广东省揭阳一中2013届高三上学期第二次段考数学试题 9页

揭阳第一中学2012—2013学年度第一学期 ‎ 高三级阶段考试数学科试题（文科 ）‎ 一、选择题（单项选择题，每小题5分，共50分）‎ ‎1、复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为……………………………（ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2、已知全集,则=………………………（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3、是“实系数一元二次方程有虚根”的……………………… （ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件. ‎ ‎4、要得到函数的图像，只需要将函数的图像………… （ ） ‎ ‎ A、向左平移个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移个单位 D、向右平移个单位 ‎5、在等差数列中,已知,则该数列前11项和……………………………（ ）‎ A．58 B．‎88 ‎C．143 D．176‎ ‎6、若正数满足,则的最小值是……………………………………… （ ）‎ A．6 B．‎5 C． D．‎ ‎7、在△ABC中，内角的对边分别是，若，，则…（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是…………………………………………………………………………………………………………（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎9、计算：=_______________. ks5u ‎10、已知点的坐标满足：及，则（为坐标原点）的最大值是 _ .‎ ‎11、已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是__________.‎ ‎12、在中，，的面积，则与夹角的取值范围是_________.‎ ‎13、在数列中，，若是单调递增数列，则的取值范围为___________．‎ ‎14、已知不等式在时恒成立，则的取值范围是__________________.‎ 三、解答题（共6大题，共80分，写出详细解答过程）‎ ‎15、设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，已知，且构成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎16、已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎ （2）在△中，若，且，求．‎ ‎17、设函数的定义域为，对任意的实数都有；当 时，，且.‎ ‎（1）判断并证明在上的单调性；‎ ‎（2）若数列满足：，且，证明：对任意的，‎ ‎18、已知向量，‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）若函数的最小值为，求的值.‎ ‎19、已知函数，R.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存 在，说明理由.‎ ‎20、设曲线：上的点到点的距离的最小值为,若,,‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求证:；ks5u ‎（3）是否存在常数,使得对,都有不等式:成立?请说明理由.‎ 揭阳第一中学2012—2013学年度第一学期阶段考试 ‎ 高三级数学科参考答案（ ）‎ ‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D A A C B B C D 二、填空题 ‎9、 10、 10 11、 12、 ‎ ‎ 13、 14、 ‎ ‎ 15、解：（1）由已知得，即，结合解得 ‎ ∴ ……………………………………………………………………………6分 ‎ （2）由（1）得，，∴，∴是以为首项，公差的等差数列，∴‎ 即……………………………………………………………………………12分 ‎ 16、解：（1）∵‎ ‎． ……………4分 ‎∵的最小正周期为，为正常数，∴，∴． …ks5u………6分 ‎（2）由（1）可知．设是三角形的内角，则∵，∴．‎ 令，得，∴或，解得或．‎ 由已知，是△的内角，且，‎ ‎∴，，∴． ………ks5u……10分 由正弦定理，得． …………………………12分 ‎17、解：（1）在上单调递增，证明如下： 设任意，且，则 ‎∵，∴，∴‎ 即，∴在上单调递增. ………………6分 ‎（2）在中，令，得.令，‎ 得，∴.令，得，即 ‎ ∴‎ ‎ 下面用数学归纳法证明：……………………………………………………………………9分 ‎ ①当时，，不等式成立；‎ ‎ ②假设当时，不等式成立，即，则∵在上单调递增，‎ ‎ ∴，∴，即当时不等式也成立.‎ 综上①②，由数学归纳法原理可知对任意的，………………14分 ‎18、解：（1）………………2分 ‎ ‎ ‎ ∵，∴ ………………6分 ‎（2）由（1）可得 ‎ ∵，∴ ………………8分 ‎ ①当时，当且仅当时，取得最小值-1，不合题意；‎ ‎ ②当时，当且仅当时，取得最小值，由已知，‎ 解得 ks5u ‎ ③当时，当且仅当，取得最小值，由已知，解得，这与矛盾. ………………………………………………13分 ‎ 综上所述，即为所求. ………………14分 ‎19. 解：（1）函数的定义域为，. ………2分 ‎ ① 当时，，∵ ∴，∴ 函数单调递增区间为 ‎ ‎ ② 当时，令得，即，.‎ ‎ （ⅰ）当，即时，得，故，‎ ‎ ∴ 函数的单调递增区间为. ‎ ‎ （ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为，. ‎ ‎ 若，则，此时，当时，.‎ ‎∴函数的单调递增区间为， ks5u 若，则，此时，当时，，当时， ‎ ‎∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间 为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间. …8分 ‎ ‎（2）由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值； ‎ 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ ‎∴有极大值，其值为，其中.‎ ‎∵，即， ∴. ks5u ‎ 设函数，则，‎ ‎∴在上为增函数，又，则，‎ ‎∴. ‎ 即，结合解得，∴实数的取值范围为. ………14分 ‎20. 解（1）设点,则,∴,‎ ‎ ∵, ∴ 当时,取得最小值,且,‎ ‎ 又,∴,即， 将代入得 ‎ 两边平方，得,又,，‎ ‎∴数列是首项为,公差为的等差数列, ∴,‎ ‎ ∵ ,∴.………………………………………6分 ‎（2）∵,∴‎ ‎ ∴,∴ ∴，‎ ‎∴‎ ‎ 将以上个不等式相加，得.…………………10分 ‎ （Ⅲ）由（1）得,当时, ,‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴， ∴,‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴存在常数,对,都有不等式:成立.（M取值不唯一）……14分 ‎ ‎