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- 2021-04-14 发布
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河南省平顶山市2018-2019学年高二下学期期末数学文试题
评卷人
得分
一、单选题
1．设，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将复数化简成形式，
【详解】
，所以
故选B
【点睛】
本题考查复数的基本运算，属于简单题。
2．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
3．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．
考点：线性回归直线.
4．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
特称命题的否定是全称命题。
【详解】
全称命题的否定是特称命题，所以，的否定为，，故选C
【点睛】
本题考查特称命题的否定，属于简单题。
5．的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题利用三角形的面积公式和余弦定理解得，进而得到答案。
【详解】
由题可得的面积为，由余弦定理可知
，所以，整理得，由，所以 ，故选B
【点睛】
本题考查三角形的面积公式以及余弦定理，属于简单题。
6．设在内单调递增；.则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
试题分析：由在内单调递增，得在上恒成立，只需，即，命题等价于命题：，是的充分必要条件，故选C .
考点：1、充分条件与必要条件；2、利用导数研究函数的单调性.
7．若满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．9 B．5 C．11 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
先作出不等式组所表示的可行域，然后平移直线，观察直线在轴上的截距取最大值时对应的最优解，将最优解代入函数即可得出答案。
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，得，点的坐标为，
平移直线，当该直线经过点，它在轴上的截距取最大值，此时，取最大值，即，故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，解题思路就是作出可行域，平移直线观察在坐标轴上的截距变化寻找最优解，是常考题型，属于中等题。
8．已知，，，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】D
【解析】
，（当且仅当时取等号），则，选D.
9．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】
当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
【点睛】
本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
10．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设 ，直线的斜率 ， ，两式相减得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故选D.
11．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．
【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．
12．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
【答案】D
【解析】
【详解】
则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】
判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知圆与抛物线的准线相切，则__________．
【答案】2
【解析】
试题分析：，圆心为，半径为4，抛物线准线为，由圆与直线相切可知
考点：直线和抛物线的性质
14．在中，内角、、满足不等式；在四边形中，内角、、、满足不等式；在五边形中，内角、、、、满足不等式.猜想，在边形中，内角满足不等式__________．
【答案】
【解析】
【分析】
观察分子与多边形边的关系及分母中的系数与多边形边的关系，即可得到答案。
【详解】
在中不等式成立，在四边形中不等式成立，在五边形中不等式成立，所以在边形中不等式成立
【点睛】
本题考查归纳推理，属于简单题。
15．已知椭圆，双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率，利用渐近线的夹角求双曲线的离心率，从而得出答案。
【详解】
如图
正六边形中，，直线即双曲线的渐近线方程为，
由椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，
双曲线的渐近线方程为，则，双曲线的离心率，
所以椭圆与双曲线的离心率之积为
【点睛】
本题考查椭圆的定义和离心率，双曲线的简单性质，属于一般题。
16．中医药是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华文明的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中成药的药物成份的含量（单位：）与药物功效（单位：药物单位）之间具有关系：.检测这种药品一个批次的5个样本，得到成份的平均值为
，标准差为，估计这批中成药的药物功效的平均值为__________药物单位．
【答案】92
【解析】
【分析】
由题可得，
进而可得，再计算出，从而得出答案。
【详解】
5个样本成份的平均值为，标准差为，所以，，
即，解得
因为，
所以
所以这批中成药的药物功效的平均值药物单位
【点睛】
本题考查求几个数的平均数，解题的关键是求出，属于一般题。
评卷人
得分
三、解答题
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角兴中，注意这个隐含条件的使用.
试题解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.
故PA＝. 5分
（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得，
化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝. 12分
考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.
18．已知数列和满足，
（1）求与；
（2）记数列的前项和为，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.
试题解析：（1）由，得.
当时，，故.
当时，，整理得，
所以.
（2）由（1）知，
所以
所以
所以.
考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.
19．某手机代工厂对生产线进行升级改造评估，随机抽取了生产线改造前、后100个生产班次的产量进行对比，改造前、后手机产量（单位：百部）的频率分布直方图如下：
（1）记表示事件：“改造前手机产量低于5000部”，视频率为概率，求事件的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关：
手机产量部
手机产量部
改造前
改造后
（3）根据手机产量的频率分布直方图，求改造后手机产量的中位数的估计值（精确到0.01）.
参考公式：随机变量的观测值计算公式：，其中.
临界值表：
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）0.62（2）有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关，详见解析（3）（百部）
【解析】
【分析】
（1）由改造前的频率分布直方图计算前五个小长方形的面积即可得到答案。
（2）由频率分布直方图补充表格，计算随机变量的观测值与临界值表中的数据比较即可得结论。
（3）先估计中位数所在区间，然后利用中位数左右两侧长方形面积相等列式计算即可。
【详解】
解：（1）改造前手机产量低于5000部的频率为，
因此，事件的概率估计值为0.62．
（2）根据手机产量的频率分布直方图得列联表：
手机产量部
手机产量部
改造前
62
38
改造后
34
66
由于，
故有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关．
（3）因为改造后手机产量的频率分布直方图中，
手机产量低于5000部的直方图面积为，
手机产量低于5500部的直方图面积为，
所以中位数在之间，设改造后手机产量的中位数为，
则
故改造后手机产量的中位数的估计值为（百部）．
【点睛】
本题考查由频率分布直方图计算概率与中位数，独立性检验，属于简单题。
20．已知抛物线：的焦点为，过作互相垂直的直线,分别与交于点、和、.
（1）当的倾斜角为时，求以为直径的圆的标准方程；
（2）问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在，使得恒成立，详见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可设的方程为，代入可得，通过韦达定理与中点坐标公式求出的中点坐标，即圆心坐标，由焦点弦公式求出直径，进而得出答案。
（2））假设存在常数，设直线的方程为，则直线的方程为．将的方程代入得：，利用韦达定理与弦长公式可得，，列式解出常数
【详解】
解：（1）由题意可设的方程为，代入可得．
所以，由韦达定理得，所以
所以的中点坐标为，即圆心坐标为
又，所以半径
所以以为直径的圆的方程为．
（2）假设存在常数，使得恒成立．
设直线的方程为，则直线的方程为．
将的方程代入得：．
由韦达定理得：，，
所以．
同理可得．
所以．
因此，存在，使得恒成立．
【点睛】
本类题型常用的方法是设而不求法，即设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理，弦长公式等结合题意解答。
21．已知函数，.
（1）若在区间上单调，求的取值范围；
（2）设，求证：时，.
【答案】（1）或（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）在区间上单调且是增函数，所以或，进而得到答案。
（2）令，，由的导函数研究的单调性并求出最小值，则可知在时是增函数，从而证得答案。
【详解】
解：（1）∵ 是增函数．
又∵在区间上单调，
∴ 或．
∴ 或
（2）令．
∵ ，．
∴ 时，是减函数，时，是增函数，
∴ 时，．
∵ ，∴．
∴ 在时是增函数．
∴ ，即．
【点睛】
本题考查函数的单调性以及利用导函数证明不等式问题，解题的关键是令，属于偏难题目。
22．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）将直线：（为参数）化为极坐标方程；
（2）设是（1）中的直线上的动点，定点，是曲线上的动点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先将直线的参数方程化为普通方程，再由可将直线的普通方程化为极坐标方程；
（2）将点的极坐标化为直角坐标，点所在曲线的方程化为普通方程，可知该曲线为圆，利用当、、与圆心四点共线且点为圆心与点连线线段与圆的交点时，取得最小值，可得出答案。
【详解】
（1）消去参数得， 即，
∴直线的极坐标方程为．
（答案也可以化为）
（2）∵的直角坐标为，
曲线是圆：（为圆心）．
∴．
∴的最小值为（这时是直线与直线的交点）．
【点睛】
本题第（1）问考查的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，第（2）问考查圆的几何性质，考查折线段长度的最小值问题，做题时充分利用数形结合思想来求解，属于中等题。
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数，，
（Ⅰ）当时，解不等式：；
（Ⅱ）若，且当时，，求的取值范围。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（I）当=-2时，不等式＜化为，
设函数=，=，
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是.
（Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为，
∴对∈[，)都成立，故，即≤，
∴的取值范围为（-1，].
考点：绝对值不等式解法，不等式恒成立问题。
点评：中档题，绝对值不等式解法，通常以“去绝对值符号”为出发点。有“平方法”，“分类讨论法”，“几何意义法”，不等式性质法等等。不等式恒成立问题，通常利用“分离参数法”，建立不等式，确定参数的范围。