- 618.00 KB
- 2021-04-14 发布
大江中学、开城中学 2013 届高三联考
数学（文）试题
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后将答题卷交回。
注意事项：1.答题前，考生先将 自己的姓名、班级、考场、考试号码填写清楚。
2.使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、 选择题:本 大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设 i 为虚数单位，则复数 的共轭复数为 （ ）
A. B． C． D．
2.已知集合 }, ,则 （ ）
A. (0,2) B. [0,2] C. {0,2] D. {0,1,2}
3．命题 “ ”的否定是 （ ）
A. B．
C. D.
4．已知 是第二象限角，且 sin( ，则 tan2 的值为 ( )
A． B． C． D．
5． 等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 等于 ( )
A．52 B．54 C．56 D．58
6. 在 中，若 ，则角 B 的大小为 ( )
A． 30° B．45° C．1 35° D．45°或 135°
7.设向量 ， ，当向量 与 平行时，则 等于 ( )
A．2 B．1 C． D．
8. 函数 的大致图象为 ( )
3 4i
i
+
4 3i− − 4 3i− + 4 3i+ 4 3i−
)2,1(=
→
a )1,(xb =
→ →→
+ ba 2
→→
− ba2
→→
⋅ ba
2
5
2
7
{ | | 2}A x R x= ∈ ≤ { | 4}B x Z x= ∈ ≤ A B∩ =
20, 0x x x∃ > − ≤
20, 0x x x∃ > − > 20, 0x x x∃ ≤ − >
20, 0x x x∀ > − > 20, 0x x x∀ ≤ − >
α
5
3) −=+απ α
5
4
7
23−
7
24−
9
24−
{ }na nS 3 7 11 12a a a+ + = 13S
ABC∆ 60 , 4 3, 4 2A BC AC= ° = =
1lg | 1|y x
= +
9.右图是函数 的部分
图象，则下列可以作为其解析式的是 ( )
A． B．
C． D．
10.已知 是（- ，+ ）上的增函数，那么 的取值范围是( )
A．(1，+ ) B.(- ,3) C.[ ， 3) D.(1,3)
11.下列 命题中，真命题的个数为( )`.
（1）在 中，若 ，则 ；
（2）已知 ，则 在 上的投影为 ；
（3）已知 ， ，则“ ”为假命题；
（4）要得到函数 的图象，只需将 的图象向左平移 个单位．
A．1 B．2 C．3 D．4
12. 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足 下 列 三 个 条 件 ： ① 对 任 意 的 都 有
②对于任意的 ，都有 ③ 的
图象关于 y 轴对称，则下列结论中，正确的是 ( )
A． B．
C． D．
sin( )( 0, 0)y A x Aω ϕ ω= + > >
2sin(2 )3y x
π= − 12sin( )2 3y x
π= +
22sin(2 )3y x
π= − 2sin(2 )3y x
π= +
ABC∆ BA > BA sinsin >
)42cos(
π−= xy 2sin xy =
4
π
(3 ) 4 , 1( ) log , 1a
a x a xf x x x
− −= ≥
＜ ， ∞ ∞ a
∞ ∞
5
3
)1,2(),4,3( −−== CDAB AB CD 2−
1cos,: =∈∃ xRxp 01,: 2 >+−∈∀ xxRxq qp ¬∧
R )(xfy = Rx ∈
);()2( xfxf −=+ 20 21 ≤<≤ xx ),()( 21 xfxf < )2( += xfy
)7()5.6()5.4( fff << )5.6()7()5.4( fff <<
)5.6()5.4()7( fff << )5.4()5.6()7( fff <<
3
π2
－2
x
7
12
π
O
y
第Ⅱ卷 (选择题 共 90 分)
二、填空题( 共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分)
13.已知 则 的值为 .
14． ，且 ，则 的值为__________ [来源:学§科§网]
15．定义： ，其中 为向量 与 的夹角，若 ，则
等于 ．
16.设函数 的定义域为 ，若存在非零实数 使得对于任意 ，有 ，
且 ，则称 为 上的“ 高调函数”．现给出下列命题：
①函数 为 上的“1 高调函数”；[来源:学科网 ZXXK]
②函数 为 上的“ 高调函数”；
③如果定义域 为 的函数 为 上“ 高调函数”，那么实数 的取值范围
是 .其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
记函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ，且 ，求实数 的取值范围.
18．（本小题满分 10 分）
已知数列 的首项为 2，点 在函数 的图像上
（Ⅰ）求数列 的通项公式；[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
（Ⅱ）设数列 的前 项之和为 ，求 的值．
αα cos2
1sin += )2,0(
πα ∈
)4sin(
2cos
πα
α
−
θsin⋅⋅=× baba θ a b 6,5,2 −=⋅== baba
ba ×
( )f x D l ( )x M M D∈ ⊆ x l D+ ∈
( ) ( )f x l f x+ ≥ ( )f x M l
2( ) logf x x= (0, )+∞
( ) cos2f x x= R π
[ 1, )− +∞ 2( )f x x= [ 1, )− +∞ m m
[1, )+∞
{ }na ( )1,n na a + 2 0x y− + =
{ }na
{ }na n nS
1 2 3
1 1 1 1
nS S S S
+ + +⋅⋅⋅+
≥−
<=
−
,3),6(log
3,3)( 2
3
1
xx
xexf
x
))3(( ff
2( ) lg( 2)f x x x= − − A ( ) 3g x x= − B
A B
{ }2 24 4 0, 0C x x x p p= + + − < > ( )C A B⊆ p
19. （本小题满分 12 分）
已知向量
设函数
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在 A 为锐角的三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 ， 且 的面积
为 3， 求 a 的值。
20．（本大题满分 1 3 分） 已 知数列 的前 项和为 ,满足 ,
（1）求证数列 为等比数列；
（2） 若数列 满足 为数列 的前 项和，
求证： .
21. （本小题满分 12 分）
某产品原来的成本为 1000 元/件，售 价为 1200 元/件，年销售量为 1 万件。由于市场饱和顾客要
求提高，公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查，若投入 万元，每件产品的成本将降
低 元，在售价不变的情况下，年销售量将减少 万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣
除产品升级资金后的纯利润记为 （单位：万元）．（纯利润=每件的利润×年销售量-投入的
成本）
⑴求 的函数解析式；
⑵ 求 的最大值，以及 取得最大值时 的值．
22. （本小题满分 13 分）
若二次函数 满足 ，且函数的 的一个零点为 .
(Ⅰ) 求函数 的解析式；
（Ⅱ）对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
(sin ,cos ), (6sin cos ,7sin 2cos ),a x x b x x x x= = + −
( )f x a b= ⋅
( )f x
,6)( =Af ABC∆
2 3 2,b c+ = +
{ 2}na +
x
4
3x
x
2
)(xf
)(xf
)(xf )(xf x
, ,a b c
{ }na n nS 2 2 ( )n nS a n n N+= − ∈
{ }nb 2log ( 2),n nb a= + nT { }2
n
n
b
a + n
2
3 ( )C A B⊆ p
班 级 姓 名 考 场 座位号
密 封 线 内 不 要 答 题
18． （本小题满分 10 分）[来源:学科网]
已知数列 的首项为 2，点 在函数 的图像上
（Ⅰ）求数列 的通项公式；[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
（Ⅱ）设数列 的前 项之和为 ，求 的值．
19. （本小题满分 12 分）
已知向量
设函数
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在 A 为锐角的三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 ， 且 的面积
为 3， 求 a 的值。
{ }na ( )1,n na a + 2 0x y− + =
{ }na
{ }na n nS
1 2 3
1 1 1 1
nS S S S
+ + +⋅⋅⋅+
(sin ,cos ), (6sin cos ,7sin 2cos ),a x x b x x x x= = + −
( )f x a b= ⋅
( )f x
,6)( =Af ABC∆
2 3 2,b c+ = +
, ,a b c
20．（本大题满分 1 3 分） 已 知数列 的前 项和为 ,满足 ,
（1）求证数列 为等比数列；
（2）若数列 满足 为数列 的前 项和，
求证： .
21. （本小题满分 12 分）
某产品原来的成本为 1000 元/件，售价为 1200 元/件，年销售量为 1 万件。由于市场饱和顾客要
求提高，公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查，若投入 万元，每件产品的成本将降
低 元，在售价不变的情况下，年销售量将减少 万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣
除产品升级资金后的纯利润记为 （单位：万元）．（纯利润=每件的利润×年销售量-投入的
成本）
⑴求 的函数解析式；
⑶ 求 的最大值，以及 取得最大值时 的值．
{ 2}na +
x
4
3x
x
2
)(xf
)(xf
)(xf )(xf x
{ }na n nS 2 2 ( )n nS a n n N+= − ∈
{ }nb 2log ( 2),n nb a= + nT { }2
n
n
b
a + n
2
3 = < − >或
{ } { }3 0 3 3B x x x x= − ≥ = − ≤ ≤
{ }3 1 2 3A B x x x∴ = − ≤ < − < ≤ 或
{ }0 2 2p C x p x p> ∴ = − − < < − +
( )C A B⊆
2 3
2 1
p
p
− − ≥ −∴− + ≤ −
0 1p∴ < ≤
19. （本小题满分 12 分）
解（1）
= …2 分
…………4 分
由题意得：
解得 …………5 分
即函数 的单调递增区间为 ……6 分
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 得
……8 分
………10 分
…………12 分[来源:学科网]
( ) sin (6sin cos ) cos (7sin 2cos )f x a b x x x x x x= ⋅ = + + −
2 26sin 2cos 8sin cos 4(1 cos2 ) 4sin 2 2x x x x x x− + = − + −
4 2 sin(2 ) 24x
π= − +
( )f x
2
2)42sin(,62)42sin(24)( =−=+−= ππ
AAAf
4,442,4
3
424,20
πππππππ ==−<−<−<< AAAA 所以
232 +=+ cb
.10=∴a
2 2 22 4 2k x k
π π ππ π− + ≤ − ≤ +
3
8 8k x k
π ππ π− + ≤ ≤ +
3,8 8k k k z
π ππ π − + + ∈
2634
2sin2
1 =∴===
∆ bcbcAbcS ABC
………11 分.102
2262212)232(
2
222)(cos2
2
2222
=××−−+=
×−=+=−+=∴ bcbccbAbccba
21.
解：⑴依题意，
产品升级后，每件的成本为 元，利润为 元…………2 分，
年销售量为 万件…………………………… 3 分，
纯利润为 ………………………………………5 分，
（万元）……………………………………7 分
⑵ ……9 分，
…………………………………………………10 分，
等号当且仅当 ……11 分，即 （万元）……12 分。
22.解：（本小题满分 13 分）
(Ⅰ) ∵ 且
∴ ∴ ……………………4 分
（Ⅱ）由题意知： 在 上恒成立，
整理得 在 上恒成立， ………………………6 分
4
31000 x−
4
3200 x+
x
21−
xx
xxf −−+= )21)(4
3200()(
4
4005.198 x
x
−−=
4
40025.1984
4005.198)( x
x
x
xxf ××−≤−−=
5.178=
4
400 x
x
= 40=x
(2) ( 2)f f= − (1) 0f =
0, 1b c= = − 2( ) 1f x x= −
2 2 2 24 ( 1) ( 1) 1 4 4 0m x x m− + − − + − ≥ 1[ , )2x∈ +∞
2
2
1 1 1
2 4m x x
≥ + − 1[ , )2x∈ +∞
令
∵ ∴ ………………………8 分
当 时，函数 得最大值 ， ………………………10 分
所以 ，解得 或 . ………………………13 分
命题人：无为大江中学 刘谦
( )g x = 2
2
1 1 1 1 1 5( )2 4 4 16x x x
+ − = + −
1[ , )2x∈ +∞ ( ]1 0,2x
∈
1 2x
= ( )g x 19
4
2 19
4m ≥ 19
2m ≤ − 19
2m ≥