2018-2019学年河南省实验中学高一上学期期中考试数学试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年河南省实验中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，则集合 A． B．{0，3，4} C． D．{0，3，4，5)‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据集合的补集运算得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 全集=，集合，则集合{0，3，4}.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．‎ ‎2．已知集合，，，则（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】根据集合并集运算与集合互异性原则，可求得m的值。‎ ‎【详解】‎ 因为 所以m=3或=，即m=1（舍）或m=0‎ 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的并集运算，集合互异性原则的应用，属于基础题。‎ ‎3．已知函数的定义域为[-2，3]，则函数的定义域为（ ）‎ A．[-1,9] B．[-3,7] C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的定义域为[-2，3]，可得，从而有求解x的取值范围得答案．‎ ‎【详解】‎ 由函数y＝的定义域为[-2，3]，‎ ‎∴‎ ‎∴对y＝f（2x+1），有，解得，‎ 即y＝f（2x+1）的定义域为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎4．下列各组函数是同一函数的是 （ ）‎ ‎①与 ②与 ‎③与 ④与．‎ A．① ② B．① ③ C．③ ④ D．① ④‎ ‎【答案】C ‎【解析】判断两个函数的定义域与对应法则是否相同，即可作出判断.‎ ‎【详解】‎ ‎①与的定义域是{x|x≤0}；而①x，故这两个函数不是同一函数；‎ ‎②f（x）＝x与的定义域都是R，|x|，这两个函数的定义域相同，对应法则不相同，故这两个函数不是同一函数；‎ ‎③f（x）＝x0的定义域是{x|x≠0}，而g（x）＝1的定义域是{x|x≠0}，故这两个函数是同一函数；‎ ‎④f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1．是同一函数．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 判断两个函数是否为同一函数的关键是要看定义域和对应法则，只有两者完全一致才能说明这两个函数是同一函数．属基础题．‎ ‎5．已知是奇函数，当时，当时，等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由时，，则，根据函数的奇偶性，即可得到函数的解析式；‎ ‎【详解】‎ 当时，，则．‎ 又是R上的奇函数，所以当时．‎ 故选项A正确．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中合理利用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎6．.设，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得 ，a>0,b>0.‎ 所以.‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.‎ ‎7．已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数，则的取值集合是（ ）‎ A．(-1,3) B．(-3,1) C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据幂函数的奇偶性和单调性的性质进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵幂函数在区间（0，+∞）上减函数，‎ ‎∴m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3，‎ ‎∵m∈Z，∴m＝0，1，2，‎ 若m＝0，则函数f（x）＝x﹣3为奇函数，不满足条件．‎ 若m＝1，则函数f（x）＝x﹣4为偶函数，满足条件．‎ 若m＝2，则函数f（x）＝x﹣3为奇函数，不满足条件．‎ 故m＝1，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的应用，根据幂函数的单调性和奇偶性的性质建立不等式关系和方程关系是解决本题的关键．‎ ‎8．函数的零点所在的区间是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】应用函数零点存在性定理判断.‎ ‎【详解】‎ 易知函数f（x）=在定义域上连续，‎ 且f()= <0 , f（1）= -1<0 , f(2)= , ,‎ 根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点的判定定理的应用，判断函数零点所在区间有三种常用方法，①直接法，解方程判断，②定理法，③图象法.‎ ‎9．已知是偶函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得|lgx|＜1，即﹣1＜lgx＜1，由此求得x的范围．‎ ‎【详解】‎ f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，则它在（﹣∞，0）上是增函数，‎ 若f（lgx）＞f（1），则|lgx|＜1，即﹣1＜lgx＜1，求得x＜10，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．‎ ‎10．已知奇函数满足，当时，函数，则=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数是奇函数得到f（﹣x）＝﹣f（x）和f（x+2）＝f（x）把则进行变形得到﹣f（），由∈（0，1）满足f（x）＝2x，求出即可．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）满足f（x+2）＝f（x）和f（﹣x）＝﹣f（x）‎ 则f（﹣log224）＝﹣f（log224）＝﹣f（log224﹣4）＝﹣f（），‎ 因为∈（0，1）‎ ‎∴﹣f（），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查学生应用函数奇偶性的能力，函数的周期性的掌握能力，以及运用对数的运算性质能力．‎ ‎11．已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过讨论m的范围，结合二次函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ m＝0时，f（x）＝1，不合题意；‎ m≠0时，令g（x）＝mx2+mx+1，‎ 只需，‎ 解得：m≥4，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的性质，考查二次函数的性质，考查了分类整合的思想，是一道中档题．‎ ‎12．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数y＝f[f（x）]+1的零点个数，即为方程f[f（x ‎）]＝﹣1的解的个数，结合函数f（x）图象，分类讨论判断，求解方程可得答案．‎ ‎【详解】‎ 函数y＝f（f（x））+1的零点，‎ 即方程f[f（x）]＝﹣1的解个数，‎ ‎（1）当a＝0时，f（x），‎ 当x＞1时，x，f（f（x））＝﹣1成立，∴方程f[f（x）]＝﹣1有1解 当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]＝﹣1无解，‎ 当x≤0时，f（x）＝1，f（f（x））＝0，∴方程f[f（x）]＝﹣1无解，‎ ‎∴f（f（x））＝﹣1有1解，‎ 故a＝0不符合题意，‎ ‎（2）当a＞0时，‎ 当x＞1时，x，f（f（x））＝﹣1成立，‎ 当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]＝﹣1有1解，‎ 当x≤0时，0＜f（x）≤1，∴f（f（x））＝﹣1有1解，‎ 当x时，f（x）＜0，∴f（f（x））＝﹣1有1解，‎ 故，f（f（x））＝﹣1有4解，‎ ‎（3）当a＜0时，‎ 当x＞1时，x，f（f（x））＝﹣1成立，∴f（f（x））＝﹣1有1解，‎ 当0＜x≤1时，f（x）≤0．，成立, 方程f[f（x）]＝﹣1无解，，‎ 当x≤0时，f（x）≥1，，成立, 方程f[f（x）]＝﹣1无解， ‎ 故f（f（x））＝﹣1有1解，不符合题意，‎ 综上：a＞0‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数零点的判定，其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题，分类讨论求解．‎ 二、填空题 ‎13．若集合有且只有一个元素,则实数的取值集合是___________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】讨论两种情况，结合判别式为零即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，，合题意；‎ 当时，若集合只有一个元素，‎ 由一元二次方程判别式得．‎ 综上，当或时，集合只有一个元素，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的表示方法以及元素与集合的关系，属于中档题.集合的表示方法，主要有列举法、描述法、图示法、区间法，描述法表示集合是最常用的方法之一，正确理解描述法并加以应用的关键是一定要清楚：1,、元素是什么；2、元素的公共特性是什么.‎ ‎14．已知函数在区间上的减函数，则实数的取值集合是______.‎ ‎【答案】{1}‎ ‎【解析】设, 要使题设函数在区间上是减函数，只要在区间）上是减函数，且t＞0，故可得对称轴 且 ，由此可求实数的取值集合.‎ ‎【详解】‎ ‎】设,由题意可得对称轴，而且，联立可得.‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．‎ ‎15．已知函数满足，则函数的解析式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将已知函数方程中的x换成得到另一个函数方程，然后两个方程联立消去f（）可得f（x）.‎ ‎【详解】‎ ‎ ①中将x换成，‎ 得f（）+2f（x） ②，‎ 由①②联立消去f（）得f（x），‎ 故答案为：f（x）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式的求解，主要有：待定系数法、换元法、配凑法、方程组法等等．属基础题．‎ ‎16．已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根若对于任意的∈，总存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，得到函数f（x）在上值域是g（x）在上值域的子集，然后利用求函数值域之间的关系列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴f（0）≤f（x）≤f（1），‎ 即0≤f（x）≤4，即函数f（x）的值域为B＝[0，4]，‎ 若对于任意的∈，总存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，‎ 则函数f（x）在上值域是g（x）在上值域A的子集，‎ 即B⊆A ‎①若a＝0，g（x）＝0，此时A＝{0}，不满足条件．‎ ‎②当a≠0时，在是增函数，g（x）∈[﹣+3a，]，即A＝[﹣+3a，]，‎ 则 ，‎ ‎∴‎ 综上，实数a的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．计算下列各式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）-5（2）‎ ‎【解析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解；‎ ‎（2）利用对数性质、运算法则直接求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式==-5．‎ ‎（2）原式=.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎18．已知全集，集合，，‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）全集U＝R，求出集合B，，由此能求出∩B；‎ ‎（2）由，B∪C＝B，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ 又 ‎，‎ ‎（2）由可知：‎ 若即时，‎ 若即时，‎ 解之可得：‎ 综上所述：的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查补集、并集、实数的取值范围的求法，考查补集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎19．已知关于的函数 ，定义域为 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若函数有零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）令，转化为二次不等式的解法；‎ ‎（2）有零点即方程有解，即在上有解，‎ ‎【详解】‎ 令，由可得.‎ ‎(1)当时，函数可化为，‎ 原不等式可化为或 又故即 可得 所以不等式解集为 ‎（2）有零点即方程有解，‎ 即在上有解， ‎ 又在上是减函数，在上是增函数， ‎ 故当时，；当时，，‎ 即函数的值域为，则 故的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查复合型二次不等式的解法，函数零点问题，考查了参变分离的方法，属于中档题.‎ ‎20．已知二次函数的最小值为1，且．‎ ‎（1）若在区间[2p，p＋1]上不单调，求p的取值范围； ‎ ‎（2）求在区[-1,m]上的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】(1)设二次函数f（x）＝a（x﹣1）2+1,结合题意得到f（x）的解析式，求得对称轴x＝1，可得2a＜1＜a+1，解不等式即可得到所求范围；‎ ‎（2）求出对称轴x＝1，讨论对称轴和区间的关系，结合单调性求得最值，即可得到所求值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由可知二次函数的对称轴为，又其最小值为1，‎ 则可设二次函数，又，‎ ‎，．即． ‎ 由函数在区间上不单调，‎ 所以，解得． ‎ ‎（2）当时，，，‎ 此时函数值域为； ‎ 当时，，，此时值域为； ‎ 当时，，．‎ 此时值域为． ‎ 综上可得：当时，函数值域为；‎ 当时，值域为；‎ 当时，值域为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的解析式的求法和值域问题，以及单调性的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．‎ ‎（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系．‎ ‎（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意，得，，代入点的坐标，求的的值，即可可得到两种产品的收益与投资的函数关系；（2）投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，令，换元利用二次函数的性质，即可求解其最大收益．‎ 试题解析：（1），，‎ ‎，，‎ ‎（2）设：投资债券类产品万元，则股票类投资为万元．‎ 令，则 所以当，即万元时，收益最大，万元．‎ ‎【考点】函数的实际应用问题．‎ ‎22．已知函数对任意实数x、y恒有，当x>0时，f(x)<0，且 ‎.‎ ‎(1)判断的奇偶性；‎ ‎(2)求在区间[-3,3]上的最大值；‎ ‎(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）奇函数（2）6（3）或者 ‎【解析】（1）令x＝y＝0⇒f（0）＝0，再令y＝﹣x，⇒f（﹣x）＝﹣f（x）；‎ ‎（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，结合条件用单调性的定义证明函数f（x）为R上的增函数，从而得到在区间[-3,3]上的最大值；‎ ‎（3）根据函数f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）；则f（0）=0；‎ 取y=﹣x，则f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)，‎ ‎∴f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R恒成立 ‎∴f(x)为奇函数； ‎ ‎（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0；∴f（x2）+f(﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；‎ ‎∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），‎ 又∵f（x）为奇函数，‎ ‎∴f（x1）＞f（x2）；‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数； ‎ ‎∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）‎ 而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；‎ ‎∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；‎ ‎∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6； ‎ ‎（3）由（2）可知函数在的最大值为 所以要使对所有的恒成立 只需要 即对所有恒成立 令，则即解得 所以实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．‎