新疆兵地十校2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析 21页

兵地十校 ‎2019-2020学年第一学期高二年级期末联考 数学（理）试卷 注意事项：‎ ‎1.本试卷共6页，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号、准考证号等信息填写在答题卡上.‎ ‎2.作答非选择题时须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题须用2B铅笔将答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁，不新叠、不破损.‎ 第Ⅰ卷（选择共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中表示正整数除以正整数后的余数为，例如 表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可．‎ ‎【详解】第一次，7除以3的余数是1，不满足条件，除以3的余数是2满足条件，‎ ‎8除以5的余数是3满足条件，输出 故选B ‎【点睛】本题考查程序框图的相关内容，根据框图模拟运算即可得出结果，比较基础．‎ ‎2..从字母中选出4个数字排成一列，其中一定要选出和，并且必须相邻（在的前面），共有排列方法（ ）种.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】排列方法为,选C.‎ ‎3.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：‎ ‎32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42‎ ‎84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04‎ ‎32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45‎ 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为（　　）‎ A. 522 B. 324 C. 535 D. 578‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机抽样的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】第行第列开始的数为（不合适），，（不合适），，，，（不合适），（不合适），，（重复不合适），‎ 则满足条件的6个编号为，，，，，‎ 则第6个编号为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．‎ ‎4.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（ ）‎ A. “至少1名男生”与“全是女生”‎ B. “至少1名男生”与“至少有1名女生”‎ C. “至少1名男生”与“全是男生”‎ D. “恰好有1名男生”与“恰好2名女生”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】从3名男生和2名女生中任选2名学生的所有结果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”．‎ 选项A中的两个事件为对立事件，故不正确；‎ 选项B中的两个事件不是互斥事件，故不正确；‎ 选项C中的两个事件不是互斥事件，故不正确；‎ 选项D中的两个事件为互斥但不对立事件，故正确．选D．‎ ‎5.某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）‎ A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B. 月跑步平均里程逐月增加 C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月 D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据折线图中11个月的数据分布，数据从小到大排列中间的数可得中位数，根据数据的增长趋势可判断BCD.‎ ‎【详解】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查了识别折线图进行数据分析，属于基础题.‎ ‎6.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．‎ ‎【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，‎ 其中落入白色部分的有484个点，‎ 则其中落入黑色部分的有605个点，‎ 由随机模拟试验可得：，又，‎ 可得，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.‎ ‎7.口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列，如果为数列前n项和，则的概率等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由题意可得模球的次数为7次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，利用独立性事件的概率乘法公式求解即可．‎ 详解：由题意说明摸球七次，只有两次摸到红球，‎ 因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 所以只有两次摸到红球概率是，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中通过确定摸球次数，且只有两次摸到红球是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎8.在边长为的正三角形内任取一点，则点到三个顶点的距离均大于的概率是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A,B,C的距离均大于的图形的面积，然后根据几何概型公式求解即可得到答案．‎ 详解：满足条件的正三角形ABC如下图所示，由题意得正三角形ABC的面积为 ‎．‎ 到正三角形ABC的顶点A,B,C的距离均大于的平面区域，如图中阴影部分所示，且其面积和是一个半径为的半圆的面积，则．‎ 故点所在区域的面积为，‎ 所以所求概率为．‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查面积型的几何概型概率的求法，解题的关键是确定概率的类型以及求出所有基本事件构成的平面区域的面积和事件A包含的基本事件构成的平面区域的面积．‎ ‎9.下列选项中，说法正确的是（ ）‎ A. 命题“”的否定为“”‎ B. 命题“在中，，则”的逆否命题为真命题 C. 若命题“”为假，且为假，则“”为真 D. 设是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A通过特称命题的否定改写规则判断；B通过判断原命题的真假来判断；C根据复合命题的真假来判断；D根据等比数列的单调性来判断.‎ ‎【详解】A：命题“”的否定为“”，故错误；‎ B：当时，，故命题“在中，，则”时假命题，则其逆否命题也为假命题，故错误；‎ C：因为为假，则为真，又为假，故必为假，则为真，故正确；‎ D：当，时，是递减数列，故“”不是“为递增数列”的充分条件，故错误.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查特称命题的否定的写法，考查充分条件和必要条件的判断，考查复合命题的真假，是一道基础题.‎ ‎10.将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：条件概率与独立事件．‎ 分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．‎ 解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），‎ P（AB）==‎ P（B）=1-P（）=1-=1-=‎ ‎∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==‎ 故选A．‎ ‎11.已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得以为直径的圆与渐近线有公共点，得出的不等量关系，结合，即可求解.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，‎ 双曲线的右顶点为，‎ 在的渐近线上存在点，使得，‎ 不妨设渐近线方程为，‎ 则以为直径圆与渐近线有公共点，‎ 即中点到直线的距离，‎ 即 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，应用直线与圆的位置关系是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.‎ ‎12.已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则三角形面积为（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据抛物线的定义有，依题意可知，，也即，故.所以的高为，面积为.故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查数形结合的数学思想方法.首先根据题意画出图象，包括到准线的距离，根据题目所给的比例关系，利用角的正切值建立方程，求得的值，然后利用角的正切值求出高并求出三角形的面积.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.共20分）‎ ‎13.在的二项展开式中，二项式系数的和是512，则各项系数的和是_____ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式系数的和求解出的值，求解各项系数的和时可考虑令，由此可计算出各项系数的和.‎ ‎【详解】因为二项式系数的和是，所以，所以，‎ 又因为，‎ 令可得：，‎ 所以各项系数的和为：.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查根据二项式系数求参数以及求解各项系数和，难度一般.‎ ‎（1）求解形如的展开式中的各项系数和时，可令求得结果；‎ ‎（2）形如的展开式中的二项式系数之和为.‎ ‎14.已知随机变量服从正态分布且，则_____________‎ ‎【答案】0.76‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件可知数据对应的正态曲线的对称轴，根据对称性即可得到结果.‎ ‎【详解】随机变量服从正态分布,‎ 则曲线的对称轴为，，‎ 由可得，‎ 则 故答案为0.76．‎ ‎【点睛】本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用已知区间表示；正态曲线的主要性质是：（1）正态曲线关于对称；（2）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.‎ ‎15.下列命题中，正确的命题有__________．‎ ‎①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；‎ ‎②将一组数据每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；‎ ‎③用相关指数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好；‎ ‎④用系统抽样法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生从编号，按编号顺序平均分成组（号，号，号），若第组抽出的号码为，则第一组中用抽签法确定的号码为号.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ 回归直线恒过样本点的中心，不须过样本点；①错误；将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，故方差不变；②正确；用相关指数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好；③错误；④中系统抽样方法是正确的．故本题应选②④．‎ ‎16.为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_____种（用数字作答）‎ ‎【答案】540‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将6个小队分成三组，有三种组合，然后再分配，即可求出结果．‎ ‎【详解】（1）若按照进行分配有种方案；‎ ‎（2）若按照进行分配有种方案；‎ ‎（3）若按照进行分配有种方案；‎ 由分类加法原理，所以共有种分配方案．‎ ‎【点睛】本题主要考查分类加法计数原理，以及排列组合的相关知识应用．易错点是平均分配有重复，注意消除重复．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.‎ 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.年将在日本东京举办第届夏季奥林匹克运动会，简称为“奥运会”，为了解不同年龄的人对“奥运会”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在岁之间的 人进行调查，经统计，“年轻人”与“中老年人”的人数之比为.‎ 关注 不关注 合计 年轻人 中老年人 合计 ‎ ‎ ‎(1)根据已知条件完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为是否关注“奥运会”与年龄段有关；‎ ‎(2)现采用分层抽样的方法从中老年人中选取人进行问卷调查.若再从这人中选取人进行面对面询问，求事件“选取的人中至少有人关注奥运会”的概率.‎ 附参考公式:，其中临界值表:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）列联表见解析；有的把握认为是否关注“奥返会”与年龄段有关.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据“年轻人”与“中老年人”的人数之比可得列联表，再进行独立性检验；‎ ‎(2)列举“从这人中选取人”可能的情况，再得出事件“选取的人中至少有人关注奥运会”的事件数，利用古典概率公式求解.‎ ‎【详解】解:(1)年轻人共有人，中老年人共有人. ‎ 关注 不关注 合计 年轻人 中老年人 合计 所以. ‎ 故有的把握认为是否关注“奥返会”与年龄段有关. ‎ ‎(2)抽取的位中老年人中有人不关注，记为人关注，记为 ，设“选取的人中至少有人关注奥运会”为事件. ‎ 从送人中选人的选法有 共种. ‎ 其中有种情况满足题意；‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查列联表、独立性检验、古典概型的求解,属于基础题.‎ ‎18.已知动点与平面上点，的距离之和等于.‎ ‎(1)试求动点的轨迹方程.‎ ‎(2)设直线与曲线交于、两点，当时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆定义可知所求轨迹为，的椭圆，进而求得，从而得到所求轨迹；‎ ‎（2）将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理的形式；由弦长公式可构造方程求得，进而得到结果.‎ ‎【详解】（1）‎ 由椭圆定义可知点轨迹是以为焦点的椭圆，且，‎ ‎ 动点的轨迹方程为：‎ ‎（2）将直线代入椭圆方程得：‎ 则 ‎ 设， ，‎ ‎，解得：‎ 直线的方程为：‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求解、弦长公式的应用；关键是能够熟练掌握椭圆的定义，进而得到动点所满足的方程，属于基础题.‎ ‎19.某商店为迎接端午节，推出两款粽子：花生粽和肉粽为调查这两款粽子的受欢迎程度，店员连续10天记录了这两种粽子的销售量，如下表表示（其中销售单位：个）‎ ‎（1）根据两组数据完成上面茎叶图：‎ ‎（2）统计学知识，请评述哪款粽子更受欢迎；‎ ‎（3）求肉粽销售量y关于天数t的线性回归方程，并预估第15天肉粽的销售量（回归方程系数精确到0.1）.‎ 参考数据：，参考公式：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）肉粽更受欢迎，评述见解析；（3），118个 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据两组数据填写茎叶图即可； （2）由茎叶图中的数据，分析得出统计结论； （3）计算平均数与回归系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算t＝15时y的值．‎ ‎【详解】解：（1）根据两组数据填写茎叶图，如图所示；‎ ‎ （2）肉粽平均每天销售量，‎ 花生粽平均每天销售量，‎ 肉粽方差，‎ 花生粽方差，‎ 由茎叶图知，肉粽的销售量均值较花生棕高，两种粽子的销售量波动情况相当， 所以可以认为肉粽更受欢迎； （3）计算，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎； ∴y关于t的线性回归方程， ∴预估第15天肉粽的销售量＝1.88×15＋89.66＝117.86≈118（个）．‎ ‎【点睛】本题主要考查了茎叶图、平均数和线性回归方程的应用问题，是中档题．‎ ‎20. 为了分析某次考试数学成绩情况，用简单随机抽样从某班中抽取25名学生的成绩（百分制）作为样本，得到频率分布表如下：‎ 分数 ‎ ‎[50,60） ‎ ‎[60,70） ‎ ‎[70,80） ‎ ‎[80,90） ‎ ‎[90,100] ‎ 频数 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎9 ‎ a ‎ ‎1 ‎ 频率 ‎ ‎0.08 ‎ ‎0.12 ‎ ‎0.36 ‎ b ‎ ‎0.04 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求样本频率分布表中a，b的值，并根据上述频率分布表，在下表中作出样本频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）计算这25名学生的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求至少有1人的成绩在[60，70）中的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由频数总数求出a的值，概率频率=，求出b的值，再画出频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）根据平均数与方差的计算公式求出平均数与方差；‎ ‎（Ⅲ）求出成绩在[50，60）和[60，70）的学生数，‎ 用列举法求出成绩在[50，70）的学生任选2人的方法有多少种以及至少有1人的成绩在[60，70）中的方法数，计算概率即可．‎ 试题解析：（Ⅰ）由，得；‎ 由，得.‎ 频率分布直方图如下：‎ ‎（Ⅱ）平均数为 ‎；‎ 方差为 ‎.‎ 或 ‎.‎ ‎（Ⅲ）成绩在[50，60）的学生共有2人，记为，在[60，70）共有3人，记为.‎ 从成绩在[50，70）的5名学生任选2人的方法有10种（列举略），其中 至少有1人的成绩在[60，70）中方法有9种（列举略），‎ 所以，所求概率.‎ 考点：频率分布直方图的应用.‎ ‎21.某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.‎ ‎（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；‎ ‎（2）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：‎ 日需求量 ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，表示当天的利润（单位：元），求的分布列与数学期望及方差；‎ ‎②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）①分布列见解析；（元）；②应加工17个，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，分别讨论和两种情况，即可得出结果；‎ ‎（2）①先由（1）计算出的可能取值，结合题中条件，即可得出分布列，进而可求出期望与方差；‎ ‎②根据题意求出的可能取值，得出期望，与①比较大小，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）由题意，当时，利润；‎ 当时，利润；‎ 综上，当天的利润关于当天需求量的函数解析式为；‎ ‎（2）①由（1）可得，‎ 当时，利润；‎ 当时，利润；‎ 当时，利润；‎ 所以的分布列为：‎ 所以（元）；‎ ‎；‎ ‎②由题意，加工个蛋糕时，‎ 当时，利润；‎ 当时，利润；‎ 当时，利润；‎ 当时，利润；‎ 的分布列如下：‎ ‎660‎ ‎780‎ ‎900‎ ‎1020‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.16‎ ‎0.54‎ 则 从数学期望来看，每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润，应加工17个.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数模型，以及离散型随机变量的分布列，期望与方差等，熟记离散型随机变量分布列的概念，期望与方差的计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎22.已知椭圆：过点，左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点满足，求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以根据椭圆定义以及的周长为得出，然后根据椭圆过点得出，最后联立方程，即可得出结果；‎ ‎(2)本题首先可根据题意求出的坐标为并设出直线的方程为，然后联立直线方程与椭圆方程并计算出、，再然后根据得出四边形的面积为，最后通过化简并利用不等式即可得出四边形的面积的最大值．‎ ‎【详解】（1）因为的周长为，所以，‎ 因为椭圆：过点，所以，‎ 联立方程，解得，，所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）由（1）可知，的坐标为，由题意可知，显然直线的斜率不为0，‎ 设直线的方程为，，，‎ 联立，得，‎ 所以，，且恒成立，‎ 因为点满足，所以四边形为平行四边形，设其面积为，‎ 则，‎ 因为，所以，，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 当且仅当，即时，有最大值4，‎ 所以四边形面积的最大值为4．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的相关性质，主要考查椭圆定义，韦达定理及向量知识，还考查了计算能力，考查化归与转化思想，考查如何利用基本不等式求最值，是难题．‎