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】C
【解析】
.故选C.
6.若将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，所得图象的一个对称中心是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得到的函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得所得到的函数图象的对称中心．
【详解】将函数y＝sin（2x）的图象上各点向右平移个单位长度，可得函数y＝sin[2（x）]＝sin2x的图象，
令2x＝kπ，k∈z，可得x，故所得函数的图象的对称中心为（，0），
结合所给的选项，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
7.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．
8.已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由函数奇偶性定义可知，所以函数在单调递增，则不等式可化为，应选答案C。
9.已知，则大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
估算a，b，c的值，即可比较大小．
【详解】∵a（x2﹣1）dx＝（x3﹣x）1，
b＝log23>log22=1，c＝cos，
∴a＜c＜b，
故选：C．
【点睛】本题考查对数函数单调性的运用，考查了微积分基本定理，特殊角的三角函数值．比较基础．
10.已知，均为锐角，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
因为，所以 ，即，故选A．
11.已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时,，则函数的零点个数是（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
分析】
可得f（x）是周期为2的偶函数，根据当x∈（0，1）时，f（x）＝cosx，作出y＝f（x）与y＝的图象，结合图象即可．
【详解】函数y＝f（x）﹣的零点个数
⇔函数f（x）的图象与g（x）＝的图象交点个数．
由f（x+1）＝﹣f（x），得f（x）是周期为2的偶函数．
∵当x∈（0，1）时，f（x）＝cosx，
作出y＝f（x）与g（x）＝图象，如下图，
可得零点的个数为2．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性，考查了数形结合思想，属于中档题．
12.已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，
若函数有两个极值点，
则 和 在 有 2 个交点，
令 , 则 ，
在递减 , 而 ，
故 时 , , 即, 递增，
时 , , 即,递减，
故，
而 时 , ,时 , ，
若 和 在 有 2 个交点
只需 ，
点晴：本题考查函数导数与函数的极值点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上）
13.函数的单调递增区间为________．
【答案】
【解析】
【分析】
求的递增区间，根据复合函数单调性，即转化为求在定义域上的减区间.
【详解】由得，令，由于函数的对称轴为
y轴，开口向上，∴在上递减，在（0，＋∞）递增，又由函数是定义域内的减函数，∴原函数在（-∞，-2）上递增．故答案为（-∞，-2）.
【点睛】本题考查了复合函数单调区间的求法，属于基础题.
14.设曲线在点处的切线方程为，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：函数的定义域为，，由题意知
考点：导数的几何意义
15.函数在=______处取得极小值．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求导可得f′（x）＝3x2﹣6x，解3x2﹣6x＝0可得其根，再判断导函数的符号即可．
【详解】f′（x）＝3x2﹣4x
令f′（x）＝3x2﹣4x＝0得x1＝0，x2
且x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f(x)单调递增；x∈（0，）时，f′（x）＜0，f(x)单调递减；x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f(x)单调递增；
故f（x）在x出取得极小值．
故答案为．
【点睛】本题考查函数极值问题，考查了导数的运用，属基础知识的考查．
16.已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】
分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.
详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
三、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知关于的方程的两根为和，θ∈(0,2π)，求：(1)的值；
(2)求m值.
【答案】(1)； (2) .
【解析】
【分析】
（1）由韦达定理得，，把变形为．由此能求出结果．（2）由韦达定理结合完全平方和公式得到1+m=，由此能求出m．
【详解】（1）已知关于的方程的两根为和，θ∈(0,2π)，∴，，
∴
＝
＝．
（2）∵，，
∴，即 1+m＝，
解得 m＝．
【点睛】本题考查三角函数化简求值及应用，考查二次函数根与系数的关系，是中档题.
18.已知函数在处的切线为.
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（1）（2）减区间为增区间为
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
【详解】（1）依题意可得：
又函数在处的切线为，
解得：
（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，
当时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴的单调减区间为的单调增区间为.
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．
19.已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）当时，求函数的最大值及最小值.
【答案】（1）周期，增区间为（2）最大值为，最小值为-1
【解析】
【分析】
（1）找出函数f（x）解析式中的ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期，由正弦函数的单调递增区间[2kπ，2kπ]列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的单调递增区间；
（2）由x的范围，求出2x的范围，根据正弦函数的图象与性质可得2x为时，f（x）取得最大值，当2x为时函数f（x）取得最小值，分别求出最大值和最小值即可．
【详解】（1）f（x）sin（2x），
∵ω＝2，∴最小正周期Tπ，由2kπ2x2kπ（k∈Z），
解得kπx≤kπ（k∈Z），
故函数f（x）的单调增区间是[kπ，kπ]（k∈Z）；
（2）当x∈[，]时，（2x）∈[，]，
故当2x，即x时，f（x）有最大值，
当2x，即x时，f（x）有最小值﹣1．
【点睛】本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．
20.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
求角C；
若，求面积的最大值．
【答案】(1) ;(2) 面积取最大值.
【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理与和差公式即可得出．
（2）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．
试题解析：
(1)，由正弦定理得，
，
，，
，.
(2)由余弦定理得：
，.
当且仅当时，面积取最大值.
21.已知函数（a为常数）与x轴有唯一的公共点A．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）曲线在点A处的切线斜率为，若存在不相等的正实数，，满足，证明：．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合单调性求出f（x）的最小值，从而确定a的范围；
（Ⅱ）求出a的值，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2，得到−(x12−1+3lnx1)＝x22−1+3lnx2，令p（t）=2t+3lnt-2，根据函数的单调性证明即可．
【详解】（Ⅰ）因为函数的定义域为，且，
故由题意可知曲线与x轴存在公共点，又，则有
当时，，函数在定义域上递增，满足条件；
当时，函数在上递减，在上递增，
①若时，则，取，则，
故由零点存在定理可知，函数在上还有一个零点，因此不符合题意；
②若，则函数的极小值为，符合题意；
③若，则由函数的单调性，有，取，有．
下面研究函数
，，因为恒成立，故函数在上递增．故，故成立，函数在区间上存在零点，不符合题意．
综上所述：
当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为，无递减区间．
（Ⅱ）容易知道函数在处的切线斜率为，得，
由（Ⅰ）可知，且函数在区间上递增．
不妨设，因为，则，
则有，整理得，
由基本不等式得，故，整理，
即．
由函数在上单调递增，所以，即．
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．
请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（1）若，求的普通方程；
（2）若上的点到的距离的最大值为，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用消参法直接得的普通方程，将代入即可；
（2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值．
【详解】（1）直线的参数方程为（t为参数）
直线的普通方程为
当时，直线的普通方程为即
（2）依题意可得：点到直线的距离
且上的点到的距离的最大值为
|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17
解得：
【点睛】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a．
23.设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值表达式，通过x的范围，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式，转化求解最大值，然后求解即可．
【详解】（1）由已知得|x﹣2|﹣|x+3|＜3，
当x≤﹣3时2﹣x+x+3＜3解集为空集；
当﹣3＜x＜2时2﹣x﹣（x+3）＜3解得﹣2＜x＜2；
当x≥2时x﹣2﹣（x+3）＜3解得x≥2；
故所求不等式的解集为（﹣2，+∞）．
（2）不等式f（x）＜3+a等价于|x﹣2|﹣|x+3|＜a+3，
∵|x﹣2|﹣|x+3|≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，
∴a+3＞5，
∴a＞2．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立的应用，考查分类讨论思想以及转化的应用．