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- 2021-04-14 发布
南昌十中2019-2020学年第一学期期中考试高三数学（文科）
试题
第I卷(选择题)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.设集合， ， ，则
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
【分析】
先求，再求．
【详解】因为，
所以.
故选D．
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.已知为虚数单位，满足,则复数所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数计算公式化简得到答案.
【详解】
复数所在的象限为第二象限.
故选
【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题型.
3.已知函数在处可导,若,则 （ ）
A. 2 B. 1 C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件得到，计算得到答案.
【详解】
即
故选
【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.
4.已知等差数列的前n项和为，且，则＝（ ）
A. 0 B. 10 C. 15 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】
利用，结合求得结果.
【详解】由等差数列性质可知：
本题正确选项：
【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.
5.设向量，，且，则m等于
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出关于的表达式，解方程即可得结果.
【详解】由题意，可知：
，．
，．
，
，解得：．
故选B．
【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标表示以及向量的模计算，意在考查对基础知识的掌握与应用，属基础题．
6.已知命题函数在定义域上为减函数，命题在中，若 ，则，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先确定命题p,q的真假，然后逐一考查所给的选项的真假即可.
【详解】函数在定义域上不是单调函数，命题p为假命题；
在中，当时，满足，但是不满足，命题q为假命题；
据此逐一考查所给命题的真假：
A.为假命题；
B.为真命题；
C.为假命题；
D.为假命题；
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，复合命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，
，
，又，则，所以即，
，
所以，故选C．
【考点】指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
8.已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意得 ，选B.
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.
9.若实数满足，则关于的函数的图象形状大致是 ( )
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
用特例法，分别计算时，的值，进而可得出结果.
【详解】当时，排除C，D; 当时，排除A所以应选B．
考点：判断图像形状，特殊值法应用．
【点睛】特例法具有简化运算和推理
功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在不同特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．
第三，选择题小题不可大作．
10.在中，角，，对应边分别为，，，已知三个向量，，共线，则形状为（ ）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
由题意得： ，由正弦定理得同理可得 ，所以三角形为等边三角形，选A
11.正四棱锥的侧棱长为,底面ABCD边长为2,E为AD的中点,则BD与PE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取中点为，连接，得到 BD与PE所成角为，在中，利用余弦定理得到答案.
【详解】如图所示：取中点为，连接，易知
故BD与PE所成角为
在中，
利用余弦定理得到：
解得
故选
【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
12.已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
关于对称的函数为，将问题转化为与图像有交点的问题来解决.令，将其变为两个函数，利用导数研究这两个函数的图像，由此求得的取值范围.
【详解】关于对称的函数为，所以原问题等价于与
图像有交点，令化简得，对于，，故其在上递减，在上递增，由此画出和的图像如下图所示.要使有解，直线的斜率要介于切线的斜率和直线的斜率之间.当时，，即，所以.设，，故切线的方程为，将原点坐标代入得，解得，故，所以斜率的取值范围是，故选D.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.由于题目涉及还有这两个条件，可以想到和互为反函数，它们的图像关于对称.由此将问题转化为和图像有交点的问题来解决.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若函数为偶函数，则 ．
【答案】1
【解析】
试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，
．
考点：函数的奇偶性．
【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．
14.设，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
15.定义在R上的函数满足当时， ，_________．
【答案】338
【解析】
【分析】
确定函数是的周期函数，计算一个周期的函数值和为1，再计算得到答案.
【详解】故函数是的周期函数.
故
故答案为
【点睛】本题考查了周期函数的计算，确定一个周期的函数和值是解题的关键.
16.已知定义在R上的单调递增奇函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数单调性和奇偶性得到，换元，利用均值不等式得到
，计算得到答案.
【详解】定义在R上的单调递增奇函数
故即
设
变换为：
当即时等号成立，故
故答案为
【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，均值不等式，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.数列满足，，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
试题分析：（1）将的两边同除以 ，得到，由等差数列的定义，即可作出证明；
（2）有（1）求出，利用错位相减法即可求解数列的前项和.
试题解析：
(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1.
所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.
从而bn＝n·3n.
Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①
3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②
①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1
＝－n·3n＋1
＝.
所以Sn＝.
点睛：本题主要考查了等差数列的定义、等差数列的判定与证明和数列的求和，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本的解答中利用等差数列的定义得到数列为等差数列，求解的表达式，从而化简得到，利用乘公比错位相减法求和中，准确计算是解答的一个难点.
18.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500以上为常喝，体重超过50为肥胖．
常喝
不常喝
合计
肥胖
2
不肥胖
18
合计
30
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；
（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中）
【答案】（1）列联表见解析；（2）有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；（3）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据题中不常喝碳酸饮料的肥胖人数和不肥胖人数及总人数即可完成列联表；（2）利用公式求出的值，与临界值比较即可得到把握性大小；（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为、、、，女生为、，列举出任选两人的所有取法，从中找出正好抽到一男一女的取法即得概率.
试题解析：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有人，，，
常喝
不常喝
合计
肥胖
6
2
8
不肥胖
4
18
22
合计
10
20
30
（2）由已知数据可求得：，因此有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．
（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为、、、，女生为、，则任取两人有,,,,,,,,,,,,,共15种，
其中一男一女有，，，，，，，共8种，
故抽出一男一女的概率为．
考点：相关性检验与古典概型中某事件的概率.
19.如图，在梯形中，已知，，，，.
求：（1）的长；
（2）的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）在三角形ADC中，已知两角和一边，求一边，应用正弦定理求解：先利用三角形内角和为，以及两角和正弦公式求CD对应角的正弦值，再根据正弦定理解出CD（2）在三角形BDC中，已知BD，CD，以及由平行条件得的正切值，进而可求其余弦值，再由余弦定理得BC，最后根据三角形面积公式得
试题解析：（1）因为，所以．
所以
，
在△中，由正弦定理得．
（2）因为， 所以．
在△中，由余弦定理，
得，解得，
所以.
考点：正余弦定理
20.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．
（1）证明：；
（2）若，求C到平面的距离．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【详解】试题分析：（1）证线线垂直，可证线面垂直，证平面，可得到线线垂直；（2）由等体积的方法得到三棱锥的体积，进而求得点面距离．
解析：
（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以．
又，因此．
因为平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．
又平面，
所以．
（2）由条件可得
所以的面积为
设C到平面的距离为,则
三棱锥的体积
所以,从而
即C到平面的距离为
21.
已知函数f（x）=，其中a>0.
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）y=6x-9（Ⅱ）0<a<5
【解析】
试题分析：（1）利用导数求切线斜率即可；
（2）在区间上，恒成立恒成立，令，解得或，以下分两种情况，讨论，分类求出函数最大值即可.
试题解析：（1）当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3；f' (x)＝3x2－3x， f' (2)＝6．
所以曲线y＝f(x) 在点（2，f(2)）处的切线方程y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9．
（2）f' (x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)，令f' (x)＝0，解得x＝0或x＝．
以下分两种情况讨论：
①若0＜a≤2，则≥，当x变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表：
x
（－，0）
0
（0，）
f' (x)
＋
0
－
f(x)
递增
极大值
递减
当xÎ[－，]上，f(x)＞0等价于，即解不等式组得－5＜a＜5．因此0＜a≤2．
②若a＞2，则0＜＜，当x变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表：
X
（－，0）
0
（0，）
（，）
f' (x)
＋
0
－
0
＋
f'(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
当xÎ[－，]上，f(x)＞0等价于，即解不等式组得＜a＜5，或a＜－．因此2＜a＜5． 综合①和②，可知a的取值范围为0＜a＜5．
点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数函数在某点处的切线方程即函数在某点处的导数即为函数在该点处的切线斜率；考查恒成立问题，除了上述方法外还可正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题积分.(本题10分)
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为,（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)直接写出直线、曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ)设曲线上的点到与直线的距离为，求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)两式相加消去参数，即得直线的普通方程，利用二倍角公式和进行求解；(Ⅱ)设出椭圆上点的参数坐标，再利用点到直线的距离公式和配角公式、三角函数的性质进行求解．
试题解析：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为，
因为，所以，则，
即曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）∵曲线的直角坐标方程为，即，
∴曲线上的点的坐标可表示为.
∵，∴
，∴的最小值为，的最大值为.∴，
即的取值范围为.
考点：1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的转化；2.点到直线的距离公式．
23.
已知函数，不等式的解集为.
（1）求；
（2）记集合的最大元素为，若正数满足，求证：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用零点分段法去绝对值，将原函数写成分段函数，由此可求解得不等式的解集.（2）由（1）得，即，利用分析法和基本不等式，可将不等式右边，两两组合并缩小为左边的形式，由此证得不等式成立.
试题解析：
（1）由零点分段法化为:或或或，所以集合.
（2）集合中最大元素为，所以，其中，因为，
三式相加得：.