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- 2021-04-14 发布
2017-2018学年河南省平顶山市、许昌市、汝州高二（上）第三次联考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（ ）
A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2
C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣2
2．（5分）已知函数y=ex的值域为集合A，不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为集合B，则A∪B=（ ）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣2} D．{x|x＞0}
3．（5分）下列命题为特称命题的是（ ）
A．任意一个三角形的内角和为180°
B．棱锥仅有一个底面
C．偶函数的图象关于y轴垂直
D．存在大于1的实数x，使lgx+1＜2
4．（5分）若椭圆2x2+y2=4的焦点坐标为（ ）
A．（±2，0） B． C．（0，±2） D．
5．（5分）设等差数列{an}的首项为﹣2，若a4+a12=24，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
6．（5分）“m2＞5”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA：sinB=1：，c=2cosC=，则△ABC的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）若以双曲线的实轴长比虚轴长多2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
9．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．1
10．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M在此双曲线的右支上，且，则△MF1F2的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
11．（5分）已知某曲线的方程为，给出下列两个命题：
命题p：若mn＜0，则该曲线为双曲线；
命题q：若m＞n＞0，则该曲线为椭圆，
则下列叙述错误的是（ ）
A．p是真命题 B．p的逆命题是真命题
C．q是真命题 D．q的逆命题是真命题
12．（5分）设双曲线的左焦点F1，过F1的直线交双曲线C的左支于M，N（M在N的上方）两点，MN∥y轴，B（0，b），若∠BMN为钝角，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，2） D．（2，+∞）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是 ．
14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则= ．
15．（5分）已知m＞0，n＞0，若2m=1﹣2n，则的最小值为 ．
16．（5分）已知焦距为4的双曲线的左右顶点分别为A1，A2，M是双曲线上异于A1，A2的任意两点，若依次成等比数列，则双曲线的标准方程是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知函数．
（1）求f（x）的最小值，并指出此时x的值；
（2）求不等式的解集．
18．（12分）已知点A，B的坐标为（﹣1，0），（1，0），直线PA，BP相交于点P，且它们的斜率之积是，求动点的轨迹方程．
19．（12分）设p：“关于x的不等式的解析为R”，q：“函数在区间（﹣1，3）上有零点”．
（1）若q为真，求a的取值范围；
（2）若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．
20．（12分）已知椭圆M与椭圆N：=1有相同的焦点，且椭圆M过点（0，2）
（1）求M的长轴长
（2）设直线y=x+2与M交于A，B两点（A在B的右侧），O为原点，求．
21．（12分）已知数列{an}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn，并求出的最小自然数n．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，上顶点M到直线的距离为3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，线段CD的中点为R，使得F1R⊥CD？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年河南省平顶山市、许昌市、汝州高二（上）第三次联考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（ ）
A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2
C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣2
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命题，
则￢p是∃x0＜0，x0＞﹣2，
故选：C
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．
2．（5分）已知函数y=ex的值域为集合A，不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为集合B，则A∪B=（ ）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣2} D．{x|x＞0}
【分析】根据条件求出A，B，结合集合并集的定义进行计算即可．
【解答】解：y=ex＞0，即函数的值域A=（0，+∞），
由x2﹣x﹣6＜0得﹣2＜x＜3，即B=（﹣2，3），
则A∪B={x|x＞﹣2}，
故选：C
【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．
3．（5分）下列命题为特称命题的是（ ）
A．任意一个三角形的内角和为180°
B．棱锥仅有一个底面
C．偶函数的图象关于y轴垂直
D．存在大于1的实数x，使lgx+1＜2
【分析】（1）通常像“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”；
（2）“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．
（3）对每个选项逐个判断即可．
【解答】解：对于A、B、C，它们都是对所有的对象而言的，是全称命题；
对于D，文字中有“存在”字眼，它是特称命题．
故选D．
【点评】含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．
一般形式为：全称命题：∀x∈M，p（x）；特称命题∃x∈M，p（x）．
4．（5分）若椭圆2x2+y2=4的焦点坐标为（ ）
A．（±2，0） B． C．（0，±2） D．
【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解a，b，推出c即可．
【解答】解：椭圆2x2+y2=4化为：，
可得a=2，b=，则c=，
椭圆2x2+y2=4的焦点坐标为（0，）．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
5．（5分）设等差数列{an}的首项为﹣2，若a4+a12=24，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【分析】设公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程即可得到所求公差．
【解答】解：等差数列{an}的首项为﹣2，公差设为d，若a4+a12=24，
可得2a1+14d=24，
即有﹣4+14d=24，
解得d=2，
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．（5分）“m2＞5”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据椭圆的方程，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若方程表示焦点在x轴上的椭圆，
则m2﹣1＞3，即m2＞4，则“m2＞5”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的方程求出k的取值范围是解决本题的关键．
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA：sinB=1：，c=2cosC=，则△ABC的周长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知及正弦定理可得：b=，又利用余弦定理可得=
，整理解得a，可求b，即可求得△ABC的周长的值．
【解答】解：∵sinA：sinB=1：，
∴由正弦定理可得：b=，
又∵c=2cosC=，
∴由余弦定理可得：cosC===，整理解得：a=，可求b==3，
∴△ABC的周长=a+b+c==2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8．（5分）若以双曲线的实轴长比虚轴长多2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】由双曲线的实轴长比虚轴长多2，求出a，c，即可求出该双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，∵双曲线的实轴长比虚轴长多2，
∴2a﹣4=2，a=3，
∵b=2，
∴c==，
∴e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．
9．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．1
【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．
【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：
由解得A（1，3），
则z=的几何意义为动点P到定点P（﹣1，﹣2）的斜率，
由图象可知当P位于A（1，3）时，直线AP的斜率最大，
此时z==，
故选：A．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．
10．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M在此双曲线的右支上，且，则△MF1F2的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
【分析】利用双曲线的定义求出|MF2|，然后求解△MF1F2的面积．
【解答】解：双曲线2x2﹣3y2=6的标准方程为：，
点M在此双曲线的右支上，且，
可得|MF2|=2，|F1F2|=2，
cos∠MF1F2==，
sin∠MF1F2==，
则△MF1F2的面积为：=2．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
11．（5分）已知某曲线的方程为，给出下列两个命题：
命题p：若mn＜0，则该曲线为双曲线；
命题q：若m＞n＞0，则该曲线为椭圆，
则下列叙述错误的是（ ）
A．p是真命题 B．p的逆命题是真命题
C．q是真命题 D．q的逆命题是真命题
【分析】利用二次曲线，判断命题p，q的真假，然后判断选项的正误；
【解答】解：命题p：某曲线的方程为，若mn＜0，则该曲线为双曲线，显然A正确；
p的逆命题是真命题，所以B正确；
命题q：若m＞n＞0，则该曲线为椭圆，一定正确，焦点坐标在x轴上；所以C正确；
q的逆命题是：该曲线为椭圆，则m＞n＞0；也可能是n＞m＞
0，所以你没有是假命题，所以D不正确；
故选：D．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，是基本知识的考查．
12．（5分）设双曲线的左焦点F1，过F1的直线交双曲线C的左支于M，N（M在N的上方）两点，MN∥y轴，B（0，b），若∠BMN为钝角，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，2） D．（2，+∞）
【分析】设出双曲线的左焦点，令x=﹣c，代入双曲线的方程，解得M，N的坐标，再由∠BMN为钝角，可得•＜0，运用向量数量积的坐标表示，化简可得a＞b，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围．
【解答】解：设双曲线的左焦点F1（﹣c，0），
令x=﹣c，可得y=±=±，
可得M（﹣c，），N（﹣c，﹣），
又B（0，b），可得=（c，b﹣），
=（0，﹣），
由∠BMN为钝角，可得•＜0，
即为0﹣•（b﹣）＜0，
化为a＞b，即有a2＞b2=c2﹣a2，
可得c2＜2a2，即e=＜，
又e＞1，可得1＜e＜，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用转化思想，以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是 ．
【分析】根据双曲线的渐近线方程即可得到结论．
【解答】解：∵双曲线的方程﹣=1，
∴a2=9，b2=16，
即a=3，b=4，
则双曲线的渐近线方程为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线的判断，根据双曲线的方程确定a，b是解决本题的关键．比较基础．
14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则= 3 ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而利用正弦定理即可计算得解．
【解答】解：∵，，
∴sinA==，
∴由正弦定理可得：==3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
15．（5分）已知m＞0，n＞0，若2m=1﹣2n，则的最小值为 96 ．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵m＞0，n＞0，2m=1﹣2n，即2m+2n=1．
则=2（m+n）=2（30+）≥2=96，当且仅当n=3m=时取等号．
故答案为：96．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（5分）已知焦距为4的双曲线的左右顶点分别为A1，A2，M是双曲线上异于A1，A2的任意两点，若依次成等比数列，则双曲线的标准方程是 ﹣=1 ．
【分析】由题意求得c=2，左右顶点，设M（m，n），代入双曲线的方程，由直线的斜率公式，化简整理可得a=b，运用a，b，c的关系，可得a，b，进而得到双曲线的方程．
【解答】解：焦距为4的双曲线的左右顶点分别为A1，A2，
可得c=2，A1（﹣a，0），A2（a，0），
设M（m，n），则﹣=1，①
若依次成等比数列，
可得k•k=•=1，
即n2=m2﹣a2，②
②代入①，可得a=b，
由a2+b2=c2=4，
可得a=b=，
则双曲线的方程为﹣=1．
故答案为：﹣=1．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，直线的斜率公式，考查变形和运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知函数．
（1）求f（x）的最小值，并指出此时x的值；
（2）求不等式的解集．
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）结合（1）求解一元二次不等式即可．
【解答】解：（1）∵，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
故f（x）的最小值为10，此时；
（2）由，得x2﹣4x﹣5≤0，又x＞0，
∴0＜x≤5，故不等式的解集为（0，5]．
【点评】本题考查了基本不等式的运用，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
18．（12分）已知点A，B的坐标为（﹣1，0），（1，0），直线PA，BP相交于点P，且它们的斜率之积是，求动点的轨迹方程．
【分析】设出P的坐标，求出直线的斜率，利用斜率之积是，列出方程化简求解即可．
【解答】解：设动点P（x，y），因为直线AP，BP的斜率之积是，
所以，
整理得x2+9y2=1（x≠±1），
所以动点P的轨迹方程为x2+9y2=1（x≠±1）．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查计算能力，注意x的范围是易错点．
19．（12分）设p：“关于x的不等式的解析为R”，q：“函数在区间（﹣1，3）上有零点”．
（1）若q为真，求a的取值范围；
（2）若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．
【分析】（1）根据函数零点的判断定理，进行求解即可．
（2）根据p∧q为假，p∨q为真，得到p，q中一真一假，然后进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）函数f（x）是增函数，所以若q为真，则，解得．
（2）若p为真，则，即a2﹣4a+5＜0，解得﹣1＜a＜5，
因为p∧q为假，p∨q为真，所以p，q中一真一假，
若p真q假，则3≤a＜5；
若p假q真，则，
综上，a的取值范围是．
【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．
20．（12分）已知椭圆M与椭圆N：=1有相同的焦点，且椭圆M过点（0，2）
（1）求M的长轴长
（2）设直线y=x+2与M交于A，B两点（A在B的右侧），O为原点，求．
【分析】（1）由题意N的方程求得椭圆M的焦点坐标，再由椭圆过点（0，2）得到椭圆M的短半轴长，结合隐含条件求得a，则椭圆M的长轴长可求；
（2）由（1）求得椭圆M的方程，与直线方程联立求得A，B的坐标，代入数量积的坐标运算得答案．
【解答】解：（1）由椭圆N：=1，得c=，
即椭圆M的两焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），
又椭圆M过点（0，2），
∴椭圆M的短半轴长b=2，则长半轴长a=，
∴M的长轴长2a=；
（2）由（1）知椭圆M：．如图：
联立，解得A（0，2），B（）．
∴=0×．
【点评】
本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查向量垂直的坐标运算，是中档题．
21．（12分）已知数列{an}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn，并求出的最小自然数n．
【分析】（1）利用数列的通项与前n项和的关系，转化求解即可．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可得到不等式，求解n的最小值即可．
【解答】解：（1）因为，当n≥2时，，
两式相减得，因为a1=4也满足，
综上．
（2），
所以，
由，即，
所以n≥2018，最小的自然数n=2018．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力以及转化思想的应用．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，上顶点M到直线的距离为3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，线段CD的中点为R，使得F1R⊥CD？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由离心率为，上顶点M到直线的距离为3．列出方程，求解a，b，即可得到椭圆方程．
（2）假设存在满足条件的直线l，易知A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，设斜率为k，直线l的方程为y=k（x﹣5），由方程组，利用判别式求出K的范围，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为R（x0，y0），利用韦达定理，推出，
推出20k2=20k2﹣4不成立，即可得到结论．
【解答】解：（1）由题可得，可得，
故椭圆的方程为．
（2）假设存在满足条件的直线l，易知A（5，0）在椭圆的外部，
当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所以直斜l率存在，设斜率为k，
则直线l的方程为y=k（x﹣5），由方程组，得（5k2+4）x2﹣50k2x+125k2﹣10=0，
依题意，
当时，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为R（x0，y0），
则，
所以，
又，
所以，
所以20k2=20k2﹣4，而20k2=20k2﹣4不成立，
所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，存在性问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．