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- 2021-04-14 发布
长安一中2017～2018学年度第一学期期末考试
高二数学试题（文科）
命题人：贺永安审题人：罗理想
一、选择题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.命题“若，则”的否命题是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则.
2.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A.抽签法 B.系统抽样法C.分层抽样法D. 随机数法
3.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）
A.2 B.1 C. D.
4.设，若，则等于( )
A． B． C. D．
5.为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田．这块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．的平均数 B．的标准差
C．的最大值 D．的中位数
6.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则和的值分别为( )
A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，7
7.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至
2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
8.根据如下样本数据：
3
4
5
6
7
8
4.0
2.5
0.5
得到的回归方程为，则（）
A. , B. , C. , D. ,
9. “”是“的最小正周期为”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是( )
A．在区间上是增加的
B．在区间上是减少的
C．在区间上是增加的
D．当时，取到极小值
11.已知命题；命题若,则.下列命题为真命题的是( )
A． B. C. D.
12.已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）
A. B.C.D.
13.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据统计该运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A.0.852 B.0.8192 C.0.8 D.0.75
14.若函数满足为自然对数底数），其中为的导函数，则当时，的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题纸相应的位置）.
15.记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是.
16.若函数在上存在递增区间，则的取值范围是________．
17.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于,两点，则________.
18.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是．
三、解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
19.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家和3个欧洲国家中选择2个国家去旅游.
（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括但不包括的概率.
20.设函数，若函数在处与直线相切．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数在上的最大值．
21.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
22.设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.
23.已知.
（Ⅰ）对一切恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）证明：对一切，都有成立．
长安一中2017～2018学年度第一学期期末考试
高二数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
A
C
D
B
B
A
A
C
A
C
B
D
D
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题纸相应的位置）.
15. 16. 17. 12 18.
三、解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
19.解：（1）由题意得，从6个国家中人员两个国家，其一切可能的结果组成基本事件有：
，，，，，
，，共15个. ………3分
所选两个国家都是亚洲的事件包含的基本事件有：，，，共3个，所以所求事件的概率为.……………………………………………………6分
（2）从亚洲国家和欧洲国家中任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，，共9个，包含但不包含的事件所包含的基本事件有共2个.……10分
所以所求事件的概率为.……………………………………………………………12分
20.解：(1)由题意可得f′(x)＝－2bx，………2分
∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
∴解得………6分
(2)由(1)知，f(x)＝ln x－x2，则f′(x)＝－x＝，
当≤x≤e时，令f′(x)>0，得≤x<1，令f′(x)<0，得10)，则h′(x)＝，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)是减少的，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)是增加的，
所以h(x)min＝h(1)＝4.
因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.………5分
(2)证明：问题等价于xln x>－(x∈(0，＋∞))．f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，
当且仅当x＝时取到，设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，
易知m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到．
从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．………………………12分