2014年高考数学（理科）真题分类汇编C单元　三角函数 33页

‎ 数 学 ‎ ‎ C单元　三角函数 ‎ C1 角的概念及任意角的三角函数 ‎6．C1、C3[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　)‎ 图11‎ ‎　　　 A　 　　　 　　　　　B ‎　　　 C　 　　　　　　　　D ‎6．C　[解析] 根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，△OPM的面积为|sin xcos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin xcos x|＝|sin 2x|，且当x＝时上述关系也成立， 故函数f(x)的图像为选项C中的图像．‎ C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ‎16．C2、C4、C6[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.‎ ‎(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎16．解：方法一：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝.‎ 所以f(α)＝×－ ‎＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋－ ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝sin，‎ 所以T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋－ ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝sin.‎ ‎(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，‎ 从而f(α)＝sin＝sin＝.‎ ‎(2)T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎17．C2，C3，C4[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)若f＝，求cos的值．‎ ‎17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，‎ 所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….‎ 因为－≤φ＜，‎ 所以φ＝－.‎ ‎(2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝，‎ 所以sin＝.‎ 由＜α＜得0＜α－＜，‎ 所以cos＝＝＝.‎ 因此cos ‎＝sin α ‎＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎＝×＋× ‎＝.‎ C3 三角函数的图象与性质 ‎9．C3[2014·辽宁卷] 将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎9．B　[解析] 由题可知，将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin的图像，令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数单调递增，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，可知当k＝0时，函数在区间上单调递增．‎ ‎3．C3[2014·全国卷] 设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)‎ A．a>b>c B．b>c>a ‎ C．c>b>a D．c>a>b ‎3．C　[解析] 因为b＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b＞a.因为cos 35°<1，所以 >1，所以>sin 35°.又c＝tan 35°＝>sin 35°，所以c>b，所以c>b>a.‎ ‎6．C1、C3[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　)‎ 图11‎ ‎　　　 A　 　　　 　　　　　B ‎　　　 C　 　　　　　　　　D ‎6．C　[解析] 根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，△OPM的面积为|sin xcos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin xcos x|＝|sin 2x|，且当x＝时上述关系也成立， 故函数f(x)的图像为选项C中的图像．‎ ‎14．C3、C5[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．‎ ‎14．1　[解析] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x，故其最大值为1.‎ ‎17．C2，C3，C4[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)若f＝，求cos的值．‎ ‎17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，‎ 所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….‎ 因为－≤φ＜，‎ 所以φ＝－.‎ ‎(2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝，‎ 所以sin＝.‎ 由＜α＜得0＜α－＜，‎ 所以cos＝＝＝.‎ 因此cos ‎＝sin α ‎＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎＝×＋× ‎＝.‎ C4　函数的图象与性质 ‎3．C4[2014·四川卷] 为了得到函数y＝sin (2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin 2x的图像上所有的点(　　)‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度 ‎3．A　[解析] 因为y＝sin(2x＋1)＝sin2，所以为得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需要将y＝sin 2x的图像向左平行移动个单位长度．‎ ‎11．C4[2014·安徽卷] 若将函数f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．‎ ‎11.　[解析] 方法一：将f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位，得到y＝sin的图像，由该函数的图像关于y轴对称，可知sin＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以当φ>0时，φmin＝.‎ 方法二：由f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y轴对称可知，－2φ＝＋kπ，k∈Z，又φ>0，所以φmin＝.‎ ‎14．C4[2014·北京卷] 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．‎ ‎14．π　[解析] 结合图像得＝－，即T＝π.‎ ‎16．C2、C4、C6[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.‎ ‎(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎16．解：方法一：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝.‎ 所以f(α)＝×－ ‎＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋－ ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝sin，‎ 所以T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋－ ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝sin.‎ ‎(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，‎ 从而f(α)＝sin＝sin＝.‎ ‎(2)T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎7．C4、C5[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A．l1⊥l4 ‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 ‎ D．l1与l4的位置关系不确定 ‎7．D　[解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．‎ 如图所示，在正方体ABCD A1B‎1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AB是直线l3，则DD1是直线l4，l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，CC1是直线l3，CD是直线l4，则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．‎ ‎17．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：‎ f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差．‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于‎11℃‎，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎17．解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.‎ 故实验室这一天的最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎.‎ ‎(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin>11，‎ 即sin<－.‎ 又0≤t<24，因此4，解得m>2或m<－2，故m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．‎ ‎16．F2，C4[2014·山东卷] 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点和点.‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．‎ ‎16．解：(1)由题意知，f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.‎ 因为y＝f(x)的图像过点和点，‎ 所以 即 解得m＝，n＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.‎ 由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.‎ 设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．‎ 由题意知，x＋1＝1，所以x0＝0，‎ 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．‎ 将其代入y＝g(x)得，sin＝1.‎ 因为0<φ<π，所以φ＝.‎ 因此，g(x)＝2sin＝2cos 2x.‎ 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，‎ 所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎2．C4[2014·陕西卷] 函数f(x)＝cos的最小正周期是(　　)‎ A. B．π C．2π D．4π ‎2．B　[解析] 已知函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期为T＝，故函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎16．C4，C5，C6，C7[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．‎ ‎16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋≤x≤＋，k∈Z.‎ 所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，‎ 所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，‎ 得α＝＋2kπ，k∈Z，‎ 此时，cos α－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ ‎15．C4、C5、C6[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．‎ ‎15．解：(1)由已知，有 f(x)＝cos x·－cos2x＋ ‎＝sin x·cos x－cos2x＋ ‎＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝sin，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，‎ 所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.‎ ‎4．C4[2014·浙江卷] 为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝cos 3x的图像(　　)‎ A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 ‎4．C　[解析] y＝sin 3x＋cos 3x＝cos＝cos，所以将函数y＝cos 3x的图像向右平移个单位可以得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，故选C.‎ ‎17．C2，C3，C4[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)若f＝，求cos的值．‎ ‎17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，‎ 所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….‎ 因为－≤φ＜，‎ 所以φ＝－.‎ ‎(2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝，‎ 所以sin＝.‎ 由＜α＜得0＜α－＜，‎ 所以cos＝＝＝.‎ 因此cos ‎＝sin α ‎＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎＝×＋× ‎＝.‎ C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 ‎14．C3、C5[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．‎ ‎14．1　[解析] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x，故其最大值为1.‎ ‎16．C5、C8[2014·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求sin的值．‎ ‎16．解： (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝＝，所以由正弦定理可得a＝2b·.‎ 因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 .‎ ‎(2)由余弦定理得cos A＝＝＝‎ ‎－.因为011时，实验室需要降温．‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin>11，‎ 即sin<－.‎ 又0≤t<24，因此c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：‎ ‎(1)a和c的值；‎ ‎(2)cos(B－C)的值．‎ ‎17．解：(1)由·＝2得c·a·cos B＝2，‎ 又cos B＝，所以ac＝6.‎ 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，‎ 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.‎ 解得或 因为a＞c，所以a＝3，c＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.‎ 由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.‎ 因为a＝b＞c，所以C为锐角，‎ 因此cos C＝＝＝.‎ 所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.‎ ‎17．C8，C5 [2014·全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.‎ ‎17．解：由题设和正弦定理得 ‎3sin Acos C＝2sin Ccos A，‎ 故3tan Acos C＝2sin C.‎ 因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，‎ 所以tan C＝.‎ 所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]‎ ‎＝－tan(A＋C)‎ ‎＝ ‎＝－1，‎ 所以B＝135°.‎ ‎8．C5[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ ‎8．C　[解析] tan α＝＝＝‎ ＝＝tan，因为β∈，所以＋∈，又α∈且tan α＝tan，所以α＝，即2α－β＝.‎ ‎13．C5，C8[2014·四川卷] 如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是‎46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)‎ 图13‎ ‎13．60　[解析] 过A点向地面作垂线，记垂足为D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝67°，AD＝‎46 m，∴AB＝＝＝50(m)，‎ 在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝67°－30°＝37°，AB＝‎50 m，‎ 由正弦定理得，BC＝＝60 (m)，‎ 故河流的宽度BC约为‎60 m.‎ ‎16．C4，C5，C6，C7[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．‎ ‎16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋≤x≤＋，k∈Z.‎ 所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，‎ 所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，‎ 得α＝＋2kπ，k∈Z，‎ 此时，cos α－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ ‎15．C4、C5、C6[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．‎ ‎15．解：(1)由已知，有 f(x)＝cos x·－cos2x＋ ‎＝sin x·cos x－cos2x＋ ‎＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝sin，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，‎ 所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.‎ ‎10．C8，C5[2014·重庆卷] 已知△ABC的内角A，B，C满足sin ‎2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>16 ‎ C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24‎ ‎10．A　[解析] 因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin ‎2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋，即sin ‎2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋，‎ 所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋，‎ 所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋， ‎ 所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以sin Asin Bsin C＝.‎ 由1≤S≤2，得1≤bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2，所以1≤≤2，即2≤R≤2　，所以bc(b＋c)>abc＝8R3sin A sin Bsin C＝R3≥8.‎ C6 二倍角公式 ‎15．H4、C6[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．‎ ‎15.　[解析] 如图所示，根据题意，OA⊥PA，OA＝，OP＝，所以PA＝＝2 ，所以tan∠OPA＝＝＝，故tan∠APB＝＝，‎ 即l1与l2的夹角的正切值等于.‎ ‎16．B5、C6[2014·全国卷] 若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间是减函数，则a的取值范围是________．‎ ‎16．(－∞，2]　[解析] f(x)＝cos 2x＋asin x＝－2sin2x＋asin x＋1，令sin x＝t，则f(x)＝－2t2＋at＋1.因为x∈，所以t∈，所以f(x)＝－2t2＋at＋1，t∈.因为f(x)＝cos 2x＋asin x在区间是减函数，所以f(x)＝－2t2＋at＋1在区间上是减函数，又对称轴为x＝，∴≤，所以a∈(－∞，2]．‎ ‎16．C2、C4、C6[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.‎ ‎(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎16．解：方法一：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝.‎ 所以f(α)＝×－ ‎＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋－ ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝sin，‎ 所以T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋－ ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝sin.‎ ‎(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，‎ 从而f(α)＝sin＝sin＝.‎ ‎(2)T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎16．C4，C5，C6，C7[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．‎ ‎16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋≤x≤＋，k∈Z.‎ 所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，‎ 所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，‎ 得α＝＋2kπ，k∈Z，‎ 此时，cos α－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ ‎15．C4、C5、C6[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．‎ ‎15．解：(1)由已知，有 f(x)＝cos x·－cos2x＋ ‎＝sin x·cos x－cos2x＋ ‎＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝sin，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，‎ 所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.‎ C7 三角函数的求值、化简与证明 ‎16．C5、C7[2014·广东卷] 已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.‎ ‎17．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：‎ f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差．‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于‎11℃‎，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎17．解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.‎ 故实验室这一天的最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎.‎ ‎(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin>11，‎ 即sin<－.‎ 又0≤t<24，因此c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：‎ ‎(1)a和c的值；‎ ‎(2)cos(B－C)的值．‎ ‎17．解：(1)由·＝2得c·a·cos B＝2，‎ 又cos B＝，所以ac＝6.‎ 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，‎ 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.‎ 解得或 因为a＞c，所以a＝3，c＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.‎ 由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.‎ 因为a＝b＞c，所以C为锐角，‎ 因此cos C＝＝＝.‎ 所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.‎ ‎17．C8，C5 [2014·全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.‎ ‎17．解：由题设和正弦定理得 ‎3sin Acos C＝2sin Ccos A，‎ 故3tan Acos C＝2sin C.‎ 因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，‎ 所以tan C＝.‎ 所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]‎ ‎＝－tan(A＋C)‎ ‎＝ ‎＝－1，‎ 所以B＝135°.‎ ‎16．C8[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．‎ ‎16.　[解析] 根据正弦定理和a＝2可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，故得b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理得cos A＝＝，所以A＝.根据b2＋c2－a2＝bc及基本不等式得bc≥2bc－a2，即bc≤4，所以△ABC面积的最大值为×4×＝.‎ ‎4．C8[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)‎ A．5 B. C．2 D．1‎ ‎4．B　[解析] 根据三角形面积公式，得BA·BC·sin B＝，即×1××sin B＝，得sin B＝，其中C8 B．ab(a＋b)>16 ‎ C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24‎ ‎10．A　[解析] 因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin ‎2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋，即sin ‎2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋，‎ 所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋，‎ 所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋， ‎ 所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以sin Asin Bsin C＝.‎ 由1≤S≤2，得1≤bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2，所以1≤≤2，即2≤R≤2　，所以bc(b＋c)>abc＝8R3sin Asin Bsin C＝R3≥8.‎ ‎ C9 单元综合 ‎16．C8、C9[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．‎ ‎16．[－1，1]　[解析] 在△OMN中，OM＝≥1＝ON，所以设∠ONM＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得＝，所以＝sin α∈[1，]，所以0≤x≤1，即－1≤x0≤1，故符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．‎ ‎17．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：‎ f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差．‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于‎11℃‎，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎17．解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.‎ 故实验室这一天的最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎.‎ ‎(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin>11，‎ 即sin<－.‎ 又0≤t<24，因此0，f＝－π2－<0，所以存在唯一x0∈，使f(x0)＝0.‎ ‎(2)记函数h(x)＝－4ln，x∈.‎ 令t＝π－x，则当x∈时，t∈.‎ 记u(t)＝h(π－t)＝－4 ln，则u′(t)＝.‎ 由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)>0，‎ 当t∈时，u′(t)<0.‎ 故在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，u(t)>0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．‎ 在上u(t)为减函数，由u(x0)>0，u＝－4ln 2<0，知存在唯一t1∈，使u(t1)＝0，‎ 故存在唯一的t1∈，使u(t1)＝0.‎ 因此存在唯一的x1＝π－t1∈，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.‎ 因为当x∈时，1＋sin x>0，故g(x)＝(1＋sin　x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.‎ 因为x1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.‎ ‎21．C9、B14[2014·辽宁卷] 已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π ‎)cos x－4(1＋sin x)ln.证明：‎ ‎(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；‎ ‎(2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π.‎ ‎21．证明：(1)当x∈时，f′(x)＝－(1＋sin x)·(π＋2x)－2x－cos x<0，函数f(x)在上为减函数．又f(0)＝π－>0，f＝－π2－<0，所以存在唯一x0∈，使f(x0)＝0.‎ ‎(2)记函数h(x)＝－4ln，x∈.‎ 令t＝π－x，则当x∈时，t∈.‎ 记u(t)＝h(π－t)＝－4 ln，则u′(t)＝.‎ 由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)>0，‎ 当t∈时，u′(t)<0.‎ 故在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，u(t)>0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．‎ 在上u(t)为减函数，由u(x0)>0，u＝－4ln 2<0，知存在唯一t1∈，使u(t1)＝0，‎ 故存在唯一的t1∈，使u(t1)＝0.‎ 因此存在唯一的x1＝π－t1∈，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.‎ 因为当x∈时，1＋sin x>0，故g(x)＝(1＋sin　x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.‎ 因为x1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.‎ ‎12．[2014·湖南联考] 设α是第三象限角，且tan α＝2，则＝____________．‎ ‎12．－　[解析] ＝＝cos α.又tan α＝2，α是第三象限角，所以易得cos α＝－.‎ ‎6．[2014·福州期中] 已知tan(π－α)＝，则＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎6．C　[解析] ∵tan(π－α)＝，∴tan α＝－，∴原式＝＝－.‎ ‎10．[2014·四川乐山一中月考] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图像如图X132所示，则f(0)＝________.‎ ‎ ‎ 图X132‎ ‎10.　[解析] 由图知A＝，＝－＝π，∴T＝π，∴w＝2.由2×π＋φ ‎＝2kπ＋π(k∈Z)，得φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴f(0)＝sin＝sin＝.‎ ‎13．[2014·昆明一模] 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边．若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值为________．‎ ‎13．16 　[解析] 由cos B＝，得sin B＝，∴S△ABC＝acsin B＝×10×c×＝42，∴c＝14，∴b2＝c2＋a2－2accos B＝142＋102－2×10×14×＝196＋100－224＝72，∴b＝6 ，‎ ‎∴b＋＝6 ＋＝6 ＋＝16 ‎3．[2014·广州七校联考] 设函数f(x)＝sin ωx＋sin，x∈R.‎ ‎(1)若ω＝，求f(x)的最大值及相应的x的取值集合；‎ ‎(2)若x＝是f(x)的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f(x)的最小正周期．‎ ‎3．解：(1)f(x)＝sin ωx＋sinωx－＝sin ωx－cos ωx＝sinωx－.‎ 当ω＝时，f(x)＝sin－.‎ 又－1≤sin－≤1，所以f(x)的最大值为，‎ 此时－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋4kπ，k∈Z，‎ 所以相应的x的取值集合为xk∈Z.‎ ‎(2)依题意得，f＝sin－＝0，即－＝kπ，k∈Z，所以ω＝8k＋2.‎ 又0<ω<10，即0<8k＋2<10，所以－