【数学】2020届一轮复习人教A版第31课三角形中的有关问题作业（江苏专用） 4页

随堂巩固训练(31)‎ ‎ 1. 若钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝____．‎ 解析：由题意得S△ABC＝AB·BCsinB，即sinB＝，所以B＝45°或B＝135°.当B＝135°时，cosB＝－＝－.利用余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋2＋2＝5，即AC＝；当B＝45°时，cosB＝.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋2－2＝1，即AC＝1，所以AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不符合题意，所以AC＝.‎ ‎ 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＋c＝2b，sinB＝sinC，则cosA＝____．‎ 解析：由sinB＝sinC得b＝c.又a＋c＝2b，所以a＝c.由余弦定理得cosA＝＝＝.‎ ‎ 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝____．‎ 解析：因为8b＝5c，所以由正弦定理知8sinB＝5sinC.因为C＝2B，所以B＝，所以8sin＝10sincos.又因为sin≠0，所以cos＝，所以cosC＝2cos2－1＝.‎ ‎ 4. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝__5__．‎ 解析：因为23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，所以cos2A＝.因为A为锐角，所以cosA＝.又因为a＝7，c＝6，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即49＝b2＋36－b，解得b＝5或b＝－(舍去)，则b＝5.‎ ‎ 5. 在△ABC中，其面积S＝，则C＝____．‎ 解析：由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，所以△ABC的面积S＝＝＝absinC，所以cosC＝sinC，所以tanC＝.因为C为△ABC的内角，所以C＝.‎ ‎ 6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1＋＝，则A＝____．‎ 解析：由正弦定理及1＋＝得1＋＝，化简可得sin(A＋B)＝2sinCcosA.又因为sin(A＋B)＝sinC，且sinC≠0，sinB≠0，所以cosA＝.因为A为△ABC的内角，所以A＝.‎ ‎ 7. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＋＝6cosC，则＋＝__4__．‎ 解析：因为＋＝6cosC，所以由余弦定理可得＝6·，所以a2＋b2＝，所以＋＝＋＝·＝·＝＝＝·＝＝4.‎ ‎ 8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则△ABC的形状为__钝角__三角形．‎ 解析：因为3sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b，所以a＝b.因为b＋c＝2a，所以c＝b，所以cosC＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝，故△ABC为钝角三角形．‎ ‎ 9. 在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，下列结论中正确的序号是__②③__．‎ ‎①由已知条件，这个三角形被唯一确定；　　　②△ABC一定是钝角三角形；‎ ‎③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3; ④若b＋c＝8，则△ABC的面积是.‎ 解析：由已知可设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，k>0，则a＝k，b＝k，c＝k，k>0，所以由正弦定理a∶b∶c＝7∶5∶3，所以sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，所以③正确；同时由于△ABC的边长不确定，故①错误；因为cosA＝＝＝－<0，所以△ABC为钝角三角形，所以②正确；若b＋c＝8，则b＝5，c＝3.因为cosA＝－，所以sinA＝，所以S△ABC＝bcsinA＝，故④错误．‎ ‎10. 已知在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，D为AB延长线上一点，BD＝2，连结CD，则△BDC的面积是____，cos∠BDC＝____．‎ 解析：如图，取BC的中点E.因为AB＝AC＝4，BC＝2，所以BE＝BC＝1，AE⊥BC，所以AE＝＝，所以S△ABC＝BC·AE＝×2×＝.因为BD＝2＝AB，所以S△BDC＝S△ABC＝.因为BC＝BD＝2，所以∠BDC＝∠BCD，所以∠ABE＝2∠BDC.在Rt△ABE中，因为cos∠ABE＝＝，所以cos∠ABE＝2cos2∠BDC－1＝，所以cos∠BDC＝.‎ ‎11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)．‎ ‎(1) 求cosA的值；‎ ‎(2) 求sin(2B－A)的值．‎ 解析：(1) 由题意得a2＝4b2，即a＝2b.‎ 因为ac＝(a2－b2－c2)，所以由余弦定理得 cosA＝＝＝－.‎ ‎(2) 由(1)可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB，得sinB＝＝.‎ 由(1)知A为钝角，所以B为锐角，所以cosB＝＝，‎ 所以sin2B＝2sinBcosB＝，cos2B＝1－2sin2B＝，‎ 所以sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝×－×＝－.‎ ‎12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项．‎ ‎(1) 求角B的大小；‎ ‎(2) 若a＋c＝，b＝2，求△ABC的面积．‎ 解析：(1) 由题意得acosC＋ccosA＝2bcosB，‎ 由正弦定理得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，即sin(A＋C)＝2sinBcosB.‎ 因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB＝2sinBcosB.‎ 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosB＝，所以B＝. ‎ ‎(2) 由余弦定理得＝cosB，即＝.‎ 将a＋c＝，b＝2代入上式，得ac＝2，所以S△ABC＝acsinB＝. ‎ ‎13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且m＝(cosA，cosC)，n＝(a，2b－c)，若m∥n.‎ ‎(1) 求角A的大小；‎ ‎(2) 当a＝时，求b2＋c2的取值范围．‎ 解析：(1) 由m∥n得(2b－c)cosA＝acosC，‎ 由正弦定理得(2sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，‎ 即2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB.‎ 因为sinB≠0，所以cosA＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.‎ ‎(2) 由正弦定理＝＝＝2，得b＝2sinB，c＝2sinC，‎ 所以b2＋c2＝4sin2B＋4sin2C＝2(1－cos2B＋1－cos2C)＝2[2－cos2B－cos2]＝4＋2sin.‎ 因为0