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- 2021-04-14 发布
蚌埠一中2017-2018学年度第一学期期中考试
高二数学（理）
考试时间：120分钟 试卷分值：150 命题人：朱克莲
一、选择题(每小题5分,共12小题60分)
1、下列命题中正确的是（ ）
（1）在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
（3）在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
（4）圆柱的任意两条母线相互平行.
A.（1）（2）
B.（2）（3）
C.（1）（3）
D.（2）（4）
2、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、如图，用斜二测画法作水平放置的直观图形得，其中=，是边上的中线，由图形可知在中，下列四个结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4、长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ( )
A. B. C. D.都不对
5、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问： 积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
6、已知P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是 （ ）
A.
B.
C.
D.
8、下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是( )
A.①、③
B.①、④
C.②、③
D.②、④
9、空间四边形中，若，，那么有( )
A.平面平面
B.平面平面
C.平面平面
D.平面平面
10、以下命题正确的有（ ）
①；②；③；④．
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④
11、过三棱柱的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有( )
A.4条
B.6条
C.8条
D.12条
12、如图，正方体中，点P在四边形的内部及其边界上运动，并且总保持，则动点P的轨迹是( )
A.线段
B.线段
C.的中点与的中点的连线
D.的中点与的中点的连线
二、填空题(每小题5分,共4小题20分)
13、已知正方形ABCD的边长是1，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：
①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC＝，
则其中的真命题的序号是__________．
14、如图，在三棱锥中，，且，则与底面所成的角为__________．
15、已知分别是平面，的法向量，且，则的值是__________.
16、在平行四边形中，，. 将沿折起，使得平面平面，如图所示. 若为中点，则二面角的余弦值为__________.
三、解答题(第17题14分,第18题14分,第19题14分,第20题14分,第21题14分,共5小题70分)
17、如图，分别是空间四边形的边的中点，求证：
（1）四点共面；
（2）平面．
(第17题图) (第18题图)
18、如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6．
(1)判断MN与BD的位置关系；
(2)求MN的长．
19、如图4所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．
（1）求证：.
（2）若平面，则侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
20、如图，在直三棱柱中，，，是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求二面角的余弦值.
（第20题图）
21、在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点．M是PD的中点，AB＝2，∠BAD＝．
(1)求证：OM∥平面PAB；
(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(3)当四棱锥P—ABCD的体积等于时，求PB的长．
高二期中理科数学答案解析
选择题答案：DACBBDCBDABA
第1题答案D
（1）所取的两点与圆柱的轴的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符；（3）所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义；（2）（4）符合圆锥，圆柱母线的定义及性质.
第2题答案A
解：依题意得
三视图复原的几何体是棱长为2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为2，底面半径为1；
所以几何体的体积是：，故选A．
第3题答案C
解：依题意得
还原平面图如下：
答案为C
第4题答案B
如图所示，设球的半径为R，则球的直径，所以球的表面积,故选B.
第5题答案B
，则，，．
第6题答案D
在A图中：分别连接PS，QR，
则PS∥QR，
∴P，S，R，Q共面．
在B图中：过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面．
在C图中：分别连接PQ，RS，
则PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．
D图中：PS与RQ为异面直线，
∴P，Q，R，S四点不共面．
故选：D．
第7题答案C
连结，由∥可得异面直线所成角为，在中，由余弦定理可得
第8题答案B
①中取上边的点为点，连结，则易证面平面，如图（2）．
第9题答案D
∵，，∴平面．又平面，∴平面平面，故选D．
第10题答案A
①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②由线面垂直的性质可知结论正确；③中的关系可以线面平行或直线在平面内；④中直线可以与平面平行或直线在平面内.
第11题答案B
解：作出如图的图形，H，G，F，I是相应直线的中点，
故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，
由此四点可以组成6条直线，故选B.
第12题答案A
解：如图，先找到一个平面总是保持与垂直，连接，，，在正方体中，易得⊥，⊥；则⊥面，又点P在侧面及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面与面的交线段．
故答案为A.
第13题答案①③④
由于BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，于是AC⊥BD，所以①正确；因为折成60°的二面角，所以∠AOC＝60°，又OA＝OC，因此△AOC为正三角形，故③正确；cos∠ADC＝，故④也正确．故选①③④.
第14题答案
解：，在底面的射影是的外心，
又，故是的中点，所以与底面所成角为，等边三角形中，设边长为1，，直角三角形中，，三角形中，
，，则与底面所成角为.
第15题答案
∵，∴，则，∴.
第16题答案
过点在平面内作，
因为平面平面， 所以平面，平面，平面，所以，. 以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图空间直角坐标系.
依题意，，，，，，
则，，
设平面的法向量，则，即，
取，得到平面的一个法向量，
又平面的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角为锐角，
从而二面角的余弦值为.
第17题答案
证明：（1）∵分别是空间四边形的边的中点
∴，
∴
∴与确定唯一平面
∴四点共面.
（2）因为E,H分别为AB,AD的中点，,
又∵EH平面EFGH,BD平面EFGH
∴BD∥平面EFGH
第18题答案
(1)∥；
(2).
第18题解析
(1)延长交于点，延长交于点，
则分别为，的中点，∥，
又,∴∥,∴∥．
(2)由（1)知，，∴.
第19题答案
（1）略
（2）
第19题解析
（1）连接，设交于，则.
由题意知平面，以为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系如图，
设底面边长为，则高，于是，，，，
，，则，故,从而.
（2）棱SC上存在一点E，使BE//平面PAC.
理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，
且，，，
设，则，
而，解得，
即当时,，而不在平面PAC内，故BE//平面PAC.
第20题答案
（1）连结，交于点，连结.
由 是直三棱柱，
得四边形为矩形，为的中点.
又为中点，所以为中位线，
所以 ∥，
因为 平面，平面，
所以 ∥平面.
（2）由是直三棱柱，且，故两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.
设，则.
所以 ，
设平面的法向量为，则有
所以 取，得.
易知平面的法向量为.
由二面角是锐角，得 .
所以二面角的余弦值为.
第21题解析
（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，
∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，
∴OM∥平面PAB．
（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．
∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
（3）∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为S
∵四棱锥P-ABCD的高为PA，∴得
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．
在Rt△PAB中，