【数学】2020届一轮复习（文理合用）选修4－4　坐标系与参数方程作业 5页

对应学生用书[考案11理][考案11文]‎ 选修4－4　综合过关规范限时检测 ‎(时间：45分钟　满分100分)‎ ‎1．(2019·唐山模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(θ为参数)，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(2cosθ－sinθ)＝6.‎ ‎(1)试写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；‎ ‎(2)在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎[解析]　(1)由题意知，直线l的直角坐标方程为2x－y－6＝0.‎ ‎∵曲线C的参数方程为(θ为参数)，‎ ‎∴曲线C的普通方程为()2＋()2＝1，即＋＝1.‎ ‎(2)设P(cosθ，2sinθ)，‎ d＝＝，‎ ‎∴当sin(60°－θ)＝－1时，dmax＝＝2，此时点P(－，1)．‎ ‎2．(2019·深圳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线C1的方程为x＋y＋2＝0，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ2＋4ρsin(θ＋)＋1＝0.‎ ‎(1)求圆C2的直角坐标系下的标准方程；‎ ‎(2)若直线C1与圆C2交于P，Q两点，求△OPQ的面积．‎ ‎[解析]　(1)ρ2＋4ρsin(θ＋)＋1＝0，即ρ2＋2ρsinθ＋2ρcosθ＋1＝0，‎ 即x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，∴(x＋)2＋(y＋1)2＝3，‎ 所以圆C2在直角坐标系下的标准方程为(x＋)2＋(y＋1)2＝3.‎ ‎(2)由(1)知圆心C2(－，－1)，圆的半径r＝，‎ 又圆心C2到直线C1的距离 d＝＝1，‎ 则|PQ|＝2＝2.‎ 又原点O到直线PQ的距离d1＝＝1，‎ 所以S△OPQ＝|PQ|·d1＝×2×1＝.‎ ‎3．(2019·青岛模拟)已知在直角坐标系xOy中，极点与坐标原点O重合，极轴与x 轴正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsinθ－4ρcosθ＋2＝0，曲线C2的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；‎ ‎(2)若A是直线l上一动点，B是曲线C2上一动点，求|AB|的最小值．‎ ‎[解析]　(1)将ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入ρsinθ－4ρcosθ＋2＝0，得直线l的直角坐标方程为4x－y－2＝0.‎ 由(t为参数)消去参数t，得曲线C2的普通方程为y＝4x2.‎ ‎(2)由题知|AB|的最小值就是曲线C2上的点B到直线l距离d的最小值．‎ 设B(x,4x2)，‎ 则d＝＝＝，‎ 当x＝时，dmin＝，故|AB|的最小值为.‎ ‎4．(2019·杭州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若C1与C2交于P，Q两点，求＋的值．‎ ‎[解析]　(1)由(t为参数)，消去参数t得x2＝4y，即C1的普通方程为x2＝4y.‎ 由ρ＝得mρsinθ＋ρcosθ＝1，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得my＋x－1＝0即C2的直角坐标方程为my＋x－1＝0.‎ ‎(2)由可得＝t(x≠0)，故t的几何意义是抛物线x2＝4y上的点(原点除外)与原点连线的斜率，‎ 由题意知当m＝0时，C2：x＝1，则C1与C2只有一个交点，故m≠0.‎ 把代入my＋x－1＝0得4mt2＋4t－1＝0，‎ 设此方程的两根分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－，t1t2＝－，‎ 所以＋＝＋＝＝＝4.‎ ‎5．(2019·无锡模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同．已知圆C1的极坐标方程为ρ＝4(cosθ＋sinθ)，P是C1‎ 上一动点，点Q在射线OP上且满足|OQ|＝|OP|，点Q的轨迹为C2.‎ ‎(1)求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；‎ ‎(2)已知直线l的参数方程为(t为参数，0≤φ<π)，l与曲线C2有且只有一个公共点，求φ的值．‎ ‎[解析]　(1)设点P，Q的极坐标分别为(ρ0，θ)，(ρ，θ)，则ρ＝ρ0＝·4(cosθ＋sinθ)＝2(cosθ＋sinθ)，‎ ‎∴点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)，‎ 两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，‎ ‎∴C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得 ‎(tcosφ＋1)2＋(tsinφ－1)2＝2，即t2＋2(cosφ－sinφ)t＝0，‎ t1＝0，t2＝2(sinφ－cosφ)，‎ 由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，得sinφ－cosφ＝0，‎ 因为0≤φ<π，所以φ＝.‎ ‎6．(2019·临沂模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(r>0，φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－)＝1，且直线l与曲线C相切．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)在曲线C上取两点M，N，与原点O构成△MON，且满足∠MON＝，求△MON面积的最大值．‎ ‎[解析]　(1)由题意可知直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，‎ 由曲线C的参数方程知，曲线C是圆心为(，1)，半径为r的圆．由直线l与曲线C相切，可得r＝＝2，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－1)2＝4，‎ 又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＝0，‎ 即ρ＝4sin(θ＋)．‎ ‎(2)不妨设M(ρ1，θ)，N(ρ2，θ＋)，其中ρ1>0，ρ2>0，‎ 则S△MON＝||×||×sin＝ρ1ρ2＝×4sin(θ＋)×4sin(θ＋)＝2sinθcosθ＋2cos2θ ‎＝sin2θ＋cos2θ＋＝2sin(2θ＋)＋≤2＋，‎ 所以△MON面积的最大值为2＋.‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数，实数a>0)，曲线C2：(φ为参数，实数b>0)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α(ρ≥0,0≤α≤)与C1交于O，A两点，与C2交于O，B两点．当α＝0时，|OA|＝1；当α＝时，|OB|＝2.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．‎ ‎[解析]　(1)将C1的参数方程化为普通方程：(x－a)2＋y2＝a2，‎ 其极坐标方程为ρ1＝2acosθ，‎ 由题意可得，当θ＝α＝0时，|OA|＝2a＝1，所以a＝.‎ 将C2的参数方程化为普通方程：x2＋(y－b)2＝b2，‎ 其极坐标方程为ρ2＝2bsinθ，‎ 由题意可得，当θ＝α＝时，|OB|＝2b＝2，所以b＝1.‎ ‎(2)由(1)可得C1，C2的方程分别为ρ1＝cosθ，ρ2＝2sinθ，‎ 所以2|OA|2＋|OA|·|OB|＝2cos2θ＋2sinθcosθ＝sin2θ＋cos2θ＋1＝sin(2θ＋)＋1.‎ 因为θ＝α，0≤α≤，所以0≤θ≤，所以2θ＋∈[，]．‎ 所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin(2θ＋)＋1取得最大值，为＋1.‎ ‎8．(2019·吉林模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋2sinθ，直线l1：θ＝(ρ∈R)，直线l2：θ＝(ρ∈R)．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎(1)求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；‎ ‎(2)若直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求△AOB的面积．‎ ‎[解析]　(1)依题意，直线l1的直角坐标方程为y＝x，‎ 直线l2的直角坐标方程为y＝x.‎ 由ρ＝2cosθ＋2sinθ得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，‎ 因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，‎ 所以(x－)2＋(y－1)2＝4，‎ 所以曲线C的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(2)联立得，所以|OA|＝4，‎ 同理，|OB|＝2，‎ 又∠AOB＝，‎ 所以S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB＝×4×2×＝2，‎ 即△AOB的面积为2.‎