2018届二轮复习 三角函数图象与性质 学案（全国通用） 15页

‎【2018年高考考纲解读】‎ 三角函数的有关知识大部分是B级要求，只有函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质是A级要求；‎ 试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题.‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎ 1．记六组诱导公式 对于“±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 ，为增；为减 为增；为减 为增 对称中心 ‎(kπ，0)‎ 对称轴 x＝kπ＋ x＝kπ 无 ‎3.y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质 ‎(1)五点作图法：五点的取法，设X＝ωx＋φ，X取0，，π，，2π来求相应的x值、y值，再描点作图．‎ ‎(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点作为突破口．‎ ‎(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x而言．‎ ‎(4)把函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减．‎ ‎4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧 ‎(1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二．‎ ‎(2)“‎1”‎的替换：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(3)切弦互化：弦的齐次式可化为切.‎ ‎【题型示例】‎ 考点1、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 ‎【例1】【2016高考新课标2文数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．‎ ‎ 【举一反三】(2015·重庆，9)若tan α＝2tan ，则＝(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析　＝＝学*科网 ‎＝ ‎＝＝＝3.‎ 答案　C学*科网 ‎【变式探究】(1)(2014·辽宁五校联考)已知cos＋α＝，且α∈，则tan α＝(　　)‎ A.　　　B.　　　C．－　　　D．± ‎(2)(2014·安徽)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)‎ A. B. C．0 D．－ ‎【命题意图】(1)本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式的应用．‎ ‎(2)本题是函数与三角运算问题，主要考查函数三要素及三角运算．‎ ‎【答案】(1)B　(2)A ‎∴f＝f＝.故选A.‎ ‎【感悟提升】‎ ‎1．结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略 ‎(1)切弦互换法．‎ 利用tan α＝进行转化．‎ ‎(2)和积转化法．‎ 利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化．‎ ‎(3)常值代换法．‎ 其中之一就是把1代换为sin2α＋cos2α.‎ 同角三角函数关系sin2α＋cos2α＝1和tan α＝联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tan α＝可以把含有sin α，cos α的齐次式化为tan α的关系式．‎ ‎2．化简求值时的“三个”防范措施 ‎(1)函数名称和符号．‎ 利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数与锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定．‎ ‎(2)开方．‎ 在利用同角三角函数的平方关系时若需开方，特别注意要根据条件进行讨论取舍．‎ ‎(3)结果整式化．‎ 解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能化为整式．‎ ‎【变式探究】(1)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且cos α＝x，则sin＝________.‎ ‎(2)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝________.‎ 二象限角，所以sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α＝＝，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－×＝－.‎ ‎【答案】(1)－　(2)－学*科网 ‎【规律方法】在利用诱导公式和同角三角函数关系时，一定要特别注意符号，在诱导公式中是“奇变偶不变，符号看象限”，在同角三角函数的平方关系中，开方后的符号也是根据角所在的象限确定的．‎ 题型2、三角函数的图象 ‎ ‎【例2】(2016·高考全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．y＝2sin　　　　B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin ‎【举一反三】 (2015·山东，3)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析　∵y＝sin＝sin，‎ ‎∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．‎ 答案　B ‎【变式探究】(2015·湖南，9)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)‎ A. B. C. D.[来源: ]‎ ‎【举一反三】(1)(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，‎ 角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为(　　)[来源:学+科+网]‎ ‎(2)(2014·四川)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点(　　)‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度 ‎【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式及三角函数的图象，意在考查考生识图、用图的能力．‎ ‎(2)本题主要考查三角函数的图象，意在考查考生的函数图象的变换能力以及三角函数的运算能力．‎ ‎【答案】(1)B　(2)A ‎【感悟提升】‎ ‎1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定 ‎(1)A由最值确定，A＝.‎ ‎(2)ω由周期确定．‎ ‎(3)φ由图象上的特殊点确定．‎ 提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．‎ ‎2．作三角函数图象左、右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x的变化量，因此由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位，而非|φ|个单位．‎ 题型三　三角函数的性质及其应用 例3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎【变式探究】【2016年高考四川文数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.‎ ‎ 【举一反三】(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 ‎(　　)‎ A．y＝cos B．y＝sin C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 解析　A选项：y＝cos＝－sin 2x，T＝π，且关于原点对称，故选A.‎ 答案　A ‎【变式探究】(2014·陕西，2)函数f(x)＝cos的最小正周期是(　　)‎ A. B．π C．2π D．4π 解析　∵T＝＝π，∴B正确．‎ 答案　B ‎【举一反三】已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是(　　)‎ A．y＝f(x)的图象关于(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)的最大值为 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数 题型四　求三角函数的解析式 例4．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)‎ A．5 B．6 C．8 D．10‎ 解析　由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.‎ 答案　C ‎【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析　由图象知＝－＝1，∴T＝2.由选项知D正确．‎ 答案　D ‎【举一反三】已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.‎ ‎(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；‎ ‎(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．‎ ‎ ‎ ‎(1)由f(α)＝得sin α＝.‎ 又α是第一象限角，所以cos α>0.‎ 从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.‎ ‎(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1.于是sin≥.‎ 从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.学*科网 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为 ‎{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．‎ 题型五　函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合应用 例5．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin ＋cos 的最大值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B．1‎ C. D. ‎∴f(x)max＝.故选A.‎ ‎【变式探究】【2016高考浙江文数】设函数，则的最小正周期（ ）‎ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎【答案】B ‎【解析】，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．‎ ‎【举一反三】(2015·安徽，10)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(2)