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- 2021-04-14 发布
辽宁省实验中学2020届高三下学期学期第下学期五次模拟考试
数学文科试卷
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数（是虚数单位），则在复平面内，的共轭复数对应的点在第（ ）象限。
A．一 B．二 C．三 D． 四
3. 已知为正数，则“”是“ ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
4.数学家莱布尼茨(1646—1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制，不过他认为在此之前，中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。在二进制中，只需用到两个数字0和1就可以表示所有的自然数，例如二进制中的数11，转化为十进制的数为3，记作，则二进制中的转化为十进制的数为（ ）
A．1023 B．1024 C．2047 D． 2048
5. 已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．-7 B．-6 C．1 D． 6
6. 用随机试验的方式估算圆周率，可以向图中的正方形中随机撒100粒沙粒，统计得到正方形内切圆中有81粒沙粒，则可据此试验结果估算圆周率约为（ ）
A．2.03 B．3.05
C．3.14 D．3.24
7. 如图所示是某多面体的三视图，左上为主视图，右上为左视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
8. 如图的框图中，若输入，则输出的的值为（ ）
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A．3 B．4 C．5 D． 6
9. 已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10. 已知函数（，，）的图象与轴交于点，在轴右边到轴最近的最高坐标为，则不等式的解集是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11. 己知函数的最小值为，最大值为，若，则数列是（ ）
A．公差不为零的等差数列 B．公比不为1的等比数列
C．常数列 D．以上都不对
12. 已知函数，若对于任意的，以为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题纸相应位置上。
13. 已知向量，向量，则______.
14. 若圆与两条直线和都有公共点，则的范围是______.
15. 已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是______.
16. 已知抛物线：上有一动点，则动点到点两定点距离之差的取值范围为______.
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三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)如图所示，圆锥的侧面积是底面积的2倍，线段为圆锥底面的直径，在底面内以线段为直径作，点为上异于点的动点。
（1）证明：平面平面；
（2）已知，当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离。
18.(本小题满分12分) 已知中，分别为角的对边，且
（1）求角；
（2）若，求的最大值。
19.(本小题满分12分) 疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了送餐盒到班级用餐的服务。运营一段时间后，食堂为了调研同学们对送餐服务的满意程度，从高三年级500名同学中抽取了20名同学代表对送餐服务进行打分，满分100分，同学们打分的分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）从成绩在的学生中任选人，求此人的成绩都在中的概率；
（3）若打分超过6
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0分可视为对送餐服务满意，用样本的统计结果估计总体，请估计全年级有多少同学对送餐服务满意．
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中抛物线的方程为，点在抛物线上，且到抛物线的准线的距离为3。
（1）求抛物线的方程，并给出其焦点的坐标；
（2）过定点且不经过点的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点。请问直线的斜率是否为定值？若是，求此定值；若不是，请证明你的结论。
21.(本小题满分12分) 已知函数，、
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若对于任意的，不等式，恒成立，求的范围。
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)已知曲线的极坐标方程为，直线：，直线：．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求直线，的直角坐标方程以及曲线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于，两点，直线与曲线C交于，两点，求的面积．
23.(本小题满分10分)设函数．
（1）设的解集为，求集合；
（2）已知为（1）中集合中的最大整数，且（其中，，为正实数），
求证：．
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辽宁省实验中学2020届高三下学期第下学期五次模拟考试
数学文科试卷答案
一、选择题：BDCABD ACBDCC
二、填空题：13. ； 14. ； 15. 2； 16.
三、解答题：
17. 解：（1）证明：∵垂直于圆锥的底面，∴，又∵为的直径，∴，∴平面，∴平面平面。
（2）设圆锥的母线长为，底面半径，∴圆锥的侧面积为，底面积为，∴依题意，∴。∴，∴为正三角形，∴。在三棱锥中，∵，∴面积最大时三棱锥的体积最大，此时，∴。做于点，∴，∵平面平面，为交线，，∴平面，∴即为点到平面的距离，又∵点为中点，∴点到平面的距离为。
18. 解：（1）由正弦定理得，∴，
∴，∴，∴。
（2）取的外接圆半径为，∵，∴，∴，
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当时，为最大值。
19. 解：（1）∵,∴,∴。
（2）成绩在的人数=人，成绩在中的学生人数=人，
用a,b表示成绩在的2名学生，用c,d,e表示成绩在的3名学生,从5人中任取2人，具体是ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de。共有10种情形。符合条件的有3种（cd,ce,de），∴概率。
（3）样本20人中有18人打分成绩超过60分，即有的学生对送餐服务满意。用样本的统计结果估计总体，则全年级500人中，约有人对送餐服务满意。
20. 解：（1）∵点到抛物线的准线的距离为3，∴准线方程为，∴抛物线的方程为，其焦点坐标为。
（2）依题意直线不与坐标轴垂直，故可取其方程为，代入可得
，其判别式为，∴或，
取为与的交点，∴
∵都在曲线上，∴可设其坐标为。∵直线过点，∴可设其方程为，代入得，∴，∴，∴点的坐标为，同理点的坐标为，∴直线的斜率为定值。
21.解：（1）∵，定义域为
若，则成立，∴在区间单调递增；
若，则在区间单调递减，在区间单调递增。
（2）原命题可化为，恒成立。取，
∴，∴。
若，即，∴存在使得，，所以
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在单调递减，
又∵，所以，∴在单调递减，又∵，∴，不合题意，∴
若，则成立，若，可知在单调递增，∴，。∴时，，，∴在单调递增，
∴，，∴在单调递增，∴，。
综上，的范围为。
22. 解：（1）依题意，直线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，
由，得，，，，
，即，∴曲线的参数方程为（为参数）.
（2）由，得，
由，得，又∵
所以的面积．
23.解：（1）即
当时，不等式化为，∴；
当时，不等式化为，不等式恒成立；
当时，不等式化为，∴.
综上，集合
（2）由（1）知，∴.∴，同理
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，
∴，即.
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