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- 2021-04-14 发布
一中2018～2019学年度第二学期第一次调研高二数学（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.复数（是虚数单位）的虚部是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为的形式，可得虚部．
【详解】因为．
所以复数的虚部为：．
故选：．
【点睛】本题是基础题，考查复数的代数形式的基本运算和复数的基本概念，考查计算能力，注意虚部是实数．
2.设为平面，，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．
【详解】若，，则与相交、平行或异面，故错误；
若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故正确；
若，，则或，故错误；
若，，则，或，或与相交，故错误．
故选：．
【点睛】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
3.执行如图所示的程序框图，输出的值为( )
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，本程序框图为求的值，利用循环体，代入计算可得结论．
【详解】根据题意，本程序框图为求的值
第一次进入循环体后，，；
第二次进入循环体后，，；
第三次进入循环体后，，
第四次进入循环体后，，；
退出循环.
故选：．
【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．
4.曲线C经过伸缩变换后，对应曲线方程为：，则曲线C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
从变换规则入手，代入新方程化简可得.
详解】把代入得，化简可得，故选A.
【点睛】本题主要考查坐标变换，明确变换前和变换后的坐标之间的关系是求解关键.
5.已知函数的极大值点为，极小值点为，则( )
A. 0 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．
【详解】由题意可得：，
令，即，
解得：，，
在递增，在，递减，在，递增，
是极大值点，是极小值点，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和极值点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6.设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意有，解得，所以.
考点：等差数列的基本概念.
【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
7.若函数向右平移个单位后，得到，则关于的说法正确的是（ ）
A. 图象关于点中心对称 B. 图象关于轴对称
C. 在区间单调递增 D. 在单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
利用左加右减的平移原则，求得的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可.
【详解】函数向右平移个单位，得．
由＝，得，所以不是的对称中心，故A错；
由＝， 得，所以的图象不关于轴对称，故B错；
由，得，
所以在区间上不单调递增，在上单调递增，
故C错，D对；
故选：D．
【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为或，从而可利用正（余）弦型周期计算公式周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．
8.若是的共轭复数，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数运算，先求得，再求其共轭复数，则问题得解.
【详解】由题知,则．
故选：B.
【点睛】本题考查复数的运算，涉及共轭复数的求解，属综合基础题.
9.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.
考点：椭圆的几何性质．
10.棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．
【详解】
由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，所得的组合体，
其截面是一个梯形，
上底长为，下底边长为，
高为：，
故截面的面积，
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
11.已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形
是直角三角形，根据棱锥的体积求出到平面的距离，利用勾股定理计算球的半径，得出球的面积．
【详解】由余弦定理得，解得，
，即．
为平面所在球截面的直径．
作平面，则为的中点，
，
．
．
．
故选：．
【点睛】本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断的形状是关键．
12.定义域为的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数可判断出函数为上的增函数，并将所求不等式化为，利用单调性可解出该不等式.
【详解】构造函数，，
所以，函数为上的增函数，
由，则，，可得，即，
，因此，不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.与2的大小关系为________.
【答案】＞
【解析】
【分析】
平方作差即可得出．
【详解】解：∵
＝13+2（13+4）
0，
∴2，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了平方作差比较两个数的大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.点的直角坐标是，在，的条件下，它的极坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，可得．
【详解】，，，，
，且在第四象限，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的极坐标和直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．
15.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．
【答案】217
【解析】
【分析】
根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52），计算可得答案．
【详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：
100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，
所以100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52）=217．
可求得100的所有正约数之和为217；
故答案为：217.
【点睛】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．
16.已知点，若圆上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由圆的方程求出圆心坐标，设出坐标，由求得的轨迹，再由两圆相交得到圆心距与半径的关系，求解不等式组得答案．
【详解】由，得圆心，
设，
，
，
得，即．
点在以为圆心，以2为半径的圆上，
则圆与圆有公共点，满足，
即，
即，解得．
故答案为：，．
【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了两圆间位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，考查不等式组的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知曲线的极坐标方程,曲线的极坐标方程为,曲线,相交于两点.
（1）把曲线,的极坐标方程化为直角方程;
（2）求弦的长度.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）曲线的极坐标方程转化为，由此能求出曲线
直角坐标方程，由曲线的极坐标方程，能求出曲线的直角坐标方程．
（2）曲线：是以为圆心，为半径的圆，求出圆心到直线的距离，利用弦长公式，由此能求出结果．
【详解】（1）由，得，所以，
即曲线的在极坐标方程为.
由，可知曲线的在极坐标方程为.
（2）因为圆心到直线的距离，
所以弦长，所以的长度为.
【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
18.为了解某市市民对政府出台楼市限购令态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：
月收入
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
8
5
2
1
将月收入不低于55百元的人群称为“高收入族”，月收入低于55百元的人群称为“非高收入族”.
附：
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3841
6.635
10.828
非高收入族
高收入族
总计
赞成
不赞成
总计
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并判断有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？
（2）现从月收入在的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少有一人赞成楼市限购令的概率.
【答案】（1）列联表见解析，90%；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值即可得出结论；
（2）利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．
【详解】（1）根据题意填写列联表如下；
非高收入族
高收入族
总计
赞成
25
3
28
不赞成
15
7
22
总计
40
10
50
计算，
所以有的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；
（2）设月收入在，的5人的编号为，，，，，其中，
为赞成楼市限购令的人，
从5人中抽取两人的方法数有，，，，，，，，，共10种，
其中，，，，，，为所抽取的两人中至少有一人赞成的方法数，
因此所求概率为．
【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．
19.如图，在四棱锥中，底面是正方形．点是棱的中点，平面与棱交于点．
（1）求证：；
（2）若，且平面平面，试证明平面；
（3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?（直接给出结论，不需要说明理由）
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．
【解析】
试题分析：（1）首先证明面，再利用线面平行的性质即可得证；（2）根据题目条件证明，，再根据线面垂直的判定即可得证；（3）假设存在符合题意的点，根据面面垂直的判定推导出与题意矛盾的地方，即可得证．
试题解析：（1）∵底面是菱形，∴，又∵面，面，∴面，又∵，，，四点共面，且平面平面，∴；（2）在正方形中，，又∵平面平面，且平面平面，
∴平面，又∵平面，∴，由（1）可知，
又∵，∴，由点是棱中点，∴点是棱中点，
在中，∵，∴，又∵，∴平面；（3）若存在符合题意的点：∵平面，平面，∴平面平面，而这与题意矛盾了，∴不存在．
考点：1．线面平行的判定与性质；2．线面垂直的判定与性质．
20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中，
附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
（1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润与的关系为，根据（2）的结果回答：当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）576.6，66.32.
【解析】
【分析】
（1）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；
（2）令，先建立关于的线性回归方程，再求关于的回归方程；（3）由（2）计算时年销售量和年利润的预报值的值．
【详解】（1）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；
（2）令，先建立关于的线性回归方程，
由于，
，
关于的线性回归方程为，
关于的回归方程为；
（3）由（2）知，当时，年销售量的预报值为，
年利润的预报值是．
【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
21.已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，点在
轴上，且，求点纵坐标的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设椭圆的方程为，求出的值即得解；
（2）先写出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，，，，根据方程的根与系数的关系可求，，然后由且在轴上，令解得，，即可得解．
【详解】（1）设椭圆的方程为，设椭圆的右焦点为，
所以.
又，所以，所以椭圆的方程为.
（2）依题设直线的方程为.将代入并整理得，
..
设，，
则，.
设的中点为，则，，即.
因为，
所以直线的垂直平分线的方程为，
令解得，，
当时，因为，所以；
当时，因为，所以.
综上得点纵坐标的取值范围是.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设，求证：当时，.
【答案】（1）若时，函数的单调递增区间为；若时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，然后分类讨论，当时，的单调增区间为，当时，的单调增区间为，单调递减区间为，；
（2）求出的导函数 ，当时，在上单调递增，故而在存在唯一的零点，即，则当时，单调递减，当时，单调递增，从而可证得结论．
【详解】（1）解：由函数，．
得，．
若时，，函数的单调递增区间为；
若，时，，函数单调递增，
若时，，函数单调递减，
综上，若时，函数的单调递增区间为，
若时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；
（2）证明：，．
则 ．
当时，在上单调递增，
又（1），，
（2），
故而在存在唯一的零点，即．
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故而．
又，，
．
函数的对称轴为，
因为，所以，
因为函数开口向下，，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，考查了学生的运算能力．