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- 2021-04-14 发布
2019—2020学年度第二学期月考
高二年级(文科)数学试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.若集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算集合M，N，再计算.
【详解】集合，
∵，，
∴.
故答案选C
【点睛】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题型.
2.以下说法错误是（ ）
A. 若为假命题，则均为假命题．
B. “”是“”的充分不必要条件．
C. 命题“若则”的逆否命题为“若，则”．
D. 若命题p:R，使得则R，则．
【答案】A
【解析】
【分析】
．由且为假命题，则，至少有一个为假命题，即可判断出正误．
．由，解得，2，即可判断出关系；
．利用逆否命题的定义即可判断出正误；
．利用的定义即可判断出；
【详解】解：．由且为假命题，则，至少有一个为假命题，因此不正确．
．由，解得，2，因此“”是“”的充分不必要，正确；
．“若“，则”的逆否命题为“若，则”，正确；
．命题：存在，使得，则：对任意，都有，正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
3.函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分母不为0，真数大于0，即可得到结论．
【详解】要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），
故选：C．
点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，属于基础题.
4.在△ABC中，“”是“A＜B”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用大角对大边得到，进而利用正弦定理将边边关系得到
，即证明了必要性，再同理得到充分性．
【详解】在三角形中，若A＜B，则边a＜b，由正弦定理，得．若，则由正弦定理，得a＜b，根据大边对大角，可知A＜B，即是A＜B的充要条件．故选C.
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行与的转化.
5.函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
设，求得函数在递减，在递增，再根据复合函数的单调性的判定方法，即可得到答案.
【详解】由题意，令，得或，即函数的定义域为.
设，可得函数在递减，在递增，
又由在上递减，
根据复合函数的单调性，可得在递减.故选D.
【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，同时忽视函数的定义域是解答此类问题的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
6.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出四个答案中两个函数的定义域，然后判断是否一致，进而化简函数的解析式，再比较是否一致，根据两个函数的定义域和解析式均一致，则两函数表示同一函数，否则两函数不表示同一函数得到答案．
【详解】解：，，，，两个函数的定义域不一致，故错误；
，，，，两个函数的定义域不一致，故错误；
，；，，两函数的定义域相同，为同一函数，故正确；
，，，，它们的定义域不同，不是同一函数，故错误．
各组函数中，表示同一函数的是：C．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是判断两个函数是否表示同一函数，熟练掌握同一函数的定义，即两个函数的定义域和解析式均一致或两个函数的图象一致，是解答本题的关键，属于基础题．
7.已知函数 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，，，故选D.
8.下列哪个函数是其定义域上的偶函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的判定方法，注意判定，即可得到答案.
【详解】由题意，对于A中，函数的定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数；对于B中，函数是非奇非偶函数；对于C中，函数的定义域为R，且，所以函数是定义域上的偶函数；对于D中，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，综上可知，答案为C.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9.是定义在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据是定义在上是增函数，利用分段函数的性质可知，由此即可求出结果.
【详解】由于是定义在上是增函数，所以，所以，故选A.
【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果．
10.函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据特殊位置的所对应的的值，排除错误选项，得到答案.
【详解】因为
所以当时，，故排除A、D选项，
而，
所以
即是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B项，
故选C项.
【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.
11.设偶函数的定义域为R，当时，单调递减，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由偶函数的性质和函数的增减性辅以图像求解即可
【详解】由题可画出拟合图像（不唯一），如图：
可知，当越大，函数值越大，因，故
故选
【点睛】本题考查由函数的增减性与奇偶性解不等式，属于基础题
12.若直角坐标平面内不同的两点P、Q满足条件:①P、Q都在函数的图像上；②P、Q关于原点对称,则称点是函数的一对“友好点对”(注:点对与看作同一对“友好点对”).若函数,则此函数的“友好点对”的个数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】
当时，，代入解析式，即可得到关于原点对称的函数，作出函数图像，根据给出的新定义，并结合图像即可得到图像交点的个数，即“友好点对”的个数.
【详解】当时，则，，
则函数的图像
关于原点对称的图像所对应的函数是
作出函数与的图像（如下图）
由图像的交点个数即可得“友好点对”的对数，
观察图像可得交点个数是，故函数的“友好点对”有对.
故选：C
【点睛】本题主要考查对新定义的理解，考查了数形结合思想，解答本题的关键是熟练掌握二次函数与对数函数的图像与性质.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知集合，且，则实数的值为_______.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据题意得到方程解得答案.
【详解】，则或
故答案为或
【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题.
14.已知命题“若且，则”，那么它的逆命题为_________．
【答案】“若，则且”
【解析】
【分析】
根据逆命题的定义直接写出即可.
【详解】命题“若且，则”的逆命题为“若，则且”.
故答案为：“若，则且”.
【点睛】本题考查逆命题的定义，属于基础题.
15.函数的图像关于直线对称的充要条件是 ；
【答案】m=-2
【解析】
由于二次函数的对称轴方程为,所以函数的图像关于直线对称的充要条件.
16.已知函数是定义在（-2，2）上的奇函数且是减函数，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由奇函数定义把不等式化为，再由单调性求解，注意函数的定义域．
【详解】由题意知解得，
∵函数为奇函数，由，得
∵函数在（－2，2）上是减函数，∴，解得∴实数的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，利用奇函数性质把不等式化为形式，然后由单调性求解，是这类问题的常用方法．
三、解答题.
17.设
（1）求
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由可知，结合数轴求解即可.
【详解】（1）由解得，故，
因为，所以，即,
所以.
（2） 因为，
所以，
故.
【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.
18.已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】
（1）当时，得到方程无实数根，结合一元二次方程的性质，即可求解；
（2）由集合A中至多只有一个元素，则或A中只有一个元素，结合一元二次方程的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，集合，则方程无实数根，
则，解得，
所以当A是空集，的取值范围为．
（2）由题意，集合A中至多只有一个元素，则或A中只有一个元素，
①当时，由（1）得；
②当A中只有一个元素时，则或，
解得或．
综上，若A中至多只有一个元素，a的取值范围为{a|或．
【点睛】本题主要考查了利用集合中元素的个数求解参数问题，其中解答中熟记元素与集合的关系，合理应用一元二次方程的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19.己知
（1）若是真命题，求对应的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接解绝对值不等式得到答案.
（2）化简得到，讨论，，三种情况计算得到答案
【详解】（1）为真命题，即，解得
（2）根据（1）知：，
是的必要不充分条件
当时，，故满足，即；
当时，，满足条件；
当时，，故满足，即.
综上所述：
【点睛】
本题考查了解不等式，根据必要不充分条件求参数范围，意在考查学生分类讨论的能力.
20.已知函数.
（1）判断的单调性，并用定义证明；
（2）求函数在上的值域.
【答案】（1）增函数，见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）利用函数单调性定义，即可证得函数在，上为单调递增函数；
（2）由（1）可得函数在区间上为单调递增函数，即可求得函数的值域.
【详解】函数在区间，上单调递增．
证明：任意取，且均不为0，
对于函数，
有＝，
当时，，
∴＜0，即，
故函数在区间上单调递增．
当时，，
∴＜0，即，
故函数在区间上单调递增．
所以函数在区间，上单调递增．
（2）由（1）可得函数在区间上单调递增，
故当x＝2时，，当x=6时，．
所以函数在上的值域为.
【点睛】本题主要考查了利用定义法证明函数的单调性，以及函数的值域的求解，其中解答中熟记函数的单调性的定义，得到函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
（1）求出函数在上的解析式
（2）画出函数的图象，并指出函数的单调区间.
【答案】（1）（2）图象见解析，增区间是，减区间是
【解析】
【详解】(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；
②当x＜0时，－x＞0，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上：f(x)＝
(2)图象如图所示．
由图可知，增区间是，减区间是
22.已知函数的图像过点，且函数图像又关于原点对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）由对称性可知也在函数图象上，据此列出方程组求解出的值；
（2）利用分离参数法将不等变形，然后根据基本不等式求解最值确定的取值范围.
【详解】（1）依题意，函数的图象过点和.
所以，故.
（2）不等式可化为.
即对一切的恒成立.
因为，当且仅当时等号成立，所以.
【点睛】根据不等式恒成立求解参数范围的两种方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值分类讨论参数的取值是否满足要求；（2）参变分离法：将参数从不等式中分离出来，通过函数或者不等式确定最值，由此得到参数范围.