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- 2021-04-14 发布
第97题 数学归纳法
I．题源探究·黄金母题
【例1】在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为条时，第一步检验等于 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】考虑四角形，它有两条对角线，故选D．
【例2】用数学归纳法证明：首项是，公差是的等差数列的前项和公式是时，假设当时，公式成立，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】把代入欲证式易得，故选C．
【例3】用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，等式为
精彩解读
【试题 】例1：人教A版选修2-2P96B组T1改编；例2：人教A版选修2-2P95T1改编；例3：人教A版选修2-2P94例1改编．
【母题评析】这类题主要考查利用数学归纳法证明等式或不等式，考查考生的分析问题、解决问题以及推理论证能力．
【思路方法】
（1）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；
（2）由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异）
，因此左端应在的基础上加上，故选D．
，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．
II．考场精彩·真题回放
【例】已知数列满足：．
证明：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．
【解析】（Ⅰ）证明：令函数，则易得在上为增函数．又，若，则，恒成立，又由可知，
由．
所以．
（Ⅱ）由得
记函数
函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以=0，
因此，．
【命题意图】这类题主要考查利用数学归纳法证明等式或不等式，考查考生的分析问题、解决问题以及推理论证能力．
【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，为容易题；若以解答题的形式出现，这难度较大．
【难点中心】
1．数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误．有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础．
2．归纳假设的作用
在用数学归纳法证明问题时，
（Ⅲ），
即递推得．
由知，
又由可知．
即．
综上可知，．
本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明．
对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证时，必须用上归纳假设．
3．利用归纳假设的技巧
在推证时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握与之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．
III．理论基础·解题原理
1．定义：证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行
（1）（归纳奠基）证明当取第一个时命题成立；
（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以判断命题对从开始的所有正整数都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．
2．框图表示：
归纳奠基
验证时命题成立
若时命题成立，证明时命题也成立
归纳递推
命题对从开始的所有正整数都成立
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，为容易题；若以解答题的形式出现，这难度较大．
【技能方法】
数学归纳法是证明关于正整数的命题的一种方法．
用数学归纳法证明命题的步骤；
（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；
（2）（归纳递推）假设时命题成立，推证当时命题也成立．
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立．
用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等．
【易错指导】运用数学归纳法易犯的错误
（1）对项数的估算的错误，特别是寻找与的关系时弄错项数所发生的变化．
（2）没有利用归纳假设，归纳假设所必须要用的假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．
（3）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．
V．举一反三·触类旁通
考向1 用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清楚等式两边的构成规律．由过渡到时常使用“配凑法”．在证明成立时，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．
【例1】【2018宁夏六盘山高级中学高三五模】用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【例2】设．求证：
．
【证明】（1）当时，左边，右边，左边右边，所以等式成立．
（2）假设时，结论成立，即，
那么，当时，
，∴当时结论仍然成立．
由（1）（2）可知：．
【名师点睛】数学归纳法证明等式的策略
（1）用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值的值．
（2）由到时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
【例3】【2018江苏南通高三上学期第一次调研】（1）用数学归纳法证明：当时，
（，且，）；
（2）求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
试题解析：（1）①当时，等式右边
等式左边，等式成立．
②假设当时等式成立，即 ．
那么，当时，有
这就是说，当时等式也成立．
根据①和②可知，对任何等式都成立．
（2）由（2）可知， ，
两边同时求导，得
所以
所以 ．
【跟踪练习】
1．【2018河南八市高二下学期第一次测评】用数学归纳法证明“ ”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．求证：．
【证明】（1）当时，左边，右边，左边右边，等式成立．
（2）假设时等式成立，即，
则当时，
．即当时，等式也成立．
综合（1），（2）可知，对一切，等式成立．
3．【2018浙江嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三上学期五校联考】已知数列中，满足记为前n项和．
（I）证明：；
（Ⅱ）证明：
（Ⅲ）证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
试题解析：证明：（I）因故只需要证明即可．
下用数学归纳法证明：当时，成立．
假设时，成立，那么当时，，
所以综上所述，对任意，．
（Ⅱ）用数学归纳法证明
当时，成立，
假设时，
那么当时，
所以综上所述，对任意， …………………………10分
（Ⅲ）得 …12分
故
考向2 用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明与有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对
取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
注意：用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立得时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式；③作差（求商）比较法；④构造函数法等．
【例4】用数学归纳法证明：．
【证明】（1）当时，，命题成立．
（2）假设时命题成立，即．
当时，
，命题成立．
由（1）（2）知原不等式在时均成立．
【名师点睛】用数学归纳法证明不等式的策略
（1）当遇到与正整数有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
（2）用数学归纳法证明不等式的关键是由成立，推证时也成立，用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差（作商）比较法、放缩法等证明．
【例5】【2018浙江名校协作体高三上学期考试】已知无穷数列的首项，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ） 记，为数列的前项和，证明：对任意正整数，．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析．
则也为递减数列，故当时，
所以当时，
当时，，成立；
当时，利用裂项求和法即可得证
试题解析：（Ⅰ）证明：①当时显然成立；
②假设当 时不等式成立，即，
那么当时， ，所以，
即时不等式也成立．
综合①②可知，对任意成立．
（Ⅱ），即，所以数列为递增数列．
又 ，易知为递减数列，
所以也为递减数列，所以当时， ，
所以当时， ，
当时，成立；
当时，
．
综上，对任意正整数，．学 :学_ _ _X_X_ ]
【例6】【2018浙江部分市学校（新昌中学、台州中学等）上学期高三9月联考】已知数列满足：，，．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析．
性，推出，即可得证；（3）由（2）可得，由迭代可得，再根据，推出 ，然后由，推出，即可得证．
试题解析：（1）先用数学归纳法证明．
①当时，∵，∴；
②假设当时，，则当时，．
由①②可知．再证．
，令，，则，
所以在上单调递减，所以，所以，即．
（2）要证，只需证，只需证其中，先证，令，，只需证．
因为，所以在上单调递减，所以．再证．
令，，只需证，，
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
从而，所以在上单调递增，所以，
综上可得．
（3）由（2）知，一方面，，由迭代可得，
因为，所以，所以
；
另一方面，即，由迭代可得．
因为，所以 ，所以
；
综上，．
点睛：本题主要考查利用数学归纳法、分析法证明不等式，考查利用导数求函数的单调区间及最值问题．第一问是利用分析法证明不等式，分析法证明不等式是从结论出发，通过变形转化之后，变为一个显然成立的结论，那么原不等式即是成立的．证明不等式，也可以考虑通过放缩后，利用导数求最值来证明．
【跟踪练习】
1．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立．
【证明】（1）当时，左边；右边．∵左边>右边，∴不等式成立．
（2）假设时不等式成立，即．
则当时，[来
∴当时，不等式也成立．
由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数，不等式都成立．
2．已知函数存在
（I）证明在R上是单调增函数；
（II）设
证明：．
【证明】（I），故函数在R上是单调增函数．
（II）①当n=1时，．
当n=2时，由（I）及函数在R上单调递增及得
②设时，不等式成立，即，
则当时，又在R上单调递增，则，又，则
由①，②知，对一切成立．
3．【2018陕西省西安市西北工业大学附属中学高三上第七次模拟】已知函数
．
（1）当时，求函数的最值；
（2）当时，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，设函数，数列满足，，求证：，．
【答案】（1），无最大值．（2）（3）见解析
试题解析：（1）∵，∴，
∴，令，得，则随变化如下：
所以，无最大值．
（2）设，则，
当时，且，，函数在上是增加的，
∴，成立；
当时，令，得，当，
，
函数在上是减小的，而，所以，当时，，
所以不恒成立，
综上，对任意都有恒成立时，．
（3）∵，∴，
又，当时，，∴在上是增加的，
所以，当时，∵，∴，
而，∴成立．
，假设时，成立，那么当时，，[ :学 ]
而，∴成立．
综合，得：，成立．
考向3 用数学归纳法证明整除性问题
【例7】用数学归纳法证明：
（Ⅰ）能被264整除；
（Ⅱ）能被整除（其中n，a为正整数）
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析．
当时，
能被264整除，命题正确．
（Ⅱ）当时，能被整除，成立；
当时，假设能被整除；
当时，
能被整除．
【例8】【2018南阳六校高三联考】已知数列满足，
（1）求，，，；
（2）归纳猜想出通项公式，并且用数学归纳法证明；
（3）求证能被15整除．
【答案】（1），，，；（2），证明略；（3）略；
试题解析：（1），，，；
（2）归纳猜想出通项公式，
①当时，，成立
②假设时成立，即，
则当时，由
得：
所以时也成立；
综合①②，对等式都成立，从而得证．
（3）由（2）知
而，
展开：，被15除余数为1，
故被15整除．
【例9】【2018上海虹口区高三上学期期末考试】已知无穷数列的各项均为正数，其前项和为，．
（1）如果，且对于一切正整数，均有，求；
（2）如果对于一切正整数，均有，求；
（3）如果对于一切正整数，均有，证明：能被8整除．
【答案】(1) ；(2) ．(3) 见解析．
解析：
(1) 数列的各项均为正数，由，得，
数列是等比数列，公比，从而
(2) 由得，两式相减得，
此数列各均为正数， ，数列和数列均是公差为1的等差数列．由，得．
当为偶数时，
当为奇数时，
．
(3) 由得，两式相减得．
，得，．
以下证明：对于，被8除余数为4，被8整除，被8除余数为4．
当时，，，，命题正确．
假设时，命题正确，即，，其中，．
那么，， 为正整数， 被8除余数为4．学
．[来
为正整数， 能被８整除．
． 为正整数， 被8除余数为4．
即时，命题也正确．
从而证得，对于一切正整数，能被８整除．
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1
时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和，分奇偶项分别求和．
【跟踪练习】
1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”，当第二步假设命题为真时，进而需证________时，命题亦真．
【答案】
点睛：本题考查数学归纳法的基本格式．第一步是证明命题的第一项成立，需要注意的是命题的第一项不一定就是的情况；第二步假设命题的第项成立，本题中因为是正奇数，则假设成立；第三步证明命题的第项成立，本题中的第项是．
2．【2017江苏如东高级中学高二下学期期中考试】用数学归纳法证明：（）能被9整除．
【答案】详见解析．
【解析】试题分析：
利用数学归纳法的步骤首先验证n=1时成立，然后假设 命题成立，验证 等式成立即可．
试题解析：
（1）当时，能被9整除，所以命题成立
（2）假设当时命题成立，即（）能被9整除
那么，当时，
由归纳假设（）能被9整除及是9的倍数
所以能被9整除
即时，命题成立
由（1）（2）知命题对任意的均成立
点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，．第(2)步，证明n＝ ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．
3．【2018江苏连云港东海县二中高二下期中考试】用“数学归纳法”证明：能被整除．
【答案】见解析
试题解析：
（1）n=1时，1-（3+x）=-（x+2），命题成立．
（2）假设n= 时命题成立，即能被x+2整除，则n= +1时，
，
由归纳假设知，命题成立．
由（1）（2）知，命题成立．学
考向4 归纳——猜想——证明
“归纳——猜想——证明”的模式是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
【例10】已知数列的前项和满足：，且．[ :学 XX ]
（1）求，并猜想的通项公式；
（2）证明通项公式的正确性．
【解】（1）当时，由已知得，即．
当时，由已知得，将代入并整理得．
．同理可得．猜想．
（2）证明：①由（1）知，当时，通项公式成立．
②假设当时，通项公式成立，即．
由于，将代入上式，整理得
，即时通项公式成立．
由①②可知对所有，都成立．
【名师点睛】“归纳——猜想——证明”类问题的解题步骤
利用数学归纳法可以探索与正整数有关的探索性问题、存在性问题，其基本模式是“归纳——猜想——证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理（即演绎推理）论证结论的正确性．
【例11】【2018江苏南通高三全真模拟试题（一）】已知数列的前项和为，通项公式为，且．
（1）计算的值；
（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
试题解析：（1），，
．
（2）由（1）知，．下面用数学归纳法证明：当时，．
（i）由（1）知当时，．
（ii）假设当时，，即，
那么
．．
所以当时，也成立．因此，当时，．
综上，当和时，；当时，．
点睛：此题意主要考查了通项公式、前项和定义、分段函数，以及数学归纳法的运用等有关方面的知识和运算技能，属于中低档题型．在使用数学归纳法的过程中要注意几点：1．步骤（1）是步骤（2）的基石；2．步骤（2）是步骤（1）的递推依据；3．要注意步骤（1）的完整性；4．在步骤（2）中假设时命题成立，进而需求证时命题成立；5．由到的证明中要注意与的差异与联系；6．步骤（2）中的归纳假设必须应用，虽然有些题目证明过程中可以不应用归纳假设就可以得到证明，但是，这不符合数学归纳法的要求．学
【例12】【2018江苏姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】已知数列满足…．
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．
【答案】(1) (2)见解析
②假设时结论成立，
则有．
则时，．
由得
，
．
又
，
于是．所以，故时结论也成立．
由①②得， ．
【跟踪练习】
1．设，令．
（1）求出的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．
【解】（1）；；
．猜想．
（2）证明：①易知，时，猜想正确．
②假设时猜想正确，即，则
．这说明，时猜想正确．
由①②知，对于任何，都有．
2．【2018江苏省南通、扬州、泰州高三第三次模拟】已知函数，设为的导数，．
（1）求；
（2）猜想的表达式，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析（2）见解析
②假设当时，结论正确，即有．当时， ，所以当时结论成立，由①②得，对一切结论正确．
点睛：数学归纳法是中学数学中重要的证明与自然数有关命题的数学思想方法，运用该方法时，一定要验证初始条件的成立与否，这是推证的基础；其中从．本题的第一问，借助题设条件运用导数知识直接求解；第二问归纳法推证时，借助（１）猜想的结论，进而运用数学归纳法分析推证而获证．
3．【2018江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 】已知，其中，，，．
（1）试求，，的值；
（2）试猜测关于的表达式，并证明你的结论．
【答案】（1），（2）
试题解析：解：（1） ；
； ；
．
（2）猜想：．
而 ， ，
所以．
用数学归纳法证明结论成立．
①当时，，所以结论成立．
②假设当时， ．
当时，
（*）
由归纳假设知（*）式等于 ．
所以当时，结论也成立．
综合①②，成立．