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- 2021-04-14 发布
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，则( )
A． B． C． D．
2. 若复数满足，则在复平面内表示复数的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4. 从4,5,6,7,8这5个数中任取两个数，则所取两个数之积能被3整除概率是( )
A． B． C. D．
5. 已知实数满足，则目标函数的最大值为( )
A．-3 B． C. 5 D．6
6. 某程序框图如图所示，若输入输出的分别为3和1,则在图中空白的判断框中应填入的条件可以为（ ）
A． B． C. D．
7. 设，则的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
8. 若，则（ ）
A． B．1 C． D．
9. 一个样本容量为8的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为0的等差数列，若，且成等比数列，则此样本数据的中位数是（ ）
A．6 B．7 C.8 D．9
10. 将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象关于对称，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
11. 已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线 (斜率不为零)与椭圆交于两点，为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为（ ）
A．4 B． C. 8 D．
12. 定义域在上的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知两向量与满足，且，则与的夹角为 ．
14. 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍）,小鼠日自半（以后每天减半）.问何日相逢，各穿几何？”
在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ： ．
15. 在锐角中，已知，其面积，则 ．
16. 函数图像上不同两点处的切线的斜率分别是，规定 (为线段的长度)叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”. ①函数图象上两点与点的横坐标分别为1和2, ；
②设曲线上不同两点，且，则的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）设正项等比数列的前项和为，且满足，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列，求的前项和.
18. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形， ，与交于点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）直线与过直线的平面平行，平面与棱交于点，指明点的位置，并证明.
19. （本小题满分12分）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 (升)与速度 (千米／每小时) 的关系可近似表示为：
（Ⅰ）该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？
（Ⅱ）已知两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从地驶向地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
20. （本小题满分12分）双曲线的左、右焦点分别为，过作轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12,抛物线以双曲线的右顶点为焦点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.
21. （本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）若函数在处取得极值，求实数的值；
（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，函数 (其中为函数的导数)的图像关于直线对称，求函数的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为：
.
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点在圆上，求的取值范围.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）解方程；
（Ⅱ）若关于的不等式解集为空集，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: ADBAC 6-10:AAACB 11、12：CB
二、填空题
13. 120° 14.59:26 15. 3 16. ，
三、解答题
17.（Ⅰ） 设正项等比数列的公比为，则
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 故当时，
∴当时，
当时，
∴
18. （Ⅰ）证明：∵，∴面
∴
又已知为平行四边形，且，∴四边形为菱形，
∴，∴平面
又平面，∴平面⊥平面
（Ⅱ）点是棱的中点
证明：如图，连接，∵∥平面
平面平面，平面
∴∥
又∵点为的中点，∴点为的中点
19.(Ⅰ) 当时，
，有最小值
当，函数单调递减，故当时，有最小值10
因，故时每小时耗油量最低
（Ⅲ）设总耗油量为由题意可知：
①当时，
当且仅当，即时，取得最小值16
②当时，为减函数
当，取得最小值10
∵，所以当速度为120时，总耗油量最少
20.（Ⅰ）设，则
令代入的方程有：
∴
∴，故，即
∴抛物线的方称为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，则
直线的方称为，代入抛物线的方程有：
当时，
∴直线的方程为：，即
∴此时直线过定点
当时，直线的方称为：，此时仍过点
即证直线过定点
21.（Ⅰ） 由有
因为在处取得极值，故
∴
经检验：当时，符合题意，故
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
∵的图像关于直线对称，故函数为偶函数
又
∴，解得
∴
∴
令有或
令有或
∴函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减
∴函数的最大值为
22.由有
即
∵代入上式有圆的普通方程为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆的参数方程为，为参数
∴
∴的取值范围为
(其它方法酌情给分)
23. （Ⅰ）由
∴原方程等价于或或
解得：或或
即方程的解为
（Ⅱ）∵关于的不等式解集为空集
∴
又∵
∴