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- 2021-04-14 发布
几何证明选讲
1．如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若C M＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：令AB＝3a(a>0)，因为CM·MD＝AM·MB，即2×4＝2a2，所以a＝2，
又因为CN·NE＝AN·NB，即3NE＝4×2，
所以NE＝.故选A.
2．如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.
答案：8
解析：易得AC＝＝，
由OP∥BC，且O为AB的中点可知CP＝AC＝，OP＝BC＝，
∠CPO＝∠ACB＝90°，
∴∠CPD＝90°.
因为EC是切线，所以∠DCP＝∠CBA，
从而△CPD∽△BCA，故＝，
∴DP＝，
故OD＝DP＋OP＝＋＝8.
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
(1)证明：∠D＝∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．
证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，
所以∠D＝∠CBE.
由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，
故∠D＝∠E.
(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．
又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，
故OM⊥AD，即MN⊥AD.
所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.
又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.
由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．
4．如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B，C两点．
(1)证明：O，D，B，C四点共圆；
(2)设∠DBC＝50°，∠ODC＝30°，求∠OEC的大小．
解：(1)证明：连接OA，OC，则OA⊥EA.
由射影定理得，EA2＝ED·EO.
由切割线定理得，EA2＝EB·EC，
故ED·EO＝EB·EC，
即＝，又∠OEC＝∠OEC，
所以△BDE∽△OCE，所以∠EDB＝∠OCE，
因此O，D，B，C四点共圆．
(2)连接OB.因为∠OEC＋∠OCB＋∠COE＝180°，
结合(1)得∠OEC＝180°－∠OCB－∠COE
＝180°－∠OBC－∠DBE
＝180°－∠OBC－(180°－∠DBC)
＝∠DBC－∠ODC＝20°.
5．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
(1)证明：EF∥BC；
(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．
解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
所以AD是∠CAB的平分线．
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，
所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.
(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，
故AD所在直线是EF的垂直平分线．
又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．
连接OE，OM，则OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，
所以∠OAE＝30°.
因此△ABC和△AEF都是等边三角形．
因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.
因为OM＝OE＝2，
DM＝MN＝，
所以OD＝1.
于是AD＝5，AB＝.
所以四边形EBCF的面积为
×2×－×(2)2×＝.
6．如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C，D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E.
(1)求证：PA·PB＝PO·PE；
(2)若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半径等于2，求弦CF的长．
解：(1)证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，C在⊙O上，
∴∠DOA＝∠DCF，
∴∠POD＝∠PCE.
又∵∠DPO＝∠EPC，∴△PDO∽△PEC，
∴＝，即PD·PC＝PO·PE.
由割线定理得PA·PB＝PD·PC，
∴PA·PB＝PO·PE.
(2)由已知，直径AB是弦DF的垂直平分线，
∴ED＝EF，∴∠DEH＝∠FEH.
∵DE⊥CF，∴∠DEH＝∠FEH＝45°.
由∠PEC＝∠FEH＝45°，∠P＝15°得
∠DCF＝60°.
由∠DOA＝∠DCF得∠DOA＝60°.
在Rt△DHO中，OD＝2，DH＝ODsin∠DOH＝，
∴DE＝EF＝＝，
CE＝＝，
∴CF＝CE＋EF＝＋.