数学理卷·2018届重庆市第一中学高三11月月考（2017 9页

重庆一中高2018届高三上期十一月月考 数学试题卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合、、是全集的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.设命题：，使得，则为（ ）‎ A．， B． ‎ C． D．， ‎ ‎3.定义在上的奇函数满足，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.直线与圆的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 ‎ ‎5.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.在等比数列中，和是方程的两个根，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.已知倾斜角为的直线与直线：垂直，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.若，，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.将函数（）的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，若、的图象都经过点，则的值可以是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数，现有关于函数的下列四个结论：‎ ‎①的图象是中心对称图形；②的图象是轴对称图形；③关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为；④若关于的方程恰好有两个不等的实根，则实数的取值范围为，其中正确的结论的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，若与共线，则 ．‎ ‎14.已知实数，满足条件则的最大值为 ．‎ ‎15.在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的取值范围是 ．‎ ‎16.在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，过点作的两条切线，切点分别为、，且满足，记的轨迹为，过点作的两条切线，切点分别为、，满足，记的轨迹为，按上述规律一直进行下去……，记（），且为数列的前项和，则满足的最小的是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在平面直角坐标系中，点，直线：与直线：的交点为圆的圆心，设圆的半径为1．‎ ‎（1）过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）过点作斜率为的直线交圆于，两点，求弦的长．‎ ‎18.已知数列的前项和为，且满足：，，（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎19.如图在锐角中，，角的平分线交于点，设，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎20.已知椭圆的短轴端点和焦点组成的四边形为正方形，且椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）四边形的顶点都在椭圆上，且对角线、过原点，若，求证：四边形的面积为定值．‎ ‎21.已知函数，（其中，），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合．‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）记函数，是否存在最小的正常数，使得当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的方程为，以为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆的直角坐标系下的标准方程；‎ ‎（2）若直线与圆交于，两点，求的值．　‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）求的定义域；‎ ‎（2）令，若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．‎ ‎2017年重庆一中高2018级高三上期十一月月考数学试题卷（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题设知，联立和，解得点，‎ 则切线的斜率必存在，‎ 设过点的圆的切线方程为，则，‎ 解得，，故切线为或．‎ ‎（2）直线：，则圆心到直线的距离为，‎ 则弦长．‎ ‎18.解：（1）当时，两式相减得，‎ 即，又，故．‎ 在中令，可得，‎ 又，∴，则，‎ 综上知时，，，故．‎ ‎（2），‎ 则．‎ ‎19.解：（1），‎ 则，．‎ ‎（2）由，即，即，‎ ‎，解得，，‎ 在中由余弦定理得，则．‎ ‎20.解：（1）由题意，，又，解得，，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为，设，，‎ 联立得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎∵，∴，∴ ，‎ ‎，‎ ‎∴，∴，∴，‎ 设原点到直线的距离为，则 ‎，‎ ‎∴，即四边形的面积为定值．‎ ‎21.解：（1）∵，则在点处切线方程为．‎ 又，则在点处切线方程为．　‎ 由解得，．‎ ‎（2）根据（1）知，则，‎ ‎，即，即，‎ 构造函数，则问题就是求恒成立，‎ ‎，令，‎ 则，显然是减函数，又，所以在上是增函数，‎ 在上是减函数，‎ 而，‎ ‎，，‎ 则函数在区间和上各有一个零点，设为和 ‎（），‎ 并且有在区间和上，，即；‎ 在区间上，，即．‎ 从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，，‎ 当时，；当时，．‎ 还有是函数的极大值，也是最大值．题目要找的，理由：‎ 当时，对于任意非零正数，，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目要求的不等式恒成立；‎ 当时，取，显然，题目要求的不等式不恒成立，说明不能比小；‎ 综上可知，题目所要求的最小的正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立．‎ ‎22.解：（1），即，‎ 即，即，‎ 则曲线在直角坐标系下的标准方程为．‎ ‎（2）直线的方程可化为，则其极坐标方程（）．‎ 设，，将（）代入，‎ 得，故，所以．‎ ‎23.解：（1）由题知，‎ 当时，得，即得；‎ 当时，得，即；‎ 当时，得，得，无解．‎ 综上，，所以的定义域为．‎ ‎（2）（），‎ 则函数在上单调递减，故，由条件知，即．‎