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- 2021-04-14 发布
2017-2018学年湖南省醴陵市第二中学高二上学期第四次月考理科数学试卷
全卷共150分 时量：120分钟
一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条.
2.实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. ，或 D. ，或
3．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A， B，C四点共面；
④|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. “m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B.6 C.12 D.7
7. 在如图1所示的空间直角坐标系中,正方体棱长为2，为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点F的坐标为（ ）
图1
A. B.
C. D.
8、双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则n的值为（ ）
A、1 B、4 C、8 D、12
9.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
10．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若，则|QF|＝（ ）
A． B．3 C． D．2
11. 已知平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，
∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值 ( )
A. B. C. D.
12．已知椭圆(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线的准线方程为___________．
14.已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为______________.
15．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(0,1)的距离与点P到直线的距离之和的最小值是________．
16．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为______________.
三、解答题（共70分）
17．(10分)已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．
（1）求m的取值范围；
（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．
18．（12分）是否存在同时满足下列两条件的直线l：
⑴l与抛物线有两个不同的交点A和B；
⑵线段AB被直线l1：垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．
19．（12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、 F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．
20.（12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程；
(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，
证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
21.（12分）
如图,在四棱锥中,平面平面
为的中点.
（1）证明:
（2）求二面角的余弦值.
22.（12分）
已知椭圆的右焦点为左顶点为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）两点.试判断直线与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.
2017年下学期高二年级12月份月考理科数学试卷答案
全卷共150分 考试时间为120分钟
一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( C )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条.
2.实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是（ D ）
A. B.
C. ，或 D. ，或
3．在以下命题中，不正确的个数为( D )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；]
②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A， B，C四点共面；
④|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. “m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( C )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )
A. B. C. D.
6.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( C )
A. B.6 C.12 D.7
7. 在如图1所示的空间直角坐标系中,正方体棱长为2，为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点F的坐标为（ C ）
图1
A. B.
C. D.
8、双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则n的值为（ D ）
A、1 B、4 C、8 D、12
9.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为( A )
A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
10．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若，则|QF|＝（ B ）
A． B．3 C． D．2
11. 已知平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，
∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值 ( C )
A. B. C. D.
12．已知椭圆(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( D )
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线的准线方程为___________．
答案:
14.已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为______________.
答案: －y2＝1
15．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(0,1)的距离与点P到直线的距离之和的最小值是________．
[答案]
16．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为______________.
答案:120°
三、解答题（共70分）
17．(10分)已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．
（1）求m的取值范围；
（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．
1.解：（1）由题意得：，解得：0＜m＜4；..................5分
（2）由题意得：8﹣2=+，解得：m=2或m=﹣4（舍），
故双曲线方程是：x2﹣y2=3，故渐近线方程是：y=±x．..................10分
18．（12分）是否存在同时满足下列两条件的直线l：
⑴l与抛物线有两个不同的交点A和B；
⑵线段AB被直线l1：垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．
2．解：假设存在满足条件的直线l，可设
联解 得 ………………………… 4分
设，，其中点
由△＞0得 且，
∴ 而
故
∴存在这样的直线l，方程为 ………………………… 12分
19．（12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、 F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．
解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)．
设AD＝a，则D(0,0,0)，
A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，
E(a，，0)，P(0,0，a)，F(，，)．… 2分
(1)证明：∵·＝(－，0，)·(0，a,0)＝0，
∴⊥，∴EF⊥CD. ……………5分
(2)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
由，得
，
即，取x＝1，则y＝－2，z＝1，
∴n＝(1，－2,1)， ................8分
∴cos〈，n〉＝＝＝－.………11分
设DB与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝.…………12分
20.（12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程；
(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
8.解 (1)由题意得＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.
所以C的方程为＋＝1. ..................5分
(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2)，M(xM，yM).将y＝kx＋b代入＋＝1得
(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝. ........9分
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. .............12分
21.（12分）
如图,在四棱锥中,平面平面
为的中点.
（1）证明:
（2）求二面角的余弦值.
解：（1）联结因为为的中点,
所以又平面平面交线为
平面所以又
所以…………（5分）
（2）取线段的中点因为所以由（1）知, 故可以为原点, 射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系则…………（6分）
于是
设平面的一个法向量为由得
令得…………（8分）
设平面的法向量为由得
令得…………（10分）
所以易知二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为…………（12分）
22.（12分）
已知椭圆的右焦点为左顶点为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）两点.试判断直线与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.
解：（1）由已知得…………（3分）
所以椭圆的方程为…………（4分）
（2）①当直线与轴垂直时,直线的方程为
联立得解得
此时直线的方程为直线与轴的交点为 …………（6分）
②当直线不垂直于轴时,设直线的方程为
联立得
设则
且即…………（8分）
而由题意知,
即
解得或…………（10分）
当时,满足直线的方程为此时与轴的交点为故直线与轴的交点是定点,坐标为…………（12分）