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- 2021-04-14 发布
www.ks5u.com【来源：全,品…中&高*考+网】2017/2018高二第二次月考数学(文科)
考试时间：120分钟 命题人：方杨娟 审核人：张霞
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 在空间中，下列命题正确的是（ ）
A. 若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l∥α
B. 若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β
C. 若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l⊥α
D. 若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β
2. 某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（ ）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 12
3. 已知在“斜二测”画法下，△ABC的直观图是一个边长为4的正三角形，则△ABC的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点，且垂直于直线x-2y=0的直线方程是（ ）
A. 2x+y-8=0
B. 2x-y-8=0
C. 2x+y+8=0
D. 2x-y+8=0
6. 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行,相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（ ）
A. 4π
B. πh2
C. π（2-h）2
D. π（4-h2）
1. 已知一条光线自点M（2，1）射出，经x轴反射后经过点N（4，5），则反射光线所在的直线方程是（ ）
A. 3x+y+5=0
B. 2x-y-3=0
C. 3x-y-7=0
D. 3x-y-5=0
2. 经过点P（0，-1）作直线l，若直线l与连接A（1，-2），B（2，1）的线段总有公共点，则斜率k的取值范围为（ ）
A. [-1，1]
B. （-1，1）
C. （-∞，-1]∪[1，+∞）
D. （-∞，-1）∪（1，+∞）
3. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）
A. 直线BE与直线CF共面
B. 直线BE与直线AF是异面直线
C. 平面BCE⊥平面PAD
D. 面PAD与面PBC的交线与BC平行
4. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）
A. 点P到平面QEF的距离
B. 直线PQ与平面PEF所成的角
C. 三棱锥P-QEF的体积
D. △QEF的面积
5. 设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平的，有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β
③若m∥n，n⊂α，则m∥α ④若m⊥α，m∥β，则α⊥β
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
6. 三棱锥A-BCD中，DA⊥AC，DB⊥BC，DA=AC，DB=BC，AB=CD，若三棱锥A-BCD的体积为，则CD的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
7. 过两点（-1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是______ ．
1. 已知直线3x+4y-3=0与6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是______ ．
2. 如图，三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是______ ．
3. 已知直线l1：x+（1+m）y+m-2=0与直线l2：mx+2y+8=0平行，则经过点A（3，2）且与直线l1垂直的直线方程为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
4. 底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．
（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；
（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．
5. 已知直线过点P（2，1）．
（1）若直线与3x-2y+4=0平行，求直线的方程．
（2）若直线与3x-2y+4=0垂直，求直线的方程．
（3）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
6.
如图，在四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l．
（1）求证：l∥EF；
（2）求三棱锥P-AEF的体积．
1. 已知直线l过点P（2，1）
（1）点A（-1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程；
（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且△ABO的面积为4，求直线l的方程．
2. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，
M为AP的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；
（Ⅲ）求PB与平面ABCD所成角的大小．
3. 如图所示，互相垂直的两条道路l1、l2相交于O点，点P与l1、l2的距离分别为2千米、3千米，过点P建一条直线道路AB，与l1、l2分别交于A、B两点．
（1）当∠BAO=45°时，试求OA的长；
（2）若使△AOB的面积最小，试求OA、OB的长．
2017/2018高二第二次月考文科数学
答案和解析
【答案】
1. D 2. C 3. B 4. A 5. A 6. D 7. C 8. A 9. C 10. B 11. B 12. B
13. -
14.
15.
16. 2x-y-4=0
17. 解：（1）根据相似性可得：，…（3分）
解得：h=6-2x（0＜x＜3）…（6分）
（2）解：设该正四棱柱的表面积为y．则有关系式y=2x2+4xh
=2x2+4x（6-2x）=-6（x-2）2+48…（9分）
因为0＜x＜3，所以当x=2时，ymax=48…（11分）
故当正四棱柱的底面边长为2时，正四棱柱的表面积最大值为48…（12分）
18. 解：（1）设直线方程为，过点P（2，1）…（2分）
所以3+m=1，所以m=-2
从而直线方程为…（4分）
（2）设直线方程为，过点P（2，1）…（6分）
所以，所以
从而直线方程为…（9分）
（3）①当直线经过原点时，可得直线方程为：y=x，即x-2y=0．
②当直线不经过原点时，可得直线方程为：设直线方程为y+x=a，
把点（2，1）代入可得：a=2+1=3．可得直线方程为x+y-3=0．
综上可得：要求的直线方程为：x-2y=0，或x+y-3=0．
19. 证明：（1）过F作EF∥CD交PD于F，连接EF，AF，
∵E是PC的中点，∴F是PD的中点，
又CD∥AB，
∴EF∥AB，
∵AB∥CD，CD⊂平面PAC，AB⊄平面PCD，
∴AB∥平面PCD，又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，
∴AB∥l，
∴l∥EF．
解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，又CD∥EF，
∴EF⊥平面PAD，
∵底面ABCD为矩形，△PAD为正三角形，AD=2，AB=4，
∴EF=CD=AB=2，S△PAF=S△PAD==，
∴VP-AEF=VE-PAF===．
20. 解：（1）若直线斜率不存在，即x=2，此时，点A，B到直线l的距离不相等．
故直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为y=k（x-2）+1，即kx-y-2k+1=0，
由题意得：=
解之得：k=-或k=-1，
故所求直线方程为x+2y-4=0或x+y-3=0
（2）由题可知，直线l的横、纵截距a，b存在，且均为正数，
则l的截距式方程为：，又l过点（2，1），△ABO的面积为4，
∴，
解得，
故l方程为，
即x+2y-4=0．
21. （本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG，GB，BD．
∵△PAD为等腰直角三角形，且∠APD=90°，
∴PA=PD，∴PG⊥AD．
∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形．
∴BG⊥AD．又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG．
∴AD⊥PB．…（ 4分）
（Ⅱ）取PB的中点N，连结MN，CN．
∵M，N分别是PA，PB的中点，
∴MN∥AB，MN=AB．
又AB∥CD，CD=，
∴MN∥CD，MN=CD．
∴四边形MNCD是平行四边形．
∴DM∥CN．
又CN⊂平面PCB，DM⊄平面PCB，
∴DM∥平面PCB．…（ 8分）
解：（Ⅲ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，又PG⊥AD，
∴PG⊥底面ABCD．
∴∠PBG为PB与平面ABCD所成的角．
设CD=a，则PG=a，BG=．
在Rt△PBG中，∵tan∠PBG=，
∴∠PBG=30°．
∴PB与平面ABCD所成的角为30°．…（13分）
22. 解：以l1为x轴，l2为y轴，建立平面直角坐标系，则O（0，0），P（3，2）…（1分）
（1）由∠BAO=45°，知OA=OB，可设A（a，0），B（0，a）（a＞0）
直线l的方程为：，…（3分）
∵l过点P（3，2），∴…（5分）
即OA=5（千米）…（ 7分）
（2）设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）
则直线l的方程为：，
∵l过点P（3，2），∴，（a＞3）…（9分）
从而，…（11分）
令a-3=t，t＞0，则a2=（t+3）2=t2+6t+9，
故有（t＞0）
设，可证f（t）在（0，3）上递减，在（3，+∞）上递增．
∴当t=3时，f（t）max=f（3）=12…（15分）
此时a=6，b=4，直线l的方程为
即OA=6（千米），即OB=4（千米）．…（ 16分）
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