专题10++三角化简的技巧-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖（教师版） 16页

专题10 三角化简的技巧 一．三角化简的技巧 ‎1.角的范围问题 ‎2. 角的一致性问题 ‎3. 三角化简形式、名称、角的一致原则 ‎4.角成倍角的余弦之积问题 ‎ ‎5.“1”的妙用 ‎6.辅助角的替换作用 ‎7. 角的范围对函数性质的影响 ‎8. 用已知角表示未知角问题 二．三角化简方法总结：‎ ‎1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.‎ ‎2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作. ‎ ‎（三）用已知角表示未知角 例3．已知， ，且，则（）‎ A．-2 B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】观察角之间的关系，拆角，，利用差角公式展开，可以求得.‎ ‎【解析】因为sin， ，所以；‎ 又 所以，‎ ‎，，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换，一般求解思路是先观察已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.注意积累常见的拆角方法.‎ 练习1．已知在锐角△ABC中，角α＋的终边过点P(sin B－cos A，cos B－sin A)，且cos，则cos 2α的值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【分析】在锐角三角形中分析可得sin B－cos A>0， cos B－sin A<0，得α＋为第四象限角，由的展开即可得，利用余弦的二倍角公式即可得解.‎ ‎【点睛】给值求值问题一般是应用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．‎ 练习2．若, , ,求=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】由同角三角函数的基本关系可得和，进而由诱导公式和和差角的公式可得：，代值计算可得．‎ ‎【解析】，，，‎ 又，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎,故选C.‎ 练习3．已知，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.选A.‎ ‎【防陷阱措施】用题目所给的已知角表示未知角能够简化解题步骤，节约解题时间 练习4．设，若，则（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ 所以，‎ 故选D。‎ 练习5．若，则tan2α=（　　）‎ A. ﹣3 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，则；故选D.‎ 练习6. 已知， ，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】， ，‎ 故选 练习7. 已知， ，且，,则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵<α<π，∴π<2α<2π.‎ ‎∵－<β<0，∴0<－β<，π<2α－β<，而sin(2α－β)＝>0，‎ ‎∴2π<2α－β<，cos(2α－β)＝.‎ 又－<β<0且sin β＝，‎ ‎∴cosβ＝，‎ ‎∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]‎ ‎＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sin β ‎.‎ 又cos 2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝.‎ 又，∴sin α＝.‎ ‎（四）.降幂公式的灵活应用 例4. 已知是第一象限的角，若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，‎ ‎， 是第一象限的角，，故选C.‎ ‎【防陷阱措施】当幂比较高时，注意先使用平方关系把幂降下来 练习1．已知，则（ ）‎ A． B．- C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】,又 ‎∴‎ 故选：A 练习2．在中，若，则下面等式一定成立的为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在中，， ， ‎ ‎， ，故选 练习3．已知函数，给出下列四个结论：‎ ‎① 函数的最小正周期是；‎ ‎② 函数在区间上是减函数；‎ ‎③ 函数的图像关于点对称；‎ ‎④ 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.其中正确结论的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期判断①的正误；利用函数的单调性判断②的正误；利用函数y＝sinx的中心判断③的正误；函数的图象的变换判断④的正误；‎ ‎【详解】f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1﹣1＝sin 2x+cos 2x﹣1sin（2x）﹣1．‎ ‎①因为ω＝2，则f（x）的最小正周期T＝π，结论正确．‎ ‎②当x∈[]时，2x∈[，]，则sinx在[]上是减函数，结论正确．‎ ‎③因为f（）＝﹣1，得到函数f（x）图象的一个对称中心为（，﹣1），结论不正确．‎ ‎④函数f（x）的图象可由函数ysin2x的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．‎ 故正确结论有①③，‎ 故选：B．‎ 练习4．在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，利用倍角公式可得，解得，可得．利用余弦定理可得：，再利用基本不等式可得，进而得到的最大值．‎ ‎【详解】∵，∴，‎ 化为，解得，‎ ‎∵，∴．‎ 由余弦定理可得，‎ ‎∴，当且仅当时取等号．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 的面积的最大值为．‎ 故选：A．‎ ‎（五）特殊角的替换作用 例5.等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C。‎ 练习1．‎ A. B. -1 C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ 故选：D.‎ ‎（六）.角的一致性 例6.的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】故选D.‎ ‎【防陷阱措施】三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；‎ ‎（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.‎ 练习1=______________‎ ‎【答案】-1‎ 练习2__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 故答案为 练习3． __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由，及，‎ 可得，所以.‎ 练习4． __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎.‎ 故答案为： ‎ 练习5. 求值： ________． ‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】 ‎ 故答案为4‎ 练习6__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，应填答案。‎ 点睛：解答本题的关键是借助题设中角度的特征，先将切化弦，再运用三角变换公式及二倍角的正弦余弦公式进行运算，进而达到化简的目的。‎ 练习7．化简的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式，故答案为.‎ 练习8求的值.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为2.‎ 原式 ‎7.辅助角公式的灵活应用 例7. 已知，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得。由辅助角公式可得， 所以最大值为2.故选C。‎ ‎【防陷阱措施】求函数的最值问题，利用辅助角公式将解析式化成一个角的三角函数形式，即，利用三角函数的性质求最值。‎ 练习1．已知函数，在上单调， 且．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数是偶函数，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数的二倍角公式与辅助角公式，化简得，再利用在上单调， 且，即可确定f（x）=，再通过图象变换与偶函数得到的最小值.‎ ‎【详解】=+=-==2sin（），又，可知的一个对称中心为（），代入化简的式子得= k（k），得=6k+2（k），当=2时，在上单调，当时，在上有一个或多个周期，不满足题意，舍去，‎ 所以，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数为=为偶函数，所以=+k（k）,+（k）,又所以的最小值为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了利用二倍角公式、三角恒等变换公式将函数f（x）的表达式化简，借助于三角函数的图象与性质等知识确定和，属于中档题．‎ 练习2．将函数的图象向右平移个单位后，所得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先将已知函数通过二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，转化为，再根据题意求得平移后的三角函数，进而利用三角函数的对称性求解.‎ ‎【详解】由题意得，，‎ 将函数的图象向右平移 个单位后，得到的函数图象，∴，解得：，‎ ‎∵，则的最小值为，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了三角函数图象的平移变换，考查了三角函数的图象性质；平移原则：左加右减，上加下减.‎ 练习3．若函数在处取得最大值4，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于函数f(x)有解得a=2,b=2,所以=,‎ 故选B.‎ 练习4．设函数，，若直线，分别是曲线与的对称轴，则　　‎ A．2 B．0 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用辅助角公式以及降幂公式，化简函数的解析式，，再利用三角函数的图象的对称轴求得的值，从而可得的值．‎ ‎【详解】函数，‎ ‎，‎ 若直线，分别是曲线与的对称轴，‎ 则，，．‎ 即，，，‎ 则 ‎，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式与降幂公式以及三角函数图象的对称性，属于中档题．函数的称轴方程可由求得；函数的称轴方程可由求得.‎ ‎（八）.正切公式的灵活应用 例7. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 所以 ‎ 所以原式等于．‎ 故选D ‎【防陷阱措施】巧妙应用两角和差的正切公式，找到和与乘积的关系．‎ 练习1在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令， ， ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设在数和之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，则，即为此等比数列的公比， ，，由，又，， ， ‎ ‎，故答案为.‎ 练习2________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,，‎ ‎，故答案为.‎ 练习3． __________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】注意到可化为.项证明一般结论如下：，‎ 由于，故原式.‎ ‎（九）.正切变两弦 例9.8的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ，故选C.‎ ‎【防陷阱措施】本题的解题关键是：1.切化弦；2.辅助角公式；3.利用二倍角公式和诱导公式求解.‎ 练习1．（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D.‎