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- 2021-04-14 发布
中山市第一中学2017-2018学年高二第二次统测 数学（理）试题
命题人： 审题人：
一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共12个小题，每小题5分）
1．“”是“”是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．在数列1，2，，，，…中，是这个数列的第（ ）
A．16项 B．24项 C．26项 D．28项
3．在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．或 B． C． D．或
4．下列各式中最小值是2的是（ ）
A．＋ B． C． D．
5．数列满足且，则使的的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．在中，角，，的对边分别为，，，且，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是（ ）
A． B． C． D．
7．在等比数列中，若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．16
8．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
9．已知正数，满足，则＋的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，，，若为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
11．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．定义为个正数，，，的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
13．若数列的前项和，则它的通项公式为________．
14．已知一个动圆与圆C：相内切，且过点A（4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程是_______________．
15．已知，其中，满足，且的最大值是最小值的4倍，则实数的值是________．
16．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则 ____________．
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）在中，角，，的对边分别为，，．
（1）已知，，，求的大小；
（2）已知，，，求的大小．
18．（本小题满分12分）已知椭圆C：（）上一点到它的左右焦点，的距离的和是6．
（1）求椭圆C的离心率的值；
（2）若轴，且在轴上的射影为点，求点的坐标．
19．（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
20．（本小题满分12分）某种设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种设备的维修费各年为：第一年2千元， 第二年4千元， 第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增．问这种设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）?
21．（本小题满分12分）
已知数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，其前项和为；数列是等差数列，，其前项和满足(为常数，且)．
（1）求数列的通项公式及的值；
（2）比较与的大小．
22．（本小题满分12分）
已知为数列的前项和且满足，在数列中满足，
（）
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列；
（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求．
中山市第一中学2017-2018学年高二第二次统测
数学（理）试题参考答案
一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共12个小题，每小题5分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
D
C
D
B
D
A
A
C
C
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
13．； 14．； 15．； 16．．
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在中，角，，的对边分别为，，．
（1）已知，，，求的大小；（2）已知，，，求的大小．
解：（1），所以在中，， ……………2分
由正弦定理有；…………………………………5分
（2）由余弦定理有，………7分
于是，， ……………………………………9分
． ………………………………………10分
18．（本小题满分12分）
已知椭圆C：（）上一点到它的左右焦点，的距离的和是6．
（1）求椭圆C的离心率的值；
（2）若轴，且在错误！未找到引用源。轴上的射影为点，求点的坐标．
解：（1）依题意得：， ………………………2分
又，，………………………4分
； ……………………………………6分
（2），， ………………………8分
将代入得， ………………………10分
点在轴上的射影为为或．……………………………………12分
19．（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
解：（1）∵，∴，………………………1分
由正弦定理可得：，…………………………………2分
∴． ……………………………………3分
又角为内角，∴， ……………………………………4分
∴．又， ……………………………………5分
∴． ……………………………………6分
（2）由，得， ……………………………………8分
又， ……………………………………10分
∴， ……………………………………11分
所以的周长为． ……………………………………12分
20．（本小题满分12分）
某种设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种设备的维修费各年为：第一年2千元， 第二年4千元， 第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增．问这种设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）?
解：设使用x年的年平均费用为y万元．
由已知得： ………………………3分
即（） ………………………………………………5分
由均值不等式知： ………………………………………8分
当且仅当=即时取“等号”， …………………………………10分
因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．…………………………………12分
21．（本小题满分12分）
已知数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，其前项和为；数列是等差数列，，其前项和满足(为常数，且)．
（1）求数列的通项公式及的值；
（2）比较与的大小．
解：（1）由题意得：，即，解得，
；
设数列的公差为d，
于是，即，即，
解得或（舍去），．…………………………………4分
（2）由（1）知数列的前项和为，
，
∴
， ① …………………………………8分
而数列的前项和为，
， ②
由①②可知．…………………………………12分
22．（本小题满分12分）
已知为数列的前项和且满足，在数列中满足，（）
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列；
（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求．
解：（1）， 当时，，
两式相减得，
又当时，，
综上，数列是公比为2，首项为2的等比数列，于是； …………………4分
（2）∵，∴，
又∵ ，∴
综上，数列是公差为1，首项为1的等差数列，；………………8分
（3）令
两式相减得
． …………………………………12分